例談分段數(shù)列*

福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 紀(jì)建靈 黃永生 饒真平

分段數(shù)列邏輯性強(qiáng)，靈活度大，在試卷中經(jīng)常扮演選擇填空壓軸題的角色.本文從分段數(shù)列的特點(diǎn)出發(fā)，歸納分段數(shù)列的考查類型及易錯(cuò)點(diǎn)，希望對(duì)考生突破高考數(shù)列壓軸題有所幫助.

1分段數(shù)列特點(diǎn)

①通項(xiàng)公式分段，如數(shù)列{an}，滿足

②遞推關(guān)系分段，如數(shù)列{an}，滿足a1=1，

2 分段數(shù)列類型

類型一 由通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系

例1 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為Sn,且an+1=(a-1)Sn+2，其中a>1，求{an}的通項(xiàng)公式.

類型二 由奇偶分類引起分段

評(píng)析：數(shù)列{an}中含有(-1)n，sinnπ，cosnπ，…時(shí)，需對(duì)n進(jìn)行奇偶性討論，通過研究奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的特征，求得通項(xiàng)公式；求Sn時(shí)，可先討論n為偶數(shù)的情形，此時(shí)奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)相等，比較簡單.n為奇數(shù)時(shí)，可通過遞推關(guān)系Sn=Sn+1-an+1直接求得.

類型三 由遞推關(guān)系引起分段

類型四 由絕對(duì)值討論引起分段

例4 數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，且a1+a6=-6，a3a4=8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{|an|}的前n的和Tn.

解析：(1)易得an=2n-10.(2)記Sn=a1+a2+…an，則Sn=n2-9n.當(dāng)n≤5時(shí)，an≤0；Tn=-a1-a2-…-an=-Sn=9n-n2；當(dāng)n≥6時(shí)，an>0，則Tn=-a1-a2-…a5+a6+a7+…an=-2S5+Sn=n2-9n+40.

評(píng)析：本例中直接求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和比較困難，需要對(duì)的正負(fù)性討論.當(dāng)n≤5時(shí)，|an|=an，Tn為{an}的前n項(xiàng)和；n≥6時(shí)，數(shù)列{an}中的項(xiàng)有正有負(fù)，需要分段討論.

分段數(shù)列試題不僅考查基礎(chǔ)知識(shí)，更側(cè)重考查考生的運(yùn)算能力、理解能力、推理能力、論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法等.考生遇到分段數(shù)列時(shí)，可以先通過合情推理，大膽猜想，再演繹論證，歸納總結(jié)，逐步培養(yǎng)并形成解決分段數(shù)列問題的思維習(xí)慣.