運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，提升直觀想象核心素養(yǎng)

江蘇省海門中學(xué) (226100) 徐巧石

直觀想象是2017版的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，主要表現(xiàn)為：建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物.直觀想象并不是完全陌生的東西，與我們高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)形結(jié)合思想有著密切的聯(lián)系以形助數(shù)或以數(shù)思形，通過建立數(shù)與形之間的雙軌通道，實(shí)現(xiàn)兩者的交流與聯(lián)系，是學(xué)生需要培養(yǎng)的一種素養(yǎng).數(shù)學(xué)中有很多的結(jié)論常常是“看”出來的，會“看”就需要直觀想象素養(yǎng).下面通過具體實(shí)例說明如何通過問題來體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的水平與表現(xiàn)，探尋直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的途徑.

一、養(yǎng)成作圖的習(xí)慣，積累“形”的常見表示

在教學(xué)中，面對具體數(shù)學(xué)問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動利用圖形表達(dá)和分析問題，借助圖形的直觀將數(shù)學(xué)問題簡潔、形象化.想要靈活的借助圖形表述和解決問題，學(xué)生在平常的學(xué)習(xí)中需要做個有心人，積累“形”的一些常見表示，構(gòu)建基本圖形庫.同時加強(qiáng)文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化.

圖1

說明：本題考查的方向非常明確，即學(xué)生將“數(shù)”的語言轉(zhuǎn)化為“形”的表達(dá)，進(jìn)而利用圖形解決問題.體現(xiàn)了直觀想象素養(yǎng)的水平一，即能夠通過圖形直觀認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題，啟迪解決問題的思路，體會數(shù)形結(jié)合.

圖2

評注：此題的關(guān)鍵在于如何將題目中的條件等價轉(zhuǎn)化.畫圖可以發(fā)現(xiàn)題目就是求直線外一點(diǎn)到直線的最小值，所以在解題時要有圖形意識，積累圖形的等價表述語言，靈活的實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的翻譯.體現(xiàn)了直觀想象核心素養(yǎng)水平一.

二、借助圖形的直觀表示，理解問題抓住本質(zhì)

對于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用“形”之直觀呈現(xiàn)問題的基本信息，借助“形”之直觀理解“數(shù)”之抽象，憑借“形”之直觀產(chǎn)生數(shù)量關(guān)系與問題本質(zhì)屬性的感知，抓住問題本質(zhì)，獲得解題思路.

例3 (2020蘇北四市一?！?4)．設(shè)函數(shù)f(x)=|x3-ax-b|，x∈[-1,1]，其中a,b∈R.若f(x)≤M恒成立，則當(dāng)M取得最小值時，a+b的值為.

圖3

評注：本題是填空題的最后一題，有難度，直接從問題出發(fā)，問題可轉(zhuǎn)化為先求函數(shù)f(x)的最大值，再求關(guān)于最大值a,b的函數(shù)的最小值，分類討論繁多，運(yùn)算量大.如果心中有圖形的意識，問題可以很快得到突破.此題體現(xiàn)了直觀想象素養(yǎng)的水平二，能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形，借助圖形發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)量的關(guān)系，用圖形探索解決問題的思路，形成數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，體會圖形直觀的作用和意義.

三、運(yùn)用圖形認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，把握不同知識間的相互聯(lián)系

借助圖形，對具體數(shù)學(xué)問題進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知，從而對問題進(jìn)行大膽的構(gòu)造，巧妙的聯(lián)系，深入的思索.

圖4

評注：此題函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜，要利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對解析式進(jìn)行化簡，由式子的結(jié)構(gòu)聯(lián)想的直角三角形，進(jìn)而構(gòu)造問題的具體圖形，將函數(shù)的最值與三角形面積的最值建立起聯(lián)系，搭建起橋梁，運(yùn)用圖形的直觀理解問題，從而快速的獲得解決問題的思路.

四、注重形與數(shù)之間的聯(lián)系，尋求解決問題的突破口

構(gòu)建形與數(shù)之間的聯(lián)系，以數(shù)思形，以形助數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化，尋求解決問題的突破口，獲得解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在規(guī)律.

圖5

結(jié)語：上述案例中主要是以形助數(shù)，其實(shí)解題是從學(xué)生的角度出發(fā)的，從命題者的角度來看，在命制題目時的靈感有很多來自簡單圖形，借用了數(shù)加以表述.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.要提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，在教學(xué)中充分運(yùn)用與滲透數(shù)形結(jié)合思想是可行的途徑.