提升直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐與思考*
——以一節(jié)試題講評課為例

江蘇省無錫市第一中學(xué) (214031) 黃 榮

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》把直觀想象列為數(shù)學(xué)六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一，體現(xiàn)了對培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的高度重視．本文以一節(jié)數(shù)學(xué)試題講評課為例，給出了提升直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)思考．

筆者所在學(xué)校是江蘇省首批四星級高中，生源基礎(chǔ)相對較好，思維較為活躍．在高一的一次階段性測驗(yàn)(內(nèi)容包括立體幾何、解析幾何和解三角形)中，發(fā)現(xiàn)立體幾何、解析幾何的解答難盡人意，出現(xiàn)了不少意料之外的錯(cuò)誤，這就引發(fā)思考.于是筆者將相關(guān)試題串聯(lián)起來，設(shè)計(jì)了一節(jié)以培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)為主題的試題講評課，取得了良好的教學(xué)效果．

一、試題講評課教學(xué)實(shí)錄

師：這次考試，老師在批改立體幾何和解析幾何時(shí)發(fā)現(xiàn)了一些意外的錯(cuò)誤，同時(shí)也收獲了一些意外的驚喜，今天這節(jié)講評課就專門講講這些問題．

1．一道立體幾何中檔題的意外錯(cuò)誤

圖1

(試題第20題)如圖1，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD=2BC，AB⊥AD．

批改發(fā)現(xiàn)，本題第1問錯(cuò)誤很少，第2問學(xué)生主要有以下3種解法：

筆者任教高一兩個(gè)班級，共95人．其中，34人采用解法一，5人做錯(cuò)；46人采用解法二， 35人做錯(cuò)；5人采用解法三，2人做錯(cuò)．解法二主要錯(cuò)誤是未證明B、C、E、F四點(diǎn)共面，導(dǎo)致邏輯錯(cuò)誤；還有一種常見的錯(cuò)誤是，直接過E作BC平行線，但是未能說明EF為何在平面PAD內(nèi)．

教學(xué)實(shí)錄如下：

師：請同學(xué)們談?wù)勥@道題目的解法．哪個(gè)條件是解題突破點(diǎn)？

生1：CE∥平面PAB．

師：線面平行通常有哪些轉(zhuǎn)化方向？

生1：主要有兩個(gè)方向，轉(zhuǎn)化到線線平行，或者轉(zhuǎn)化到面面平行．

師：很好，你提供了兩種思路，具體說說看．

(學(xué)生先陳述了解法一，教師板書．講解法二時(shí)學(xué)生有些臉紅，說自己使用了解法二，但不知道為什么扣分．)

師：平面BCEF∩平面PAB=BF．這里B、C、E、F四點(diǎn)一定共面嗎？

生1：哦，因?yàn)镋F∥AD，BC∥AD，所以EF∥BC，所以四點(diǎn)共面．

師：非常好．還有其他解法嗎？

(生2展示解法三，因?yàn)榻夥ê啙嵡擅睿l(fā)了學(xué)生的喝彩．)

師：請同學(xué)們小結(jié)比較下這三種解法的優(yōu)劣．

生3：解法一較為繁瑣，但容易掌握；解法二較為簡潔，但是要注意需要證明四點(diǎn)共面；解法三體外延長比較巧妙，有點(diǎn)不容易想到．

師：總結(jié)很到位．對于解法二，不能僅憑視覺就判定四點(diǎn)共面．也就是說我們需要看圖說理，但幾何直觀不能替代邏輯推理，解題還是要以題目條件為依據(jù)，以已有定理和邏輯法則為準(zhǔn)繩．

(本題講評時(shí)間8分鐘．)

2．一道解三角形“送分”題的意外少解

圖2

只看第1問，似乎很簡單，在△ACE中，運(yùn)用余弦定理列出關(guān)于AE的方程，求得AE=1或3．但事實(shí)卻令人難以相信，竟有36名學(xué)生做錯(cuò)，查閱試題發(fā)現(xiàn)主要錯(cuò)誤是少解．

教學(xué)實(shí)錄如下：

師：(PPT展示少解的典型錯(cuò)誤)學(xué)生過C作CH⊥AE于H，利用平面幾何知識(shí)，求得AE=3．同學(xué)們知道錯(cuò)在哪里嗎？

生4：少解．

師：少解？什么意思？不就一個(gè)解嗎？

生4：不是的，還有一解AE=1．因?yàn)镋也可能在C左方，此時(shí)高CH在△ACE外，AE=1．

師：非常好，這種解法主要運(yùn)用的是平面幾何知識(shí)，由于圖形的局限性，容易漏解，有沒有其他的做法？

生5：可以在△ACE中運(yùn)用余弦定理，CE2=AC2+AE2-2AC·AEcosA，代入數(shù)據(jù)，解得AE=1或3．

(方法不當(dāng)?shù)膶W(xué)生恍然大悟，垂手頓足，感嘆需要強(qiáng)化基本功．)

生6：解題需要數(shù)形結(jié)合，但有時(shí)所畫的圖并不是唯一情形，需要討論．

生7：我對基本模型掌握還不夠好，要注意熟練掌握常見的解三角形問題．

生8：要學(xué)會(huì)在復(fù)雜的圖形組合中抽取基本圖形．

師：同學(xué)們小結(jié)的非常好．我們需要看圖解題，需要數(shù)形結(jié)合，但也要警惕有時(shí)圖形會(huì)“欺騙”我們，要留心所畫圖形外的其他可能．

(本題第1問講評時(shí)間共4分鐘，第2問在講評課第2課時(shí)進(jìn)行了講評．)

3．一道解析幾何定值問題證明方法的探索

(試題第22題)已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=16，直線l1：kx-y-k=0，且直線l1與圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)．

(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若P，Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)為M，直線l1與直線l2：x+2y+4=0的交點(diǎn)為N，求證：AM·AN為定值．

(學(xué)生口答，教師板書第1問的解答．)

師：請同學(xué)談?wù)劦?問的解題思路．

生9：聯(lián)立圓C和直線l1的方程，消去y，得到關(guān)于x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得xP+xQ，進(jìn)而求得中點(diǎn)M的坐標(biāo)，聯(lián)立l1和l2求出N的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)距離公式化簡計(jì)算．

師：思路清晰，下面請同學(xué)們嘗試計(jì)算出結(jié)果，并嘗試探索有沒有其他解法．

(6分鐘過去后，部分同學(xué)還是沒有算出結(jié)果，接下來老師和學(xué)生一起計(jì)算．)

師：同學(xué)們，這種解法是一種常規(guī)解法，思路清晰，可是計(jì)算量較大．此題主要是M坐標(biāo)以及AM長度計(jì)算比較困難，還有其他解法嗎？

師：很好，發(fā)現(xiàn)了定點(diǎn)A在直線l1上，用勾股定理計(jì)算AM，簡化了運(yùn)算．注意到A，M，N三點(diǎn)共線，還有其他解法嗎？

師：同學(xué)們覺得如何？

(話畢，教室里響起了熱烈的掌聲．)

師：還有其他思路嗎？

生12：因?yàn)橹本€CM與l1垂直，且過M，可得CM方程：x+ky-3-4k=0，與l1聯(lián)立求得M的坐標(biāo)．

師：很好，這種做法挖掘了圓的幾何性質(zhì)．

師：通過探索，同學(xué)們給出了這道題目的多種解法．通過解法的比較可以發(fā)現(xiàn)，解決解析幾何問題，尤其涉及圓這樣幾何性質(zhì)豐富的圖形，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，充分挖掘幾何性質(zhì)，以達(dá)到簡化運(yùn)算、事半功倍的效果．同學(xué)們課后可以繼續(xù)探索是否還有其他美妙的解法．

(本題給予了學(xué)生較為充分的計(jì)算、探索時(shí)間，講評時(shí)間共計(jì)20分鐘．)

4．一道以圓為背景的綜合性最值問題

師：最后我們來一起研究下選擇題最后一題，想一想怎么做？

(大部分學(xué)生毫無頭緒，不知如何下手．)

師：處理最值問題的基本手段有哪些？

生13：可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，還可以數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義求解．

師：說的非常好，那么這個(gè)題目涉及x，y兩個(gè)變量，怎么辦？

生13：消元，比如消去y．

師：怎么消？

生13：式子太復(fù)雜，好像難以操作．

師：對照本題進(jìn)行思考，注意觀察式子分子、分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．

師：很好，請同學(xué)們再想想下面該怎么做？

(停頓一會(huì)兒，給基礎(chǔ)相對較弱的同學(xué)一些思考時(shí)間)．

(本題講評共用時(shí)間12分鐘．)

二、幾點(diǎn)教學(xué)思考

1．運(yùn)用幾何直觀要謹(jǐn)防“圖形失真”

借助幾何直觀思考數(shù)學(xué)問題，是一種非常重要的研究策略和解題手段．但是，也不能過于依賴幾何直觀，忽視對圖形等價(jià)性、存在性和完整性等方面的考察，導(dǎo)致“圖形失真”的錯(cuò)誤．

以20題為例，部分同學(xué)過直線CE作平面β與平面PAB相交，并交PA與點(diǎn)F，在這里C、E、B確定一個(gè)平面，那么與平面PAB相交如何保證交線一定與PA相交卻未能說明其存在性．在這里，僅憑視覺觀察形之間的位置關(guān)系，卻沒有對其存在性進(jìn)行的必要考察，從而似是而非，無中生有，導(dǎo)致錯(cuò)誤．再以21題第1問為例，題目看似不難，但有不少同學(xué)漏解，源于對問題蘊(yùn)含的多種可能性缺乏敏感，考慮不周，以偏概全．

因此，在教學(xué)時(shí)，一是要注重小結(jié)常見的“圖形失真”的范例；二是要引導(dǎo)學(xué)生對圖形的整體進(jìn)行考察，挖掘問題蘊(yùn)含的多種可能性；三是既要立足直觀想象，又要優(yōu)化解題策略，提煉更具通用性的思想方法．

2．給直觀想象插上邏輯推理的翅膀

教學(xué)時(shí)，可以適時(shí)給直觀想象插上邏輯推理的翅膀，把直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)推向思維縱深處．教師在教學(xué)過程中應(yīng)注意使所研究的問題直觀化，并借助恰當(dāng)?shù)闹庇^模型，揭示研究對象的本質(zhì)屬性．但是，一方面，幾何直觀本身往往并不是目的，而是一種解決問題的手段；更為關(guān)鍵的是，缺乏邏輯推理所得的直觀認(rèn)識(shí)往往難以深入，甚至導(dǎo)致謬誤．因此，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)不能脫離與邏輯推理的融合．

如在講評第20題的解法二時(shí)，可以反問學(xué)生給出四點(diǎn)是否一定共面，如何說明四點(diǎn)共面等．總之，直觀想象和邏輯推理兩者不可偏廢，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)需要有所側(cè)重，如此才能更為有效的提高和發(fā)展更直觀想象素養(yǎng)的水平層次．

3．設(shè)計(jì)高水平數(shù)學(xué)任務(wù)，綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)并非獨(dú)立存在，而是相互聯(lián)系、彼此交融．因此要提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)的水平層次，還需要跨越數(shù)學(xué)學(xué)科不同分支，設(shè)計(jì)隱含多種學(xué)科素養(yǎng)的高水平數(shù)學(xué)問題和任務(wù)，這種問題和任務(wù)不僅需要直觀想象，還必須綜合使用多種策略、方法和工具才能加以解決．

如12題，要解決此題不僅需要幾何直觀、數(shù)形結(jié)合，更需要綜合運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸、整體化思想、函數(shù)思想等多種思想方法才能解決，這對高一學(xué)生而言既具有較大的思維挑戰(zhàn)，同時(shí)也能契合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，有利于激發(fā)學(xué)生的探究熱情，培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維，從而綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[1]．