面向幾何直觀和計算思維的線性代數(shù)混合式教學(xué)方案

張大明 李璐 劉華勇

摘 要：提出一種面向幾何直觀和計算思維的線性代數(shù)課程混合式教學(xué)方案.新的混合教學(xué)模式可以在線性代數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和計算思維能力，既有利于教師持續(xù)提高教學(xué)水平，也有利于學(xué)生提高信息化學(xué)習(xí)能力和自我思考能力.

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);幾何直觀;計算能力;混合式教學(xué)

[中圖分類號]G623.5 ? [文獻標志碼]A

Abstract：A teaching scheme based on geometric intuition and calculating ability in linear algebra course is proposed.The new blended teaching scheme aims to improve the geometric intuition and calculating ability in linear algebra course.Then，the teaching competence of teaches will be polished，and the informatization learning ability and the self-taught ability will be improved at the same time.

Key words：linear algebra;geometric intuition;calculating ability;blended teaching

線性代數(shù)問題廣泛存在于自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個領(lǐng)域中，其理論和方法得到廣泛的重視和應(yīng)用.線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的經(jīng)典理論課程，對于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和科學(xué)素養(yǎng)具有重要作用，是理學(xué)和工學(xué)等專業(yè)的公共基礎(chǔ)課.線性代數(shù)的概念因其抽象性和形式化，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生了較大的困難.學(xué)生難以理解線性空間理論中的形式化，更難以解釋形式化的概念跟幾何或線性方程組理論中更直觀內(nèi)容之間的關(guān)系.

形式化將數(shù)學(xué)定義為嚴密的證明科學(xué)，做數(shù)學(xué)的唯一方法就是進行證明，只有通過嚴密證明得到確定的數(shù)學(xué)結(jié)論，才是完成了做數(shù)學(xué)的過程.杜賓斯基[1]指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，遇到困難的原因包括：（1）教師是教學(xué)的主導(dǎo)者，他在教學(xué)過程中完全是單向的向?qū)W生灌輸各種概念、定義和定理，學(xué)習(xí)的內(nèi)容和必要的操作也是完全由教師來告訴學(xué)生.數(shù)學(xué)思維的過程是完全由教師來進行展示和操作，學(xué)生往往不理解概念的意思，但是可以直接進行計算的操作.學(xué)生只記住了概念，就可以直接應(yīng)用相關(guān)的算法來解題——如用高斯消去法進行初等行變換，可以得到矩陣的階梯形——這是線性代數(shù)的優(yōu)點，同時也是數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的弱點和挑戰(zhàn).（2）學(xué)生缺乏對于線性代數(shù)所需背景概念的理解，這些背景概念往往能夠解決線性代數(shù)之外的很多問題.通常這些問題是數(shù)學(xué)家所不關(guān)心的，也是數(shù)學(xué)教師所不了解的，但對于學(xué)生的學(xué)習(xí)而言卻很重要——它們助于建立學(xué)習(xí)的動機.（3）缺乏有效的教學(xué)策略讓學(xué)生形成自己的思考.一味的接受現(xiàn)成的理論和方法，不利于幫助學(xué)生建構(gòu)自己對概念的理解.

線性代數(shù)的某些概念在三維以下空間中具有形象的幾何意義.從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，幾何與代數(shù)是很難完全分離的，所以線性代數(shù)的幾何化能夠真正建立概念意象.人們設(shè)計并實施以幾何的方式融入線性代數(shù)教學(xué)的方案，將線性代數(shù)概念賦予更多具體的幾何意義，以此克服抽象的概念所帶來的困難和形式化的障礙.[2-3]但同時也需要注意到，從幾何的角度引入概念，會讓學(xué)生很難與代數(shù)表征關(guān)聯(lián)起來，在推廣形式化概念的過程中會遇到一些困難.[4]由于幾何只能限于三維空間，如秩、合同等概念，在幾何情境下講述就會受到很大的限制.所以，幾何直觀在線性代數(shù)中雖然是一種常用的手段，但在現(xiàn)實幾何中的使用常常流于表面，甚至是膚淺的.對于學(xué)生而言，在線性代數(shù)中利用幾何表示或以幾何為參照物，并不總是有益的.換言之，幾何參照有時成了學(xué)生理解一般線性代數(shù)的障礙.因此，幾何直觀會成為一個積極的因素，但必須加以精心設(shè)計和使用，要在把與代數(shù)的聯(lián)系講清楚的條件下使用.[5-6]

1 幾何直觀教學(xué)實踐

混合式教學(xué)的思路：教學(xué)要由直觀到抽象，由低維到高維，再指導(dǎo)具體的問題解決.首先，闡述線性代數(shù)概念中的低階幾何意義，借助數(shù)學(xué)軟件演示實現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，使得學(xué)生能直觀的體會概念在二維三維空間中的幾何意義;其次，推廣到一般的高維空間中去，抽取具體幾何意義，在抽象的意義上進行論證，在具體幾何應(yīng)用中講解其一般概念.

1.1 從二維、三維的幾何意義出發(fā)使學(xué)生領(lǐng)會教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)

線性方程組是線性代數(shù)中最為經(jīng)典和重要的內(nèi)容.一般比較重視高斯消去法解法步驟的教學(xué)，注重對方程組無解、唯一解和無窮解的秩的判別方法解釋，往往會陷入到機械的解題步驟訓(xùn)練和枯燥定理的記憶中去，不利于學(xué)生深刻把握問題的實質(zhì).筆者從二維、三維的幾何意義出發(fā)，使學(xué)生更加容易領(lǐng)會教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

A和A～分別表示方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣.

這種歸納教學(xué)，非常有利于學(xué)生將方程組理論用幾何圖形進行直觀，理解.進一步把方程組推廣到高維情形下，用圖形幫助學(xué)生理解方程組解的情形的判定，深入理解方程組中一系列定理的本質(zhì).

r是系數(shù)矩陣的秩，也是最終方程的個數(shù)，n是未知數(shù)的個數(shù)，n-r是自由未知量的個數(shù).n=r則沒有自由未知量，那么，解當然就唯一（圖4（a）），否則r

1.2 利用正交變換保持圖形幾何性質(zhì)不變的特性，解決復(fù)雜的二次曲面（線）形狀問題

正交變換有保持圖形幾何性質(zhì)不變的特性，對于解決復(fù)雜的二次曲面（線 ）的形狀問題具有很大的優(yōu)越性.一些二次曲面，直接看不出它的圖形類別，通過正交變換之后，就可以判斷曲面的類型.這個過程相當于從幾何圖形上尋求二次型主軸的問題，通過正交變換使得相應(yīng)矩陣對角化，即找其主軸大小和方向，也就是求矩陣的特征值和特征向量.用特征向量組成正交矩陣，把二次型對角化，簡化二次型，從而判斷二次曲面的類型.

例如判斷方程3x2+4xy+2z2=1所代表的二次曲線類型.方程左邊實際上是三元的二次型，可設(shè)為f（x，y，z）=3x2+4xy+2z2，其對應(yīng)矩陣為：3 2 02 0 00 0 2.

容易求得其特征值為4，2，-1，從而可得原二次曲面的標準方程為4x21+2y21-z21=1，易知該曲面為單頁雙曲面，見圖5.

三元二次曲面的圖形大致可以分類為橢球面、雙曲面、圓錐面、柱面、平面及直線等，其標準的二次曲面方程參考文獻[7].

二次型的幾何意義除了體現(xiàn)在判斷二次曲面的幾何形狀外，其正定性也有明顯的幾何意義.當函數(shù)為正定二次型時，可由坐標變換化為系數(shù)全為正的標準型，于是圖形橫切面f（x，y）=c是以原點為中心的橢圓族，隨著c減小且趨于零而收縮到原點.

如f（x，y）=14x2+y2是一個正定二次型，它的圖像是一個開口朝上的橢圓拋物面，整個曲面除頂點在坐標平面原點上，其余均在x oy平面的上方（圖6（a））;f（x，y）=2x2是半正定二次型，它是一個開口朝上的拋物柱面，整個曲面有一條母線在x oy面上，其余均在x oy面上方（圖6（b））;f（x，y）=xy是一個不定二次型，圖形是一個馬鞍面，顯然馬鞍面上正值、負值、零都是存在的（圖6（c））.

2 計算思維教育

計算思維教育是將知識傳授與能力的培養(yǎng)相結(jié)合，著眼于使用計算機方法實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的處理與模型求解.計算思維是以表達和計算為特征進行問題求解、系統(tǒng)設(shè)計以及人類行為理解的思維活動.[8]

計算思維貫穿于理工科的各個專業(yè).作為理論基礎(chǔ)課程的線性代數(shù)，其內(nèi)容與本質(zhì)和培養(yǎng)學(xué)生的計算能力和創(chuàng)新能力是一致的，大數(shù)據(jù)和人工智能是以矩陣向量等為工具進行基本數(shù)據(jù)計算實現(xiàn)模型的推理.線性代數(shù)的一些主要計算方法體現(xiàn)了許多計算思維的本質(zhì)問題——如行列式、矩陣初等變換、矩陣求逆等問題——有著非常規(guī)整和嚴格的算法，也非常適合算法設(shè)計與計算機實現(xiàn)，學(xué)生在大學(xué)低年級階段，通過線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)，可以提高建模能力和計算思維能力.

第一，有利于教師個性化指導(dǎo).混合式教學(xué)可以進行線上線下多方面的交流與指導(dǎo)，深程度地參與學(xué)生的監(jiān)督與交流過程，多方面掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)效果與特征，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，實現(xiàn)因材施教，個性化教學(xué)，最終提高學(xué)生對概念的理解.

第二，有利于對學(xué)生計算思維、邏輯思維以及自學(xué)能力的培養(yǎng).學(xué)生在設(shè)計算法和編制程序時，需要從數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)出發(fā)，考慮程序的嚴謹性，還需要查閱資料，進行廣泛的閱讀.教師通過引導(dǎo)學(xué)生分析和完善示例程序，從定義到手工計算，再到算法設(shè)計和編程以及程序的調(diào)制，通過一系列的學(xué)習(xí)流程，提升學(xué)生的計算能力.

第三，混合式教學(xué)可以實現(xiàn)理論與實際相結(jié)合，綜合提高學(xué)生的思維能力、計算能力和動手能力，實現(xiàn)理論知識、設(shè)計算法和編程的學(xué)習(xí)，為后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)培養(yǎng)堅實的計算思維能力.

筆者以逆矩陣的求解問題為例，說明計算思維教育的具體做法.

3 結(jié)論

提出一種面向幾何直觀和計算思維的線性代數(shù)課程混合式教學(xué)方案.新的教學(xué)方案可以在線性代數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的計算思維能力，既有利于教師持續(xù)提高教學(xué)水平，也有利于學(xué)生提高信息化學(xué)習(xí)能力和自我思考能力.

參考文獻

[1]DUBINSKY E.Some thoughts on a first course in linear algebra at the college level [C].CARLSON D，JOHONSON，C R，LAY D C.Resources for the teaching of linear algebra.The Mathematical Association of America，1997：85–105.

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[3]宋曉輝.線性代數(shù)教學(xué)中學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2014（1）：62-64.

[4]CARLSON D，JOHNSON C，LAY，et al.The Linear algebra curriculum study group recommendations for the firstcourse in linear algebra [J].College Mathematics Journal，1993 （24）：41–46.

[5]David C.Lay，Steven R.Lay，Judi J.McDonald.Linear Algebra and its Applications 5e[C].Linear algebra and its applications.Wiley-Interscience，2004.

[6]陳懷琛.論工科線性代數(shù)的現(xiàn)代化與大眾化[C].中國電子教育學(xué)會高教分會2011年論文集，2011.

[7]任廣千，謝聰，胡翠芳. 線性代數(shù)的幾何意義[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2015.

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編輯：吳楠