簡單多面體的內(nèi)切球與外接球問題解題基本方法

◇ 甘肅 楊子林

(作者單位:甘肅省張掖市第二中學(xué))

簡單多面體的外接球和內(nèi)切球問題是每年高考的熱點(diǎn)問題,其解題的關(guān)鍵在于確定球心在多面體中的位置,找到球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系,結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑.

1 簡單多面體的內(nèi)切球半徑

求簡單多面體內(nèi)切球半徑利用體積分割法,這與求三角形內(nèi)切圓的半徑的方法(面積分割法)類似.求三角形內(nèi)切圓的半徑需要把內(nèi)心與三個(gè)頂點(diǎn)分別相連,把三角形分割為三個(gè)小三角形,則c)r,因此

求多面體內(nèi)切球的半徑用體積分割法.把多面體內(nèi)切球的球心與各頂點(diǎn)相連,則將該多面體分割為n個(gè)棱錐,設(shè)這n 個(gè)棱錐的底面面積分別為S1,S2,…,Sn,多面體的表面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,于是

例1在四棱錐P-ABCD 中,底面ABCD 是邊長為a 的正方形,PD ⊥底面 ABCD,PD ＝a,PA ＝若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球,求此球的最大半徑.

設(shè)此球半徑為R,最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面相切,設(shè)球心為S,連接SA,SB,SC,SD,SP,把此四棱錐分為5個(gè)棱錐,設(shè)它們的高均為R.

2 簡單多面體的外接球球心位置

簡單多面體的外接球問題比較復(fù)雜,解題關(guān)鍵是確定外接球的球心的位置,本文介紹確定簡單多面體的外接球的球心位置的三個(gè)基本方法.

1)定義法

一些特殊的幾何體(如正方體、長方體等)可利用幾何體的性質(zhì)確定球心的位置.

例2在矩形ABCD 中,AB＝4,BC＝3,沿AC將矩形折成一個(gè)直二面角B-AC-D,求四面體ABCD的外接球的體積.

根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,外接球球心是對(duì)角線AC 的中點(diǎn),因此球的半徑是則球的體積為

2)性質(zhì)法

利用球心O 與截面圓圓心O′的連線垂直于截面圓、球心O 與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦、弦的垂直平分面必過球心的性質(zhì)確定球心的位置.

例3如圖1,球面內(nèi)接三棱錐P-ABC,PA⊥平面ABC,PA＝2,△ABC 是邊長為的正三角形,求球面的面積.

圖1

取△ABC 外接圓的圓心為E,△ABC 的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓,因?yàn)榻孛鎴A的圓心與球心的連線垂直于截面圓,與弦PA 的垂直平分面相交于點(diǎn)F,則四邊形AEFG 為平行四邊形.△ABC 的外接圓半徑為AE＝1,AG ＝1,外接球的半徑為 AF,則 AF2＝故球面的面積為8π.

3)補(bǔ)形法

同一頂點(diǎn)處的三條側(cè)棱兩兩垂直的四棱錐補(bǔ)形為長方體,正四面體補(bǔ)形為正方體,對(duì)棱相等的四面體補(bǔ)形為長方體.

例4設(shè)三棱錐P-ABC 中則該三棱錐外接球的半徑為________.

一般地,對(duì)棱相等的四面體補(bǔ)形為長方體,長方體相對(duì)面的對(duì)角線長度相等,所以以相等的對(duì)棱當(dāng)作長方體相對(duì)面的對(duì)角線將其補(bǔ)成長方體.設(shè)長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為x,y,z,則即x2＋y2＋z2＝50,四面體外接球的半徑為