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    關(guān)注中考三角形的幾個(gè)考點(diǎn)

    2020-12-11 09:16李棟
    關(guān)鍵詞:考點(diǎn)中考三角形

    李棟

    [摘要]探討中考中三角形的幾個(gè)重要考點(diǎn),即三角形的三邊關(guān)系、三角形的三角關(guān)系、三角形的邊角關(guān)系,可以使學(xué)生深刻認(rèn)識三角形的邊角關(guān)系,并能運(yùn)用邊角關(guān)系解答相關(guān)問題,提高學(xué)生基本的幾何素養(yǎng).

    [關(guān)鍵詞]三角形;中考;考點(diǎn)

    [中圖分類號]G633.6

    [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

    [文章編號] 1674-6058( 2020)35-0020-02

    三角形的三邊關(guān)系、三角關(guān)系與邊角關(guān)系是各省市中考的重點(diǎn),下面筆者對此做一探討,

    考點(diǎn)一:三角形的三邊關(guān)系

    三角形的三邊關(guān)系,是指在所有三角形中,任意兩邊相加的和,必然大于第三條邊,任意兩邊相減的差必然小于第三條邊,這樣我們可以通過已知三角形的兩邊長,求出第三條邊的取值范圍,進(jìn)而求出三角形周長的取值范圍,當(dāng)?shù)谌龡l邊取整數(shù)時(shí),還可以確定第三條邊的長,對于特殊三角形,如直角三角形,它的三邊還符合勾股定理,等腰三角形,它的三邊存在底邊大于0小于二分之一周長,腰長大于0的規(guī)律.

    [例1]解答下列相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)問題:

    (l)觀察圖1,已知點(diǎn)P是三角形ABC的BC邊上的一點(diǎn),試比較BP+PC與AB+AC之間的大小關(guān)系.

    (2)觀察圖2,當(dāng)點(diǎn)P從三角形的一邊上移到三角形的內(nèi)部時(shí),試比較C△BPC與C△ABC的大小關(guān)系.

    (3)觀察圖3,當(dāng)一個(gè)點(diǎn)P變化為兩個(gè)點(diǎn)P1、P2,試比較C 四邊形BP1P2C與C△ABC的大小關(guān)系,

    解析:(1)根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出BP+PC< AB十AC.理由:三角形兩邊之和大于第三條邊;

    (2)可延長BP交AC于M,根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出:△BPC的周長<△ABC的周長,理由:如圖4,延長BP交AC于M,在△ABM中,BP+ PM< AB十AM,在△PMC中,PC< PM+ MC,兩式相加得BP+PC

    (3)分別延長BP1、CP2交于們,再根據(jù)(2)中得出的結(jié)論,可得出:四邊形BPIP2C的周長<△ABC的周長,理由:如圖5,分別延長BP,、CP,交于M,由(2)知,BM+CM< AB+ AC,又P1、P2

    考點(diǎn)二:三角形的三角關(guān)系

    三角形的三角關(guān)系,是指三角形的三個(gè)內(nèi)角相加必為180°,即三角形內(nèi)角和定理,已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù),此內(nèi)角和定理決定了三角形最多有一個(gè)直角或鈍角,最多有三個(gè)銳角,最少有兩個(gè)銳角,因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角與相鄰的外角是互補(bǔ)關(guān)系,所以三角形的一組外角中,最多有一個(gè)銳角,最多有三個(gè)鈍角.

    [例2]閱讀下列材料并解答問題:我們規(guī)定,三倍角三角形是指三角形中,有兩個(gè)內(nèi)角的關(guān)系是三倍關(guān)系,當(dāng)三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為105°、35°、40°時(shí),三角形ABC就是一個(gè)三倍角三角形,反過來,當(dāng)三角形ABC是三倍角三角形,那么三角形ABC中必有兩個(gè)角是三倍關(guān)系.

    (l)在圖6中,∠O的度數(shù)為60°,BA垂直于∠O的一邊OM,垂足為點(diǎn)A,判斷△AOB是否是三倍角三角形,并說明理由.

    (2)在(1)的條件下,以A為端點(diǎn)畫射線AD,交線段OB于點(diǎn)C(點(diǎn)C不與點(diǎn)O、點(diǎn)日重合).若△AOC是三倍角三角形,求∠ACB的度數(shù).

    (3)圖7,在三角形ABC中,DE平分∠ADC,且∠EFC與∠BDC互補(bǔ),∠DEF與∠B相等,如果三角形BCD是三倍角三角形,那么∠B的度數(shù)是多少?

    解析:(1)∵AB⊥OM,∴∠OAB= 90°,∴∠ABO=90° -∠MON= 30°,∵∠OAB=3∠ABO,∴△AOB為三倍角三角形;

    (2)。∵∠MON= 60°,∴當(dāng)∠OAC= -∠AOB= 20°時(shí),△AOC是三倍角三角形'..LACB= LOAC+∠AOB= 80°,當(dāng)∠OAC=3∠ACO,即∠OAC= 30°時(shí),△AOC是三倍角三角形.∴∠ACB= 90°;

    (3)因?yàn)椤螮FC與∠BDC互補(bǔ),∠LADC與∠BDC互補(bǔ),根據(jù)同角的補(bǔ)角相等,得∠EFC=∠ADC,根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”,得AD∥EF,根據(jù)“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”,得∠DEF=∠ADE,結(jié)合已知中的等角,得∠B=∠ADE,再根據(jù)平行線的判定方法,得DE∥BC,根據(jù)題中的角平分線,得∠ADE=∠CDE,這樣∠B=∠BCD.因?yàn)椤鰾CD是三倍角三角形,所以應(yīng)分兩種情況討論.(1)當(dāng)∠BDC=3 ∠B時(shí),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得∠BDC+ ∠BCD+ ∠B= 180°,所以5∠B= 180°,∠B=36°;(2)當(dāng)∠B=3∠BDC時(shí),7/3∠B=180°,∠B=540°/7

    考點(diǎn)三:三角形的邊角關(guān)系

    三角形的邊角之間最基本的關(guān)系是較大的邊對的角也較大,較大角對的邊也較長.三角形的邊角關(guān)系還包括正弦定理、余弦定理及射影定理,它們是指在三角形中,每條邊與它相對的角的正弦值相比,其比值都相等;每一邊的平方,與其他兩邊的平方和減去兩邊與夾角余弦的積的兩倍之間有相等關(guān)系;兩邊在第三邊上的投影相加,剛好等于第三邊,在直角三角形中,四個(gè)銳角三角函數(shù)講的也是三角形的邊角關(guān)系.

    [例3]閱讀下列材料:在圖8中,設(shè)三角形ABC的三邊分別為a、b、c,那么三角形ABC的面積有如下三種表示方法,即1/2ab sin C、1/2ac sinB、1/2bc sinA

    證明:在圖8中,ADIBC,垂足為點(diǎn)D,在直角三角形ABD中,由正弦概念,得。inB:AD,所以AD:c.sinB,根據(jù)三角形的面積公式得三角形ABC的面積為1/2BC-AD=1/2ac sinB,如果利用∠C的正弦,可得三角形ABC的面積為1/2ab sinc;如果過點(diǎn)B作AC的垂線,可得三角形的面積為1/2bc sinA.

    (l)利用上述的三個(gè)結(jié)論,試證明sinA - sinB -sinC

    (2)如圖9,已知三角形ABC中兩個(gè)角的度數(shù),即∠B為15°,∠C為60°,且一邊AB的長為20√3,試求AC的長.

    (3)如圖10,有一塊三角形荒地ABC,在點(diǎn)B處觀察點(diǎn)A時(shí),射線BA的方向?yàn)楸逼珫|75°,在點(diǎn)C處觀察點(diǎn)A時(shí),射線CA的方向?yàn)楸逼?5°,且B、C兩點(diǎn)的距離為18 km,那么三角形ABC的面積是多少?(sin 15°≈ 0.3,sin 120°≈ 0.9,√2≈ 1.4,結(jié)果取整數(shù))

    三角形的邊角關(guān)系還包括三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和,但是這兩個(gè)內(nèi)角不能與這外角相鄰,三角形的三邊關(guān)系、三角關(guān)系及邊角關(guān)系始終是我們研究的重點(diǎn),因?yàn)檫吪c角是三角形最重要的兩類要素,其他圖形問題也要轉(zhuǎn)化為三角形問題解決,因此,深刻認(rèn)識三角形的邊角關(guān)系,并能運(yùn)用其邊角關(guān)系解答相關(guān)問題,是初中生學(xué)習(xí)幾何應(yīng)具備的基本素養(yǎng).

    (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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