對(duì)一道南京鹽城一模試題的解法研究

李瑞華

[摘要]2020年南京鹽城一模試題第14題是以函數(shù)、絕對(duì)值為背景設(shè)置的填空壓軸題，融合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、絕對(duì)值于一體，涉及數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.運(yùn)用定點(diǎn)法巧解該題，是基于解題扎實(shí)功底的，是解題經(jīng)驗(yàn)的積累所致.

[關(guān)鍵詞]定點(diǎn);切線;數(shù)形結(jié)合

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（2020）35-0022-02

運(yùn)算求解能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.對(duì)于一道有難度的試題，如何在有限時(shí)間內(nèi)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)及所掌握的方法快速正確地求解，是師生共同面對(duì)的問(wèn)題.筆者根據(jù)南京鹽城一模試題第14題（填空壓軸題）淺談自己的一點(diǎn)想法.

一、題目呈現(xiàn)及分析

一模是高三四次大考中的重要一環(huán).一模試題的難度適中，貼近高考.南京鹽城一模試題第14題是填空題的最后一道題，是填空題的壓軸題，有一定的難度.

記F（x）= x²+x+1一e^x（x≤1），則F'（x）=2x+ 1-e^x（x≤1），由F'（x）<0得x<0，由F'（x）>0得02 +x+1≥ex對(duì)任意x≤l恒成立.

[點(diǎn)評(píng)]解法二的求解過(guò)程分為三個(gè)大的邏輯段：（1）分母不為0對(duì)任意x≤1恒成立，求得實(shí)數(shù)a的大致范圍并確定分母的正負(fù)號(hào)幫助去絕對(duì)值符號(hào);（2）引入兩個(gè)函數(shù)g（x）= x²—2ax+1（x≤1）和h（x）=e^x（x≤1），并觀察出g（0）=h（0）=1，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式g（x）≥h（x）對(duì)任意x≤1恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為g（x）和h（x）在x=0處有相同的切線，即g'（0）=h'（0）;（3）用導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，求出a并檢驗(yàn).上述三個(gè)邏輯段中，最關(guān)鍵的是第二個(gè)邏輯段，定點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)是解題的突破口，

解法一和解法二都是抓住函數(shù)的定點(diǎn)切入，解法一用極值點(diǎn)的性質(zhì)，解法二用切線的斜率，解法二中的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)不等式F'（x）<0的求解.如果不知道F'（x）=0有2個(gè)不等根，那么會(huì)造成F'（x）<0的解為0

本題是在泰勒展開(kāi)式的基礎(chǔ)上命題，按照泰勒展開(kāi)式應(yīng)有e^x≥0.5x²+x+1對(duì)任意x≥0恒成立，本題調(diào)整了二次項(xiàng)系數(shù)和定義域，并改變了不等號(hào)的方向，使得題目獨(dú)立成為一個(gè)有難度的新題.

綜上，通過(guò)觀察式子的特征，找到函數(shù)恒過(guò)的定點(diǎn)，巧用定點(diǎn)，完成了試題的求解，教師在平時(shí)的教學(xué)，要善于總結(jié)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與提煉，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)與方法的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立起對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的整體認(rèn)知，生成一類(lèi)問(wèn)題的基本解法，這樣，才能讓學(xué)生做到舉一反三、觸類(lèi)旁通，才能培養(yǎng)和提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

（責(zé)任編輯 陳昕）