基于非合作博弈的車削用量?jī)?yōu)化選擇

李崇洋，吳紫澗+，甘 屹，楊麗紅，曹衍龍，楊將新

(1.上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)

0 引言

切削因加工過程十分復(fù)雜且受眾多因素影響而具有不確定性，切削用量數(shù)值選擇是否合理，極大地影響著加工的生產(chǎn)成本、工件質(zhì)量、生產(chǎn)效率和加工的功耗等多項(xiàng)生產(chǎn)指標(biāo)。生產(chǎn)中通過查閱切削用量手冊(cè)或憑借經(jīng)驗(yàn)、必要時(shí)通過試切來選擇切削用量[1]，用這種傳統(tǒng)方法選擇的切削用量一般是實(shí)用可行的，但是這種方法具有一定的主觀性和隨機(jī)性，導(dǎo)致所選結(jié)果不為最佳，因此需要探索一種合理有效的方法來優(yōu)化切削用量。

對(duì)于切削用量的優(yōu)化問題，國內(nèi)外已有多位學(xué)者進(jìn)行了大量研究，李建廣等[2]以加工工時(shí)最小和加工成本最低為優(yōu)化目標(biāo)，建立了基于遺傳算法的車削用量?jī)?yōu)化系統(tǒng)框架結(jié)構(gòu)，研究了車削用量?jī)?yōu)化問題；周志恒等[3]建立了數(shù)控車削的能耗功率和加工效率數(shù)學(xué)模型，以加工過程中能量消耗最低和加工效率最高為目標(biāo)，設(shè)計(jì)了一種基于多目標(biāo)教與學(xué)的優(yōu)化算法求解能耗效率優(yōu)化模型，客觀地得到優(yōu)化后的車削用量，并通過實(shí)例驗(yàn)證了所提算法的有效性；李聰波等[4]考慮加工過程對(duì)環(huán)境的影響，以碳排放量最低和效率最高為優(yōu)化目標(biāo)，通過對(duì)各目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)將多目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化模型，并利用復(fù)合形法求解優(yōu)化模型，對(duì)車削用量的優(yōu)化問題進(jìn)行了研究；謝書童等[5]提出采用車削次數(shù)枚舉方法和分布估計(jì)方法相結(jié)合的優(yōu)化算法，利用懲罰函數(shù)法，以最小化加工成本為優(yōu)化目標(biāo)，研究了數(shù)控車削中車削用量的優(yōu)化方法，并通過計(jì)算機(jī)模擬驗(yàn)證了算法的高效性；鄭丞等[6]考慮實(shí)際裝配過程中產(chǎn)品的公差分配問題，以產(chǎn)品的質(zhì)量和成本為優(yōu)化目標(biāo)，采用非合作博弈的方法進(jìn)行公差分配優(yōu)化，解決了不同公差分配方案下產(chǎn)品質(zhì)量與成本設(shè)計(jì)相互沖突的問題，保證了質(zhì)量與成本兩方面綜合收益的最大化；陳加明等[7]將多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)與合作競(jìng)爭(zhēng)博弈理論相結(jié)合，提出一種多目標(biāo)優(yōu)化方法，并將該方法應(yīng)用于減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了方法的可行性與有效性；Yan等[8]利用曲面響應(yīng)法和灰色關(guān)聯(lián)法，以能耗最低、效率最高和質(zhì)量最好為目標(biāo)對(duì)銑削用量進(jìn)行了尋優(yōu)；Saravanan等[9]將模擬退火算法和遺傳算法相結(jié)合，以生產(chǎn)成本最小化為目標(biāo)，研究了車削中的車削用量?jī)?yōu)化問題；Srinivas等[10]提出一種慣性系數(shù)隨迭代線性遞減的粒子群算法來選擇多走刀加工中的最佳車削用量；Li 等[11]在考慮機(jī)械加工對(duì)環(huán)境影響的同時(shí)，從降低能耗的角度出發(fā)研究了銑削用量的優(yōu)化選擇問題；Zhou等[12]在加工過程中考慮碳排放、切削時(shí)間和切削成本等生產(chǎn)指標(biāo)，建立了基于加工過程的多目標(biāo)切削參數(shù)優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)一種非合作博弈理論集成第二代非支配排序遺傳算法(Non-cooperative Game integrate Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ， NG-NSGA-Ⅱ)來求解模型，最終得到加工所需的最優(yōu)車削用量?？梢?，切削用量的優(yōu)化研究已經(jīng)成為眾多國內(nèi)外學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)。上述研究成果基本以質(zhì)量、利潤(rùn)、效率、成本、能耗等為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，或通過構(gòu)造加權(quán)評(píng)價(jià)函數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。然而，如果只考慮單目標(biāo)優(yōu)化，則不能適應(yīng)實(shí)際加工中多項(xiàng)生產(chǎn)指標(biāo)相互矛盾和沖突的情況；如果通過經(jīng)驗(yàn)賦權(quán)和構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)來表征多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)間的相互耦合關(guān)系，則可能使設(shè)計(jì)方案帶有某種主觀性和不穩(wěn)定性。因此，本文采用可客觀處理帶有沖突因素問題的博弈決策分析方法進(jìn)行車削用量的優(yōu)化研究。

博弈論(game theory)也稱對(duì)策論，由馮·諾依曼和奧斯卡·摩根斯坦恩兩位大師提出，上世紀(jì)50年代博弈論得到飛速發(fā)展，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家約翰·福布斯·納什采用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了均衡點(diǎn)的存在，從而將博弈論一般化。博弈論是一種數(shù)學(xué)方法，是處理各類帶有沖突因素問題的決策理論，主要用于分析相互競(jìng)爭(zhēng)的個(gè)體之間的行為。多目標(biāo)優(yōu)化問題中，各優(yōu)化目標(biāo)之間互相矛盾、相互沖突，通過各種方法尋找的優(yōu)化解難以滿足各個(gè)目標(biāo)的需求，研究多目標(biāo)優(yōu)化問題的意義在于尋求一個(gè)或多個(gè)解，使得決策者能夠接受所有目標(biāo)值，而博弈論主要是分析面向沖突和矛盾環(huán)境下相互競(jìng)爭(zhēng)的個(gè)體之間的行為，研究它們之間的優(yōu)化策略，因此多目標(biāo)優(yōu)化問題的本質(zhì)與博弈決策問題很相似。切削加工中各項(xiàng)生產(chǎn)指標(biāo)之間往往相互沖突和矛盾，通過分析它們之間的沖突關(guān)系發(fā)現(xiàn)切削用量的優(yōu)化選擇問題可完全視為多目標(biāo)沖突情況下的博弈決策問題。基于博弈論調(diào)和沖突與矛盾的內(nèi)在本質(zhì)，以及工程中廣泛存在的多目標(biāo)優(yōu)化問題的相似性，本文采用非合作博弈理論，面向車削用量選擇中生產(chǎn)效率最高和加工功率損耗最低兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)沖突問題，提出一種基于非合作博弈模型的車削用量?jī)?yōu)化選擇方法。該方法以生產(chǎn)效率和加工功耗為博弈決策方，以設(shè)計(jì)變量集合為博弈雙方的策略空間，以生產(chǎn)效率和加工功耗多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為博弈雙方的收益函數(shù)，建立車削用量?jī)?yōu)化選擇非合作博弈決策模型。最后通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的算法對(duì)模型算例進(jìn)行了求解。

1 多目標(biāo)優(yōu)化問題與博弈理論

博弈論是研究沖突環(huán)境下的決策理論，作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，博弈理論被廣泛應(yīng)用于軍事學(xué)、政治學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，近年來在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)[13]、水利水運(yùn)[14]、系統(tǒng)分析[15]、智能電網(wǎng)[16]等工程領(lǐng)域中的應(yīng)用也越來越普遍。博弈論在不同具體問題的應(yīng)用具上有相似性，其應(yīng)用研究基本遵循從建模、分析到求解的過程。博弈論方法的每一個(gè)目標(biāo)的權(quán)重都相同，不需要對(duì)目標(biāo)進(jìn)行人為賦權(quán)，也不用構(gòu)造特定的評(píng)價(jià)函數(shù)，因此對(duì)問題的處理更加客觀。在博弈過程中，博弈的Nash均衡點(diǎn)由各組成環(huán)節(jié)的均衡法則通過自然引導(dǎo)各博弈方進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)與合作得到，這種均衡具有穩(wěn)定性和自我強(qiáng)制性[17]。非合作博弈是一種重要的博弈類型，近年來采用非合作博弈方法優(yōu)化各類工程問題已成為研究熱點(diǎn)。

1.1 非合作博弈理論

非合作博弈理論中有兩個(gè)非常重要的概念，即非合作博弈決策模型和純策略Nash均衡。

(1)非合作博弈決策模型 博弈過程中各博弈參與者之間沒有具有約束力的協(xié)議，在相互制約、相互作用的關(guān)系下，每個(gè)參與者都自私地希望最大化自身收益，這種博弈稱為非合作博弈。非合作博弈決策模型由最基本的三要素構(gòu)成，即博弈決策者Ni(指各博弈方，又稱博弈參與者或局中人)、隸屬于各博弈方Ni的策略集Si和相應(yīng)的收益函數(shù)ui(又稱支付函數(shù))；在一個(gè)博弈中，如果每個(gè)博弈的參與者選定自己的策略si，則所有參與者各自選定的策略構(gòu)成一個(gè)策略組合s={s1,s2,…，sm}，在該策略組合下，每個(gè)博弈方的收益ui(s)都是策略組合的函數(shù)，一般用-i表示除了某特定的博弈決策方i以外其余的博弈決策方。博弈過程中，每個(gè)參與者選擇的策略在一定程度上都會(huì)依賴于其他參與者選擇的策略。非合作博弈決策模型可表示為G={Ni;Si;ui(i=1,2,…，m)}。

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化問題的博弈模型

十九世紀(jì)末法國數(shù)學(xué)家V.Pareto首次從數(shù)學(xué)角度提出多目標(biāo)最優(yōu)決策問題，時(shí)至今日多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究在國內(nèi)外已經(jīng)相當(dāng)多。多目標(biāo)優(yōu)化問題在工程應(yīng)用等領(lǐng)域廣泛存在，可描述為：由設(shè)計(jì)變量參數(shù)集合X、目標(biāo)函數(shù)F(X)和約束條件H(X)組成的優(yōu)化問題，其中設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)與約束條件之間是函數(shù)關(guān)系。

多目標(biāo)優(yōu)化問題與博弈決策問題在本質(zhì)上具有相似性，若用現(xiàn)有方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，則會(huì)使求解結(jié)果缺乏客觀性并具有不穩(wěn)定性，但可以將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為博弈決策問題進(jìn)行分析來避免上述缺陷問題。為了將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為博弈決策問題，需要將多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為非合作博弈決策模型。因此，將待優(yōu)化的設(shè)計(jì)目標(biāo)映射為博弈中的決策者，將設(shè)計(jì)變量集合X視為所有博弈方的策略空間S,設(shè)計(jì)變量的可行域視為策略組合的可行空間，將相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)視為各博弈方的收益函數(shù)，約束條件作為博弈優(yōu)化模型中的約束條件，從而得到一種由博弈決策者、收益函數(shù)和策略空間構(gòu)成的非合作博弈決策模型。例如兩目標(biāo)博弈的兩方博弈模型可表示為G={Ni;Si;ui(i=1,2)}。

在博弈決策模型中，因?yàn)椴┺牡牟呗詫?duì)于各博弈方來說是獨(dú)立的，而多目標(biāo)優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量對(duì)于每個(gè)目標(biāo)函數(shù)來說是共有的，所以需要采用一定的數(shù)學(xué)手段將設(shè)計(jì)變量集合X劃分為隸屬于各博弈方所擁有的策略集S1,S2,…，Sm，即X={S1,S2,…，Sm}，且滿足S=S1∪S2∪…∪Sm=X,Sa∩Sb=0(a,b=1,2,…,m,a≠b)[11]。模糊聚類分析是一種常見的聚類方法，其因自然、直觀、結(jié)論形式簡(jiǎn)明等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于機(jī)械工程、人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域，本文采用模糊聚類分析方法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行歸屬分類。

2 車削用量?jī)?yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

在車削加工過程中，當(dāng)工件、刀具、機(jī)床參數(shù)都確定后，切削速度vc、進(jìn)給量f和背吃刀量ap三要素便成為影響生產(chǎn)效率和加工功耗等生產(chǎn)指標(biāo)的主要因素，可通過改變vc，f，ap達(dá)到優(yōu)化車削加工的目的，因此這三要素是主要的優(yōu)化變量。實(shí)際加工過程中背吃刀量ap往往受到加工余量的限制，為了減少走刀次數(shù)應(yīng)盡可能一次切除全部加工余量，即假定優(yōu)化模型是一個(gè)單走刀模型，優(yōu)化時(shí)通常將切削速度vc和進(jìn)給量f作為設(shè)計(jì)變量，而將背吃刀量ap作為常量。然而，車削加工一般需要多次走刀，因此為了使切削加工的優(yōu)化更加準(zhǔn)確實(shí)用，本文以vc，f，ap作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，故設(shè)計(jì)變量的矢量為X=[vc,f,ap]T。

2.2 生產(chǎn)效率時(shí)間目標(biāo)函數(shù)

生產(chǎn)效率通過加工工時(shí)體現(xiàn)，最短加工時(shí)間與最高生產(chǎn)效率一致[19]。一個(gè)工件的加工工時(shí)由實(shí)際切削時(shí)間、工序輔助時(shí)間和換刀時(shí)間3部分組成，加工時(shí)間的數(shù)學(xué)模型可表示為[3,20]

(1)

式中：tw為總的加工時(shí)間；tm為實(shí)際切削時(shí)間；tct為一次換刀所消耗的時(shí)間；T為刀具壽命，可以通過查表獲取；t0為除換刀時(shí)間外的其他工序輔助時(shí)間。以上時(shí)間變量的單位均為min。

對(duì)于車削加工，設(shè)工件被車削部分的長(zhǎng)度為l(單位：mm)，主軸轉(zhuǎn)速為n(單位：r/min)，工件直徑為d(單位：mm)，切削速度為vc(單位：m/min)，進(jìn)給量為f(單位：mm/r)，背吃刀量為ap(單位：mm)，半徑方向加工余量為Δ(單位：mm)，則有

(2)

按照最大的生產(chǎn)效率目標(biāo)，根據(jù)式(2)，目標(biāo)函數(shù)為

g1(vc,f,ap)=mintw

(3)

2.3 加工功率消耗目標(biāo)函數(shù)

劉飛等[21]的研究表明,當(dāng)機(jī)床系統(tǒng)處于切削狀態(tài)時(shí)會(huì)產(chǎn)生附加載荷損耗功率Pa，此時(shí)機(jī)床的總功率損耗Pi主要由空載功率損耗Pu、切削功率損耗Pc和附加載荷功率損耗Pa3部分組成[22-25]。則加工功率消耗的數(shù)學(xué)模型可表示為[3-4]

Pi=Pu+Pc+Pa。

(4)

在實(shí)際加工過程中，機(jī)床的空載功率對(duì)機(jī)床的功率損耗有很大影響，劉飛等[21]指出，機(jī)床的空載功率Pu與主軸轉(zhuǎn)速n之間近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，表示為

Pu=PU0+k1n+k2n2。

(5)

式中：PU0為機(jī)床的最低空載功率；k1，k2為機(jī)床的主軸轉(zhuǎn)速系數(shù)。PU0，k1，k2的選取方法可參閱文獻(xiàn)[26]。

切削功率Pc指主運(yùn)動(dòng)消耗的功率(單位：kW),表示為[1]

(6)

式中：Fc為切削力；CFc，KFc，xFc，yFc，nFc為與加工條件和工件材料相關(guān)的系數(shù)，可通過查找切削用量簡(jiǎn)明手冊(cè)獲取[27]。

一般很難通過理論計(jì)算準(zhǔn)確得到附加載荷損耗功率Pa的數(shù)學(xué)模型，劉飛等[21]指出Pa與Pc的近似呈線性關(guān)系為

Pa=?Pc。

(7)

在實(shí)際工程應(yīng)用中，系數(shù)α的取值范圍一般為0.15～0.25，通常取0.2。

綜上所述，結(jié)合式(4)～式(7)，整理可得加工功耗的數(shù)學(xué)模型為

(8)

按照最少加工功耗的目標(biāo)，根據(jù)式(8)，目標(biāo)函數(shù)為

g2(vc,f,ap)=minPi。

(9)

2.4 約束條件

通常切削用量的選擇主要受機(jī)床設(shè)備的性能、切削用量自身范圍和加工質(zhì)量等限制，因此切削用量的優(yōu)化也必須滿足以上約束條件。

(1)切削速度的約束

因?yàn)榍邢魉俣群椭鬏S轉(zhuǎn)速可以相互轉(zhuǎn)換，所以切削速度約束即為主軸轉(zhuǎn)速約束，切削速度的取值需滿足主軸轉(zhuǎn)速約束，并在最低切削速度和最高切削速度之間選擇，即

(10)

(2)機(jī)床進(jìn)給量的約束

主軸轉(zhuǎn)速和進(jìn)給量共同決定進(jìn)給速度，進(jìn)給量的確定也必須限定在最小進(jìn)給量fmin和最大進(jìn)給量fmax之間，即

fmin≤f≤fmax。

(11)

(3)背吃刀量的約束

背吃刀量的選取與機(jī)床允許的最大切削力、刀具和工件的材料及加工工藝等都有關(guān)。粗加工時(shí)，選擇相對(duì)較大的背吃刀量；精加工時(shí)，因?qū)ぜ|(zhì)量有較高要求，往往選擇較小的背吃刀量，故背吃刀量的選擇也應(yīng)約束在合適的范圍內(nèi)取值，即

apmin≤ap≤apmax。

(12)

(4)切削力的約束

實(shí)際加工時(shí)需要對(duì)各切削分力進(jìn)行約束，其中進(jìn)給力不能大于機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)所允許的最大進(jìn)給力。對(duì)于車削加工，需要對(duì)其切削力進(jìn)行約束，約束表示為

(13)

式中：Fmax為最大切削力(單位:N)；CFf，KFf，xFf，yFf，nFf為與加工條件和工件材料相關(guān)的系數(shù)。

(5)切削功率的約束

切削功率必須小于機(jī)床系統(tǒng)提供的最大有效切削功率。因此切削功率約束可表示為

Pc≤ηPcmax。

(14)

式中：η為機(jī)床傳動(dòng)效率，一般η=0.75～0.9；Pcmax為機(jī)床的最大有效切削功率。

(6)加工質(zhì)量的約束

工件的加工質(zhì)量通常用工件已加工表面的表面粗糙度Ra體現(xiàn)。切削用量的選擇是否合理直接影響工件的表面粗糙度，因此需要在滿足表面粗糙度約束的情況下對(duì)切削用量進(jìn)行優(yōu)化，其約束表示為

(15)

式中：rε為刀具刀尖圓弧半徑；Ramax為零件的最大表面粗糙度。

綜上所述，面向效率和功耗的切削參數(shù)優(yōu)化是個(gè)典型的約束優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型如下：

minF(vc,f,ap)=(mintw,minPi)。

s.t.

fmin≤f≤fmax；apmin≤ap≤apmax；

(16)

Pc≤ηPcmax；

3 車削用量的優(yōu)化選擇非合作博弈決策方法

3.1 基于模糊聚類方法的車削用量博弈策略選擇模型

建立面向效率和功耗的非合作博弈車削用量?jī)?yōu)化選擇模型的關(guān)鍵在于確定各博弈決策方、確定各博弈方的策略歸屬和構(gòu)造各博弈方的收益函數(shù)。

針對(duì)車削用量的多目標(biāo)優(yōu)化問題，由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的本質(zhì)與博弈決策問題具有相似性，可將面向效率與功耗的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為博弈決策模型。車削用量選擇問題中的生產(chǎn)效率和加工功率損耗兩個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)分別表示兩個(gè)博弈決策方N1和N2；設(shè)計(jì)變量集合X=[vc,f,ap]T映射為兩博弈方的策略集組合，設(shè)計(jì)變量的可行域視為策略集的可行空間，利用模糊聚類分析方法將設(shè)計(jì)變量集合X劃分為隸屬于各博弈方的策略集S1和S2；生產(chǎn)效率和加工功率損耗兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)可視為相應(yīng)的博弈方N1和N2的收益函數(shù)u1和u2；車削用量?jī)?yōu)化問題中的各約束條件映射為博弈決策問題的約束條件，從而將效率與功耗的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為車削用量?jī)?yōu)化選擇非合作博弈決策模型。因此，基于效率和功耗的多目標(biāo)優(yōu)化問題的博弈模型為G={N1,N2;S1,S2;u1,u2}，且滿足S1∪S2=X,S1∩S2=0。

將設(shè)計(jì)變量集合X劃分為隸屬于各博弈方所擁有的策略集S1,S2,…,Sm，是將多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為博弈模型進(jìn)行分析時(shí)最重要的一步。本文通過計(jì)算每個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)各博弈方收益的影響因子指標(biāo)，并對(duì)該影響因子指標(biāo)進(jìn)行模糊聚類[28]，得到隸屬于各博弈方的策略集S1,S2,…,Sm。其分類的具體計(jì)算步驟如下：

(2)對(duì)于任意設(shè)計(jì)變量xj，在可行區(qū)間內(nèi)按步長(zhǎng)δxj將其等分為K段，第j個(gè)設(shè)計(jì)變量xj對(duì)第i個(gè)博弈方Fi的影響因子指標(biāo)為[13]

(17)

(3)令聚類對(duì)象為δj={δj1,δj2,…,δji,…,δjm}(j=1,2,…,n)，δj表示第j個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)所有m個(gè)目標(biāo)函數(shù)的影響因子指標(biāo)的集合。全體聚類對(duì)象表示為δ={δ1,δ2,…,δj,…,δn}，對(duì)其進(jìn)行模糊聚類。

(4)標(biāo)定建立模糊相似矩陣R=(rkl)n×n，0≤rkl≤1(k,l=1,2,…,n)，rkl表示分類對(duì)象(設(shè)計(jì)變量xk和xl即聚類對(duì)象δk和δl)的關(guān)聯(lián)相似程度。計(jì)算rkl的方法有很多，通常采用絕對(duì)值減數(shù)法，即

(18)

式中M是為使0≤rkl≤1而選取的合適的系數(shù)。

3.2 車削用量?jī)?yōu)化選擇非合作博弈決策模型Nash均衡策略的求解

通過建立關(guān)于車削用量選擇問題的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，確定了優(yōu)化設(shè)計(jì)變量X、目標(biāo)函數(shù)F(X)和約束條件H(X)。設(shè)待優(yōu)化的設(shè)計(jì)目標(biāo)為參與博弈的各方，設(shè)計(jì)變量的集合組成所有博弈方的策略空間，各目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)值視為相應(yīng)博弈方的收益，建立車削用量?jī)?yōu)化選擇的非合作博弈決策模型。非合作博弈決策模型Nash均衡策略的求解算法步驟如下：

步驟1給定設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件和迭代精度ε。

步驟2計(jì)算設(shè)計(jì)變量對(duì)博弈參與方收益的影響因子指標(biāo)并進(jìn)行模糊聚類，得到隸屬于各博弈方的策略集S1,S2，…,Si,…,Sm。

算法的程序框圖如圖1所示。

4 算例論證

如圖2所示，以車床上的外圓車削加工棒料工件為例，驗(yàn)證上述博弈優(yōu)化模型的有效性。其中工件材料為45#鋼，加工質(zhì)量要求Ra不超過6.4 μm；刀具材料為硬質(zhì)合金車刀，車刀的主偏角為45°，刀具的刀尖圓弧半徑rε=0.8 mm。

4.1 模型參數(shù)設(shè)置

車床規(guī)格參數(shù)、刀具壽命、切削力系數(shù)，以及其他計(jì)算相關(guān)參數(shù)和系數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)設(shè)置表

續(xù)表1

4.2 博弈策略的劃分

(1)單目標(biāo)優(yōu)化及影響因子指標(biāo)的計(jì)算

單目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果為：

=[96.215 0,3.500 0,1.729 7]T,

=[94.200 0,0.411 8,5.000 0]T,

根據(jù)式(17)計(jì)算得到影響因子指標(biāo)為：

(2)影響因子指標(biāo)的聚類

取M=0.1,根據(jù)式(18)計(jì)算得模糊相似矩陣

由傳遞閉包法得其模糊等價(jià)矩陣

取置信水平λ=0.9，則模糊聚類矩陣

因此3個(gè)設(shè)計(jì)變量可以聚類為[vc,ap]，[f]。對(duì)影響因子指標(biāo)的大小和聚類進(jìn)行分析，得效率博弈方N1的策略集S1=[f]，功率博弈方N2的策略集S2=[vc,ap]。

4.3 博弈優(yōu)化結(jié)果

以MATLAB軟件為計(jì)算平臺(tái)，將算法編程，設(shè)置迭代精度，然后運(yùn)行該程序，經(jīng)過較少次計(jì)算后迭代終止，博弈結(jié)束，得到優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量為vc=94.200 0，f=2.333 0，ap=2.100 5。3個(gè)設(shè)計(jì)變量vc，f，ap的博弈迭代過程如圖3所示，兩目標(biāo)函數(shù)g1，g2的博弈迭代過程如圖4所示。

由圖3可知，3個(gè)設(shè)計(jì)變量經(jīng)過較少次迭代后結(jié)果趨于收斂，得到每個(gè)設(shè)計(jì)變量的Nash均衡解；圖4中的每個(gè)點(diǎn)都表示博弈雙方的一個(gè)博弈回合，橫坐標(biāo)表示功耗博弈方的收益，縱坐標(biāo)表示效率博弈方的收益，由圖可見兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過十幾個(gè)博弈回合之后終止，博弈雙方達(dá)到某種均衡狀態(tài)，因?yàn)楸纠膬蓚€(gè)博弈方為純策略博弈，所以僅需較少的博弈回合即可達(dá)到Nash均衡。

4.4 線性加權(quán)和法與遺傳算法的優(yōu)化求解及3種優(yōu)化方法的比較分析

4.4.1 線性加權(quán)和法優(yōu)化求解

加權(quán)和法是處理多目標(biāo)優(yōu)化問題較常用且簡(jiǎn)便的一種方法，用工程中通常采用的線性加權(quán)和法求解本例，將上述多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)

minF(vc,f,ap)=min(ω1tw+ω2Pi)。

式中ω1和ω2為加權(quán)因子，且ω1+ω2=1。確定權(quán)重可采用容限法、模糊評(píng)價(jià)法、群體決策法、層次分析法等[30]。

由于效率時(shí)間目標(biāo)函數(shù)tw與功率消耗目標(biāo)函數(shù)Pi的量綱不同，不能直接進(jìn)行求和運(yùn)算，需要對(duì)量綱進(jìn)行歸一化處理，可按如下方法處理[6]：

式中：tmin，tmax分別為效率函數(shù)tw的最小值和最大值；Pmin，Pmax分別為功率函數(shù)Pi的最小值和最大值。量綱歸一化處理后的評(píng)價(jià)函數(shù)為

本例取ω1=ω2=0.5，采用線性加權(quán)和法得到的優(yōu)化解為vc=94.200 1，f=1.087 2，ap=3.077 3。

4.4.2 遺傳算法優(yōu)化求解

遺傳算法是一種解決最優(yōu)化問題的搜索啟發(fā)式算法，其仿效生物界中的“物競(jìng)天擇，適者生存”的演化原則，常被用來求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，自問世以來，因適應(yīng)性好、魯棒性強(qiáng)以及良好的搜索能力等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于許多工程領(lǐng)域。遺傳算法的基本運(yùn)算過程包括編碼、生成初始群體、評(píng)估適應(yīng)度、選擇、交叉、變異。

本例采用遺傳算法求解，種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為500；在確定優(yōu)化變量的取值范圍后，采用二進(jìn)制編碼方法對(duì)切削速度vc、進(jìn)給量f和背吃刀量ap進(jìn)行編碼，優(yōu)化變量轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制代碼段的位數(shù)也稱個(gè)體染色體的長(zhǎng)度，其值一般取10～30，取值太大或太小都無法體現(xiàn)遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)；通過初始化種群規(guī)模計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度函數(shù)值，由于個(gè)體之間的特性差異較大，需要設(shè)置個(gè)體適應(yīng)值閾值，當(dāng)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值超過閾值時(shí)淘汰該個(gè)體；使用輪盤賭方法進(jìn)行選擇操作；算法中交叉概率設(shè)置得太大容易破壞有利模式，錯(cuò)失最優(yōu)個(gè)體，設(shè)置太小則不能有效更新種群，其經(jīng)驗(yàn)值一般取0.4～0.99，本例取0.75；同樣，變異概率設(shè)置太大雖然可以保證種群的多樣性，但是有利模式被破壞的概率隨之增大，設(shè)置太小會(huì)使種群多樣性下降太快，容易丟失有效基因且不易修補(bǔ)，其經(jīng)驗(yàn)值一般取0.000 1～0.1，本例取0.05。設(shè)置各參數(shù)，將算法編程并運(yùn)行程序，經(jīng)過400次左右迭代后算法收斂，采用遺傳算法求解得到的優(yōu)化解為vc=94.200 0，f=1.113 5，ap=3.040 7。

4.4.3 3種優(yōu)化方法的比較分析

根據(jù)加工過程的能量消耗公式[4,31]Ei=Putw+Pctm+Patm分別計(jì)算3種優(yōu)化方法所得優(yōu)化解的能耗，將能耗作為效率與功耗兩方面的綜合收益進(jìn)行比較。博弈方法、遺傳算法和線性加權(quán)和法的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表2 博弈方法、遺傳算法和線性加權(quán)和法優(yōu)化比較

由表2可見，博弈優(yōu)化方法的時(shí)間和能耗明顯低于遺傳算法和線性加權(quán)和法，綜合收益大于遺傳算法和線性加權(quán)和法，相比于線性加權(quán)和法，其研究成果改進(jìn)了憑借經(jīng)驗(yàn)賦權(quán)和構(gòu)造特定評(píng)價(jià)函數(shù)的缺陷。線性加權(quán)和法是將多個(gè)需要最小化的函數(shù)定義為有關(guān)性質(zhì)的線性組合，該方法易懂、操作簡(jiǎn)單，但是不能同時(shí)考慮多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，由于權(quán)重ωi的確定取決于決策者的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)或判斷，其主觀性較強(qiáng)，優(yōu)化結(jié)果存在個(gè)性化；另外，該方法無法反映某些評(píng)價(jià)指標(biāo)的突出影響，可能導(dǎo)致評(píng)價(jià)結(jié)果失真，設(shè)計(jì)方案缺乏可靠性。遺傳算法的編程比較復(fù)雜，相比之下，博弈優(yōu)化方法無須對(duì)問題進(jìn)行編碼和解碼，避免了遺傳算法的編程復(fù)雜性；同時(shí)，遺傳算法確定選擇、交叉和變異3個(gè)遺傳算子時(shí)需要設(shè)置許多參數(shù)(如交叉概率、變異概率等)，目前這些參數(shù)的選擇大都依靠經(jīng)驗(yàn)，嚴(yán)重地影響了解的品質(zhì)，在一定程度上降低了設(shè)計(jì)方案的可信度。博弈優(yōu)化方法由于從理性的角度出發(fā)分析和解決問題，在博弈過程中自然引導(dǎo)各博弈方進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)與合作，因此具有較強(qiáng)的客觀性，雖然需要確定各博弈方的策略歸屬并構(gòu)造收益模型，但是能夠同時(shí)優(yōu)化多個(gè)目標(biāo)，使不同目標(biāo)之間達(dá)到均衡狀態(tài)，同時(shí)博弈回合較少，迭代過程收斂較快，優(yōu)化結(jié)果具有較好的穩(wěn)健性，因此該優(yōu)化方法具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)束語

本文建立了與車削用量有關(guān)的、以最高生產(chǎn)效率和最低加工功率損耗為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；將車削用量三要素作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，通過建立博弈決策主體、收益函數(shù)和各博弈方的策略歸屬分類，將多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為非合作博弈決策模型，并給出了求解模型的算法；最后通過對(duì)工件的外圓車削加工實(shí)例進(jìn)行優(yōu)化分析，將最終的能量消耗作為綜合收益，并與遺傳算法和線性加權(quán)和法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了所建博弈優(yōu)化模型的有效性。本文的研究成果為車削用量的選擇提供了一種新的有效的方法。

本文主要研究了兩目標(biāo)優(yōu)化的兩方博弈和單工序情形，實(shí)際上在產(chǎn)品加工過程中有更多的生產(chǎn)指標(biāo)相互沖突，而且產(chǎn)品加工一般均為多工序，即在實(shí)際生產(chǎn)中需要優(yōu)化更多的目標(biāo)；另外，一個(gè)機(jī)械零部件產(chǎn)品從毛坯到成品可能在多臺(tái)機(jī)器上加工，這就需要考慮不同加工機(jī)器的排序問題，因此建立多目標(biāo)、多工序的博弈決策優(yōu)化模型是下一步研究的重點(diǎn)。