基于康奈爾筆記法的根軌跡教學方法研究

王立國，劉 麗

（哈爾濱工業(yè)大學a.電氣工程及自動化學院；b.化工與化學學院，哈爾濱 150001）

0 引言

根軌跡法是“自動控制原理”教學中的重要內(nèi)容之一［1-2］。根軌跡向上承接控制系統(tǒng)建模、方框圖化簡、傳遞函數(shù)分析，向下與Nyquist判據(jù)頻域分析、Bode圖的相頻特性分析相印證，因此講清楚這部分內(nèi)容十分關(guān)鍵。但由于根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上變化的軌跡，其繪制規(guī)則多達10 條，涉及漸近線、出射角、入射角、與虛軸的交點、分離點及根軌跡增益等多個概念的有機融合［3-7］，初學者對此多有困惑，難以把握根軌跡的學習實質(zhì)，因此探究一種使學生易于理解的根軌跡教學方法十分關(guān)鍵。

康奈爾筆記法由康奈爾大學的Walter Pauk 博士［8］提出，此方法問世以來，已在生物學教學、深度閱讀、英語報刊閱讀、化學教學、臨床醫(yī)學教學、高職計算機課程學習及大學英語聽力理解中得到成功應用［9-13］?？的螤柟P記法又稱為5R筆記術(shù)，以Keywords（關(guān)鍵詞）、Notes（注解）及Summary（概括）為主要特征，包括Record（記錄）、Reduce（簡化）、Recite（背誦）、Reflect（補充）、Review（復習）5 個階段［14-17］，尤其適用于根軌跡概念煩冗、思路復雜及綜合性強的解題過程。

本文以康奈爾筆記法為出發(fā)點，以哈爾濱工業(yè)大學-伊頓聯(lián)合實驗室為依托，針對根軌跡教學及實踐教學中存在的問題，從教學理念、教學內(nèi)容、教學方法等實踐環(huán)節(jié)方面進行改進。依據(jù)康奈爾筆記法將根軌跡法適用的穩(wěn)定性分析、暫態(tài)性能分析及穩(wěn)態(tài)性能分析進行5R歸納，總結(jié)為閉環(huán)傳遞函數(shù)分析、閉環(huán)極點的實部與虛部、閉環(huán)極點與坐標原點的距離、閉環(huán)極點與負實軸的夾角、主導極點、增加開環(huán)極點對根軌跡的影響等典型的關(guān)鍵詞，注解其作用與實質(zhì)，并將其概括系統(tǒng)特征根在s平面移動對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。所做工作有助于學生對根軌跡內(nèi)容的深入理解，促進了“自動控制原理”這一課程與國際知名院校的接軌。

1 康奈爾筆記法

康奈爾筆記法是一種集筆記、復習、自測和思考于一體的學習方法，以5R為特征；其精髓在于基于筆記本三欄區(qū)間劃分，將課前預習和自測相結(jié)合，快速、準確地進行課堂記錄，從而提高學生課堂學習的效率?？的螤柟P記法示意圖如圖1 所示，核心在于記錄、簡化、背誦、補充與復習。

圖1 康奈爾筆記法示意圖

1.1 Record（記錄）

Record（記錄），在最大的筆記欄（Notes）中先進行快速直接的記錄與收集。

（1）根軌跡的基本概念。根軌跡：當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某參數(shù)（如根軌跡增益）在某一范圍內(nèi)（如）連續(xù)變化時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡，稱為根軌跡。知識點總結(jié)見圖2。

（2）根軌跡學習的前期知識點（見圖3）。開環(huán)傳遞函數(shù)：前向和反饋通道的傳遞函數(shù)的乘積，G（s）H（s）；閉環(huán)傳遞函數(shù)；特征方程：1 ＋G（s）H（s）＝0；

系統(tǒng)的開環(huán)增益K，根軌跡增益Kg；開環(huán)傳遞函數(shù)的零點／極點；閉環(huán)極點及特征根等。

圖2 根軌跡的基本知識點總結(jié)

圖3 根軌跡學習的前期知識概括

1.2 Reduce（簡化）

Reduce（簡化），提煉重點，專注于獲取關(guān)鍵詞、關(guān)鍵語句，以便跟上授課速度，之后查缺補漏。

（1）根軌跡學習的必要性?；谔卣鞣匠虘肦outh判據(jù)進行穩(wěn)定性分析時，是通過Routh 表，利用特征方程根與系數(shù)的關(guān)系進行定性分析，得到的只是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定、失穩(wěn)3 種定性狀態(tài)，難以定量分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；根據(jù)系統(tǒng)特征根可以定量分析穩(wěn)定性，但特征根往往難以直接求出，因此亟須探求一種可行的穩(wěn)定性定量分析方法。這是根軌跡法學習的初衷，如圖4 所示。圖4 表明，根軌跡法實質(zhì)在于根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)零極點來分析系統(tǒng)的閉環(huán)極點／特征根的特性，屬于圖解方法，核心在于分析開環(huán)零極點隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化在S平面發(fā)展趨勢及規(guī)律，可以部分定量分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 根軌跡特性的簡化分析

（2）根軌跡分析特點。①閉環(huán)極點位于S平面左半部，系統(tǒng)穩(wěn)定；②閉環(huán)極點實部為負，無零點，非振蕩；③閉環(huán)極點有一對主導極點，振蕩；④響應時間取決于距離虛軸最近的極點；⑤零點的存在，增大阻尼，響應快；⑥極點的存在，減小阻尼，響應慢；⑦增加極點，穩(wěn)定性下降，根軌跡右移；⑧增加零點，穩(wěn)定性增加，根軌跡左移。

1.3 Recite（背誦）

Recite（背誦）：透過重點與資料的對照，轉(zhuǎn)化出可以執(zhí)行的學習行動。突出內(nèi)容的實質(zhì)與深度，力求精簡，方便記憶。根據(jù)講義，根軌跡的繪制規(guī)則總結(jié)為：①Rule ＃1，根軌跡的起點和終點。②Rule ＃2，實軸上的根軌跡。③Rule ＃3，根軌跡的對稱性和漸近線。④Rule ＃4，漸近線和實軸的交點。⑤Rule ＃5，根軌跡的出射角和入射角。⑥Rule ＃6，根軌跡與虛軸的交點。⑦Rule ＃7，根軌跡的分離點。⑧Rule ＃8，分離點（多重）根軌跡方向夾角。⑨Rule ＃9，在某特定點上的根軌跡增益K。⑩Rule ＃10，閉環(huán)極點之和。

對上述規(guī)則應用康奈爾筆記法進行記錄整理，如圖5 所示。

圖5 根軌跡繪制規(guī)則背誦筆記總結(jié)

圖5 中將根軌跡繪制規(guī)則總結(jié)為點、線與面（角）：①點，涵蓋起點與終點（Rule ＃1），交點（Rule ＃4，Rule ＃6，Rule ＃7），極點之和（Rule ＃10），特定點上的根軌跡增益（Rule ＃9）。②線，涵蓋實軸上的根軌跡（Rule ＃2），漸近線（Rule ＃3）。③面／角，出射角和入射角（Rule ＃5），分離點（多重）根軌跡方向夾角（Rule＃8）。

圖5 計算的難點在于出射角和入射角：①出射角——指起始于開環(huán)極點的根軌跡在起點處的切線與正實軸的夾角。②入射角——指終止于開環(huán)零點的根軌跡在終點處的切線與正實軸的夾角。

1.4 Reflect（補充）

Reflect（補充）：對根軌跡整體策劃有了了解后，與剛剛學習過的動態(tài)性能指標分析相比總結(jié)，補充系統(tǒng)動態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應之間的對應關(guān)系，具體如圖6所示。

根據(jù)圖6，動態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應關(guān)系，可定量地總結(jié)為如下幾點：

（1）動態(tài)性能分析，閉環(huán)極點的實部反映系統(tǒng)的調(diào)整時間，負實數(shù)極點離虛軸越遠，對應的分量衰減越快，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間就越短，響應越快。

（2）閉環(huán)極點與負實軸的夾角β反映了系統(tǒng)的超調(diào)量。

圖6 穩(wěn)態(tài)響應與動態(tài)響應關(guān)系總結(jié)

（3）穩(wěn)定性分析，閉環(huán)極點在S左、右平面的分布反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；根軌跡全部位于S 平面的左半側(cè)，且距離虛軸越遠越穩(wěn)定。

（4）閉環(huán)極點的虛部表征系統(tǒng)輸出響應的振蕩頻率。

（5）閉環(huán)極點與坐標原點的距離表征了系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩頻率。

（6）當系統(tǒng)具有多個閉環(huán)極點時，可借助于主導極點的概念，將系統(tǒng)簡化成低階系統(tǒng)。

（7）系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比，開環(huán)增益與根軌跡增益之間存在比例關(guān)系。

（8）增加開環(huán)零點，可使根軌跡向左半S 平面彎曲或移動，增加系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增大系統(tǒng)阻尼，改變漸近線的傾角，減少漸近線的條數(shù)。

（9）增加開環(huán)極點，可使根軌跡向右半S 平面彎曲或移動，降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)阻尼，改變漸近線的傾角，增加漸近線的條數(shù)。

（10）由已知的開環(huán)零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解法找出閉環(huán)極點。一旦閉環(huán)極點確定后，再補上閉環(huán)零點，系統(tǒng)性能便可以確定。

（11）由于閉環(huán)特征根和系統(tǒng)開環(huán)傳函有相關(guān)性，因此改變開環(huán)傳函的參數(shù)可以達到改變系統(tǒng)性能的目的。

1.5 Review（復習）

Review（復習）：這樣一則以康乃爾筆記法寫成的課堂記錄與筆記，可以讓學生事后回顧與查找資料時更容易找到重點。核心在于總結(jié)關(guān)鍵詞，盡快從筆記本中提煉出關(guān)鍵思想和關(guān)鍵事實，把濃縮后的要點記錄在左手邊的那一欄。關(guān)注那些關(guān)鍵的字詞和那些最為重要的概念。

繪制根軌跡的基本規(guī)則（見圖7）源于相角條件和幅值條件，可將根軌跡的起點和終點、實軸上的根軌跡、根軌跡的漸近線、漸近線和實軸的交點、出射角和入射角、根軌跡與虛軸的交點、分離點、分離點（多重）根軌跡方向夾角及某特定點上的根軌跡增益及閉環(huán)極點之和統(tǒng)一于相角條件和幅值條件之下。

圖7 根軌跡繪制規(guī)則與響應參數(shù)歸納

在綜合分析根軌跡分析對系統(tǒng)動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能分析的基礎之上，對系統(tǒng)的校正做出延伸與預測，為教材的第6 章（超前、滯后及期望校正）奠定理論分析基礎。

（1）增加開環(huán)零點對根軌跡的影響。①改變漸近線的條數(shù)和漸近線的傾角。②相當于增加微分作用，使根軌跡向左移動或彎曲，提高相對穩(wěn)定性，過渡過程時間縮短；③增加的開環(huán)零點越接近坐標原點，微分作用越強，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越好。

（2）增加開環(huán)極點對根軌跡的影響。①改變漸近線的條數(shù)和漸近線的傾角。②相當于增加積分作用，使根軌跡向右移動或彎曲，從而降低了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。系統(tǒng)阻尼減小，過渡過程時間加長。③增加的開環(huán)極點越接近坐標原點，積分作用越強，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越差。

2 實例分析

實例：某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為式（1），試繪制以為α變量的參數(shù)根軌跡，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

應用康奈爾筆記法求解過程如圖8～12 所示，按照根軌跡繪制規(guī)則來進行，突出角度的大小與方向選擇；注意虛軸左側(cè)系統(tǒng)穩(wěn)定；虛軸右側(cè)，失穩(wěn)；根軌跡與虛軸交點，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

圖8 等效（參數(shù)）特征方程的推導

圖9 開環(huán)零極點、實軸上根軌跡

圖10 根軌跡的漸近線相關(guān)計算

圖11 與虛軸交點的相關(guān)計算

圖12 出射角的相關(guān)計算

圖8～10 分析中，注意應用Rule ＃1～Rule ＃4 時與幅值條件、相角條件結(jié)合起來，實際上根軌跡分析過程時刻與幅值、相角相關(guān)。

3 結(jié)語

基于美國康奈爾大學筆記法思想，將其與“自動控制原理”教學中的根軌跡法有機結(jié)合，建立根軌跡10 條繪制規(guī)則與康奈爾大學筆記之間的邏輯教學體系，突出記錄、簡化、背誦、補充與復習5 個環(huán)節(jié)教學內(nèi)容、教學方法的改進；以哈爾濱工業(yè)大學-伊頓聯(lián)合實驗室為依托，提出了具有哈爾濱工業(yè)大學電氣工程教學特色的康奈爾大學筆記法思路。

2018 年9 月，將康奈爾大學筆記法思想融于“自動控制原理”雙語教學中，突出圖1～7 所示的教學體系模式。重點對15 個同學的筆記／作業(yè)進行觀察、總結(jié)及改進，取得了較為理想的授課效果?，F(xiàn)在這15 人有14 人以保研的資質(zhì)進入碩士學習階段（課題進展順利）、其中1 人的“自動控制原理”結(jié)業(yè)考試成績?yōu)闈M分（100 分）；未取得保研資格的學生（1 人）后來自己考研成功。這在一定程度上驗證了所提康奈爾大學筆記法教學思想的有效性。