一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器

殷 勇，王福謙

（西南交通大學(xué)希望學(xué)院基礎(chǔ)部，成都 610400）

0 引言

有關(guān)文獻(xiàn)［1-10］分別討論了極板上帶有直縫隙、半圓柱凸起及球缺形突出疤等幾種平行板電容器的電場及其電容，并對非平行板電容器的電場和電容進(jìn)行了研究。但對一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器的研究，相關(guān)文獻(xiàn)還未見報道。本文擬利用保角變換分析一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器內(nèi)電場的分布規(guī)律，給出電勢和場強(qiáng)分布函數(shù)，并討論了導(dǎo)體脊對該電容器電容量和耐壓能力的影響。

1 電容器極板橫截面的保角變換

設(shè)平行板電容器的一極板上帶有垂導(dǎo)體直脊，導(dǎo)體脊沿著平行于該電容器極板一邊緣方向伸展，圖1為其橫截面，將該平面取為復(fù)平面z。

圖1 一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器橫截面

在z平面上，帶有垂直導(dǎo)體脊的電容器極板的橫截面位于x軸上，導(dǎo)體脊的位置為（a，0），高度為h，另一極板為平板，極板間距為1。忽略邊緣效應(yīng)，該電容器內(nèi)部的電場可視為二維場。為方便研究一極板帶垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器內(nèi)部的電場分布，可首先通過保角變換［11］：

將原來一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器的橫截面，映射為ζ平面上極板間距為1的平行板電容器的橫截面，如圖2 所示。

圖2 變換后平行板電容器的橫截面

2 電場分布及其數(shù)值模擬

2.1 電場分布

對于變換后的平行板電容器，其內(nèi)部的電場為均勻場，即在ζ平面上的電場為均勻場，故電容器內(nèi)部的電勢為

式中：E0為平行板電容器（不帶垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器）內(nèi)均勻電場的電場強(qiáng)度。

由式（1），有：

式（4）為一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器內(nèi)電場的電勢分布解析式。由式（4）可得一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器的電場的復(fù)電勢為：

由復(fù)勢與場強(qiáng)的關(guān)系，可得一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器的場強(qiáng)的復(fù)數(shù)形式為：

2.2 場分布的數(shù)值模擬

為給出一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器電場分布的直觀圖像，以驗證本文所得結(jié)論的正確性，下面用數(shù)學(xué)軟件Matlab 對該電場分布進(jìn)行數(shù)值模擬［12-13］，其電場線和等勢線的分布如圖3～6 所示。由圖3～5 可見，由于電容器極板上垂直導(dǎo)體脊的出現(xiàn)，改變了原來的場分布，使正常的平行板電容器的平行直線族電場線發(fā)生化變，而成為程度不同地脫離直線形狀的場線分布，等勢線（面）也產(chǎn)生彎曲，在導(dǎo)體脊附近明顯地成為曲線（面）。這說明，由于電容器極板上導(dǎo)體脊的出現(xiàn)，電場的分布發(fā)生了變化，變?yōu)榉蔷鶆螂妶觯⑶覍?dǎo)體脊的高度h越大，對場的影響程度越大。當(dāng)垂直導(dǎo)體脊消失時，電容器內(nèi)的電場分布又回到原態(tài)（見圖6）。由圖3～6 可以看出，每一條電場線均垂直于等勢線（面）及導(dǎo)體表面，這一分布圖線科學(xué)合理，與預(yù)期結(jié)果一致。

圖3 一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器的電場

圖4 一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器的電場

圖5 一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器的電場

圖6 一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器的電場

3 導(dǎo)體脊對平行板電容器耐壓能力的影響

由圖3-5 中的電場線分布情況可以看出，在一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器內(nèi)，導(dǎo)體脊頂部的場強(qiáng)最大，明顯地大于遠(yuǎn)離脊處的近似均勻電場的場強(qiáng)。圖1 中電容器下極板導(dǎo)體脊頂部的坐標(biāo)為x ＝a、y ＝h，為計算簡便計，取x ＝a ＝0，將此坐標(biāo)值代入式（6），則得該處的場強(qiáng)復(fù)數(shù)形式為：

因電容器極板為‘無限大’，電容器下極板低脊位置總可以看作是位于其下極板的中點的，故取a ＝0 是合理的。由式（6）可得此電容器內(nèi)導(dǎo)體脊頂部的場強(qiáng)Em與正常平行板電容器的場強(qiáng)E0的量值之比為

表1 |Em| ／E0 及Um／Um0隨h的變化情況

由表1 可見，即使h很小，導(dǎo)體脊頂部的場強(qiáng)也大于原來的均勻場。這說明，極板上垂直導(dǎo)體脊的出現(xiàn)，將使平行板電容器的耐壓能力降低，電容器的性能受到影響。

4 垂直導(dǎo)體脊對平行板電容器電容量的影響

設(shè)一極板帶有導(dǎo)體脊平行板電容器的極板的長和寬分別為L1和L2，極板間距為d ＝1，且滿足d2＜＜L1×L2，因為如圖1 所示的下極板接地，故對式（4）取x＝0、y ＝1，可得該電容器兩極板間的電壓為

電容器的帶電量可通過對上極板（平板）上的電荷面密度的積分得到

對式（10）利用Matlab 軟件作數(shù)值積分［14-16］求出極板帶電量，就可得知在極板面積和間距一定的情況下，極板上導(dǎo)體脊及其位置對平行板電容器的電容量的影響，相關(guān)數(shù)據(jù)見表2。

由表2 可見，由于一極板上垂直導(dǎo)體低脊的出現(xiàn)，平行板電容器的電容量將增大，且導(dǎo)體脊越高，電容量的增加量越大；且電容器的電容量還與導(dǎo)體脊在極板上的位置有關(guān)，導(dǎo)體脊愈靠近極板邊緣，其對電容量的影響越?。蝗魧?dǎo)體脊高度很小時，即當(dāng)h→0 時，則C→，回歸到正常平行板電容器的情形，為預(yù)期可結(jié)果。

表2 C／C0 隨h及a的變化情況

5 結(jié)語

計算機(jī)數(shù)值模擬研究已成為繼實驗研究和理論分析之外的第3 種研究手段，本文將理論分析與計算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，通過保角變換討論了一極板帶有垂直導(dǎo)體脊的平行板電容器內(nèi)電場的分布規(guī)律，利用Matlab軟件實現(xiàn)了場分布的可視化，并分析了其耐壓能力和電容量隨導(dǎo)體脊高度的變化情況。本文為邊界復(fù)雜的靜電場邊值問題的求解，提供了一種思路和方法，可供異形電容器的性能的分析借鑒和參考。