射影幾何調(diào)和點列作圖與阿波羅尼斯圓的聯(lián)系

趙臨龍

（安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西安康 725000）

1 問題背景

在射影幾何中，調(diào)和點列是最基本也是最重要的概念，是射影幾何理論建立及其研究的重要工具. 如利用調(diào)和點列形成的極點與極線概念，是研究二次曲線內(nèi)在結(jié)構(gòu)的重要工具. 因此，調(diào)和點列的幾何作圖成為人們討論的熱點.

在《高等幾何》［1］中，關(guān)于調(diào)和點列的幾何作圖，先后給出歐式幾何的圓中作圖、仿射幾何的平行線作圖、射影幾何的完全四邊形作圖和射影對應(yīng)作圖等.

現(xiàn)對于仿射幾何的平行線作圖進(jìn)行討論.

命題1 如圖1. 已知點列A、B、C，求其調(diào)和點列D 滿足（AB，CD）=-1.

作法 如圖1. 在直線AB異側(cè)過點C作直線A′B′，使A′C=CB′；連接AA′×BB′=S；過點S 作SD//A′B′交直線AB 于點D. 則點D為所求點，即（AB，CD）=-1.

圖1 調(diào)和點列的作圖Fig.1 Mapping of harmonic points

方程（3）的幾何意義是以CD為直徑的圓，該圓在歐式幾何中叫作阿波羅尼斯圓.

命題2［2］（阿波羅尼斯圓）已知兩點A、B，C、D分別為線段AB的定比λ（λ≠1）的內(nèi)外分點，則以CD為直徑的圓上任意點到A、B兩點的距離之比為λ.

2 問題討論

阿波羅尼斯（Apolloning，約公元前260—170）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德一起被稱為亞歷山大時期的數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一［2］.

推論3 已知兩點A、B，C、D 分別為線段AB 的定比λ（λ≠1）的內(nèi)外分點，且交點S=AA′×BB′，則點S 在阿波羅尼斯圓上的充分必要條件是AA′∶BB′=λ.

此時，當(dāng)直線AS 為阿波羅尼斯圓的切線（S 為切點）時，則由圓直徑的對稱性，得到該阿波羅尼斯圓的切線AS′（S′為切點），于是SS′是極點A 關(guān)于該阿波羅尼斯圓的極線，則該阿波羅尼斯圓心與極點的連線AB⊥SS′［3］.

推論4 如圖2，已知兩點A、B，C、D分別為線段AB的定比λ（λ≠1）的內(nèi)外分點，關(guān)于阿波羅尼斯圓過點B 作垂直于直徑的弦SS′，則AS、AS′為該圓的切線.

圖2 阿波羅尼斯圓的切線作圖Fig.2 The tangents of Apolloning circle

3 理論應(yīng)用

3.1 幾何作圖題

例1 已知兩點A、B，C、D分別為線段AB的定比λ（λ＞1）的內(nèi)外分點，作出阿波羅尼斯圓.

作法1 對于線段AB，直接作出其定比為λ（λ＞1）的內(nèi)外分點C、D，則以CD 為直徑即可作出阿波羅尼斯圓.

證明 如圖2，設(shè)AB=2a，則

得到以CD為直徑的阿波羅尼斯圓.

推論5 對于（AB，CD）=-1，過阿波羅尼斯圓外點A作該圓的切線AS（S為切點），則切點S與該圓直徑直線ACD構(gòu)成的直線SC，SD分別為∠ASB的內(nèi)、外角平分線.

注 在例1中，對于0＜λ＜1，只需將點A、B位置互換即可. 另外，作法2較作法1麻煩，但正是利用了調(diào)和點列性質(zhì)，充分反映了事物的本質(zhì).

例2 已知點P及圓O，作過點P關(guān)于該圓O的切線.

①當(dāng)點P為圓O上點S.

作法 如圖2，過點S作SS′垂直圓O的直徑CD于B，作出點列D、C、B的調(diào)和點A，連接AS，則AS為已知圓O的切線.

證明 如圖2，由于（AB，CD）=-1，且CD 為直徑的圓O為阿波羅尼斯圓. 此時，SS′⊥CD=B，由推論3，得到AS為已知圓O的切線.

②當(dāng)點P為圓O外點A.

作法 如圖2，作出點列A、D、C 調(diào)和點B，過點B 作與圓O 直徑CD 垂直的弦SS′，連接AS、AS′，則AS、AS為已知圓O的切線.

證明 如圖2，由于（AB，CD）=-1，且直徑為CD 的圓O 為阿波羅尼斯圓. 此時，SS′⊥CD=B，由推論3，則AS、AS′為已知圓O的切線.

注 在例2 中，其做法較一般的歐式幾何作法麻煩，但利用調(diào)和點列將兩種作法統(tǒng)一起來，充分揭示其內(nèi)在聯(lián)系，這正是數(shù)學(xué)研究所追求的.

圖3 競賽題圖示Fig.3 Chart of contest question

3.2 問題答題

由于阿波羅尼斯圓的趣味性，它成為研究相關(guān)問題的重要方法，尤其在相關(guān)高考題研究中，文獻(xiàn)不少［4-21］.

例3（2001年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克題） 如圖3，過圓O 外一點A 作其切線AS、AT，OA 與圓O 和ST 分別交于點C、B，EF為過B的任意弦. 求證：C為ΔAEF的內(nèi)心.

證明 如圖3，由于阿波羅尼斯圓上任意點E到線段AB 兩端點滿足EA∶EB=λ=AC∶CB，則EC 為ΔEAB 的內(nèi)角平分線；同理FC 為ΔFAB 的內(nèi)角平分線，即點C 為ΔAEF的內(nèi)心.

推論6 如圖3，在阿波羅尼斯圓中，對于（AB，CD）=-1，過點B作不與CD重合的弦EF，則AB平分∠EAF.

圖4 高考題圖示Fig.4 Chart of the University Entrance Examination question

推論7 如圖3，在阿波羅尼斯圓中，對于（AB，CD）=-1，過點B作不與CD重合的弦EF，則點C、D分別是ΔAEF的內(nèi)心和外心.

例4（2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)專題應(yīng)用題） 如圖4，一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8 n mile的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4 n mile的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊.已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍. 假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行.

1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；

2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截，并說明理由.

解法 1）略.

2）如圖4. 建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，2 3），設(shè)緝私艇在P（x，y）處成功攔截到走私船，因為緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，即PA∶PB=3.