深入等腰三角形，探究輔助線添加

王鍵

[摘? 要] 等腰三角形是基本的幾何圖形，具有一些特殊的幾何特性，實(shí)際解題時(shí)可充分利用其性質(zhì)特點(diǎn)來(lái)添加輔助線，構(gòu)建模型簡(jiǎn)化解題過(guò)程. 文章將深入探究等腰三角形中輔助線添加的方法，開展教學(xué)實(shí)踐反思，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 等腰三角形;輔助線;三線合一;截長(zhǎng)補(bǔ)短;衍生

等腰三角形是初中幾何需重點(diǎn)掌握的特殊圖形，含有眾多的幾何性質(zhì)，中考常借助等腰三角形來(lái)考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能. 雖圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)較為簡(jiǎn)單，但實(shí)際考查時(shí)設(shè)問(wèn)隱蔽、條件分散，不容易構(gòu)建條件鏈，此時(shí)需要充分利用等腰三角形的性質(zhì)特點(diǎn)來(lái)添加輔助線，本文將結(jié)合實(shí)例深入探究等腰三角形中輔助線添加的四種方法.

輔助線添加方法探究

等腰三角形屬于軸對(duì)稱圖形，最為顯著的性質(zhì)有兩個(gè)：一是“三線合一”，二是“等邊對(duì)等角”. 而在實(shí)際解題時(shí)可以充分利用其性質(zhì)特征來(lái)構(gòu)建模型，從而轉(zhuǎn)移條件，轉(zhuǎn)化解題. 常見(jiàn)的方法有利用“三線合一”特性轉(zhuǎn)化、截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等、圖形衍生構(gòu)等邊、平行添加構(gòu)等腰.

方法一：“三線合一”特性轉(zhuǎn)化

在等腰三角形中，頂角的平分線、底邊上的高和中線相互重合，解題時(shí)可以充分利用其“三線合一”的性質(zhì)特點(diǎn)，作底邊上的中線或者高，從而轉(zhuǎn)化問(wèn)題中的幾何條件，即由線段等長(zhǎng)推導(dǎo)垂直關(guān)系或等角關(guān)系.

例1? 在圖1所示的△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D為邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E和F分別位于AB和AC上，且BE=AF，試回答下列問(wèn)題：

（1）證明DE=DF;

（2）證明DE⊥DF.

分析? 根據(jù)題設(shè)信息可知△ABC為等腰直角三角形，且點(diǎn)D為底邊上的中點(diǎn)，后續(xù)證明推理可利用“三線合一”定理，來(lái)作底邊上的中線，利用定義反推其中的兩線垂直和等角關(guān)系，進(jìn)而完成證明.

解? （1）連接AD，則AD為底邊BC上的中線，由等腰三角形的“三線合一”可知AD⊥BC，∠BAD=∠CAD. 又知∠A=90°，所以∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，則AD=BD，進(jìn)而可證△BED≌△AFD，所以有DE=DF.

（2）由（1）問(wèn)可知△BED≌△AFD，進(jìn)而可得∠BDE=∠ADF，所以∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF=90°，則∠EDF=90°，即DE⊥DF，證畢.

評(píng)析? 利用等腰三角形“三線合一”添加輔助線，可實(shí)現(xiàn)等線段、等角、垂直關(guān)系三者之間的互化，為后續(xù)的模型構(gòu)建打下基礎(chǔ). 在解析問(wèn)題時(shí)應(yīng)關(guān)注圖形中的中點(diǎn)、平分線、垂直等特殊條件，充分聯(lián)系等腰三角形性質(zhì)作輔助線.

方法二：截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等

在等腰三角形中含有一些特殊的線段關(guān)系，此時(shí)就可以通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短的方式來(lái)求證線段之間的和差關(guān)系. 如截長(zhǎng)法，在等腰三角形邊長(zhǎng)上截取一段線段，通過(guò)證明與另一邊相等來(lái)解題.

例2? 如圖2所示，在△ABC中，已知∠CAB=∠CBA=45°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且CN⊥AE，與AB相交于點(diǎn)N，試求證AE=CN+EN.

分析? 要求解等腰三角形中的線段和差關(guān)系，可以通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短的策略構(gòu)造全等三角形，利用全等性質(zhì)來(lái)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化.

證明? 延長(zhǎng)CN至點(diǎn)F，使得CF=AE，再連接BF，可證△CAE≌△BCF，所以∠ACE=∠CBF=90°，CE=BF. 又因?yàn)椤螩BA=45°，所以∠FBN=∠EBN=45°. 點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則CE=BE=BF，因?yàn)锽E=BF，∠EBN=∠FBNBN=BN， ，所以△EBN≌△FBN.則NE=FN，可證AE=CN+EN.

評(píng)析? 上述采用的是等腰三角形的“補(bǔ)短”方法，基本思路是通過(guò)延長(zhǎng)線段來(lái)獲得等長(zhǎng)線段，然后利用其關(guān)系來(lái)證明三角形全等，進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)化. “截長(zhǎng)補(bǔ)短”方法實(shí)際上就是一種構(gòu)形策略，其關(guān)鍵還是從中提取特殊圖形或特殊關(guān)系.

方法三：圖形衍生構(gòu)等邊

等腰三角形具有對(duì)稱性，與等邊三角形有一定的關(guān)聯(lián)性，可以其中一邊衍生出等邊三角形，構(gòu)造兩個(gè)特殊圖形的重疊特征. 通過(guò)添加輔助線的方式可將圖形中的特殊關(guān)系串聯(lián)為整體，有利于后續(xù)條件的轉(zhuǎn)化.

例3? 在圖3所示的△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，點(diǎn)D位于三角形的內(nèi)部，且∠DBC=10°，∠DCB=30°，試求∠DAB的度數(shù).

分析? 上述問(wèn)題在等腰三角形中設(shè)定一點(diǎn)，并給出相關(guān)的角度，求∠DAB的度數(shù)可以采用圖形衍生的方式構(gòu)造等邊三角形，利用等腰三角形與等邊三角形之間的關(guān)系進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化.

解? 以BC為一邊向上作等邊三角形△A′BC，連接A′A，如圖3所示. 由條件可證△A′BA≌△A′CA，所以∠BA′A=∠CA′A=30°. 進(jìn)一步推理可知∠A′BA=∠A′BC-∠ABC=10°，∠A′BA=∠DBC， ∠A′AB=∠A′AC=140°，可證△A′BA≌△CBD，所以AB=DB，即△BAD為等腰三角形，其中∠ABD=40°，所以∠DAB=∠BDA=70°.

評(píng)析? 上述在求解三角形的度數(shù)時(shí)采用了圖形衍生的方式，借助等腰三角形添加輔助線構(gòu)建了等邊三角形，通過(guò)證明其中的三角形全等進(jìn)行等角推導(dǎo)、角度轉(zhuǎn)化. 圖形衍生的過(guò)程實(shí)則就是特性構(gòu)建的過(guò)程，可完成條件的遞推轉(zhuǎn)換.

方法四：平行添加構(gòu)等腰

三角形中位線具有平行于第三邊的特性，同時(shí)其中隱含了一組相似三角形，對(duì)于涉及等腰三角形的復(fù)合圖形則可以作一腰上的平行線，構(gòu)建出小的等腰三角形，實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)移. 在作平行線時(shí)還需合理把握腰上的特殊點(diǎn)，利用特殊點(diǎn)來(lái)串聯(lián)條件鏈.

例4? 圖4中的△ABC為等腰三角形，其中AB=AC，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)，沿著線段BA移動(dòng)，同一時(shí)刻點(diǎn)Q由點(diǎn)C出發(fā)沿著線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng). 已知點(diǎn)P和點(diǎn)Q兩點(diǎn)移動(dòng)的速度相同，PQ與BC的交點(diǎn)為D，試回答下列問(wèn)題.

（1）如圖4，若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，試證明PD=QD;

（2）如圖5，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，設(shè)垂足為E，試分析在點(diǎn)P和點(diǎn)Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE，DE，CD中是否存在長(zhǎng)度不變的線段？如有請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析? 上述屬于幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，題干設(shè)定了點(diǎn)P和點(diǎn)Q的移動(dòng)條件，在移動(dòng)過(guò)程中由動(dòng)點(diǎn)形成的圖形特征一般，可通過(guò)作等腰三角形一腰上的平行線來(lái)構(gòu)建小的等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化其中的特性.

解? （1）點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線，與BC的交點(diǎn)設(shè)為F，由于點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)且速度相同，則BP=CQ. 又知PF∥AQ，則∠PFB=∠ACB，∠DFP=∠DCQ. 因?yàn)锳B=AC，則有∠B=∠ACB，所以∠B=∠PFB，進(jìn)而可推PF=CQ. 結(jié)合上述條件可證△PFD≌△QCD，所以PD=QD.

（2）由（1）問(wèn)可知PB=FP，因?yàn)镻E⊥BF，所以BE=EF. 已證△PFD≌△QCD，則FD=DC，所以有ED=EF+FD=BE+DC= BC，所以線段ED的長(zhǎng)度為定值，即DE長(zhǎng)度保持不變.

評(píng)析? 平行添加構(gòu)造相似等腰三角形的方式是基于中位線的性質(zhì)定義而形成的一種特殊的模型構(gòu)造方式，上述在實(shí)際構(gòu)造時(shí)充分把握了腰上的中點(diǎn)，靈活利用兩線平行完成全等證明. 實(shí)際上，所構(gòu)等腰三角形與原三角形為相似關(guān)系，問(wèn)題求解時(shí)還可利用兩者的比例關(guān)系進(jìn)行推理.

問(wèn)題探究解后反思

添加輔助線是求解幾何問(wèn)題的有效方法，但解題時(shí)需要根據(jù)問(wèn)題情境和幾何特征來(lái)作輔助線. 上述是對(duì)等腰三角形中輔助線添加方法的深入探究，其中所呈現(xiàn)的四種方法對(duì)于拓展解題思路有著極大的幫助，下面進(jìn)一步開展教學(xué)反思.

1. 深入理解圖形，把握?qǐng)D形特性

等腰三角形是特殊的基本圖形，其性質(zhì)特征是幾何綜合題突破的基礎(chǔ)，開展等腰三角形輔助線添加方法的探究，不僅可以提升學(xué)生作輔助線的能力，更重要的是使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)圖形，理解圖形性質(zhì)定理的深層內(nèi)涵. 如其中的“三線合一”性質(zhì)，表面上是三條不同類型的線段重合，實(shí)則是幾何條件的互化，即由垂直關(guān)系遞推等角、等線段關(guān)系. 因此教師在實(shí)際教學(xué)中要結(jié)合幾何特性開展探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生把握?qǐng)D形特性，形成以“定理”為基礎(chǔ)的幾何建模解題思維.

2. 歸納幾何模型，積累建模經(jīng)驗(yàn)

上述探究了等腰三角形四種添加輔助線的方式，實(shí)際上可將其視為四種常見(jiàn)的輔助模型，涉及全等模型、等腰模型、等邊模型，這些模型為條件轉(zhuǎn)化、思路構(gòu)建帶來(lái)了極大便利，因此實(shí)際解題時(shí)需要注重歸納幾何模型，總結(jié)模型中的性質(zhì)特征. 實(shí)際教學(xué)中，教師可以簡(jiǎn)單的模型為引入，引導(dǎo)學(xué)生解讀探討模型，然后開展模型拓展，形成相應(yīng)的關(guān)聯(lián)模型，還要注重引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)模型構(gòu)造的方法，積累建模經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的解題能力.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升綜合素養(yǎng)

等腰三角形輔助線添加的探究過(guò)程不僅是對(duì)幾何特性的綜合，同時(shí)也是思想方法的融合. 上述四種輔助線的添加方法中滲透了數(shù)學(xué)的模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，正是在三大思想的指導(dǎo)下完成了模型構(gòu)造、條件轉(zhuǎn)化、推理分析. 因此教學(xué)中需要借助問(wèn)題來(lái)滲透思想方法，使學(xué)生逐步感知數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，體驗(yàn)思想方法在解題中的優(yōu)勢(shì). 同時(shí)以思想方法教學(xué)為依托，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的發(fā)展.