關(guān)于幾何“定角定高”模型的解讀探究

石愛棒

[摘? 要] “定角定高”模型可用于求解含有定角、定高、動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題，通過(guò)作輔助圓的方式可確定動(dòng)點(diǎn)軌跡和動(dòng)線段的變化情形. 文章對(duì)“定角定高”模型進(jìn)行解讀，并結(jié)合實(shí)例開展應(yīng)用探究，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 定角定高;數(shù)學(xué)模型;幾何模型;最值;隱圓;面積

背景介紹

近幾年一些中考幾何問(wèn)題涉及了“定角定高”模型，問(wèn)題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問(wèn)題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來(lái)求解. 實(shí)際上，這樣的問(wèn)題中隱含了幾何的“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來(lái)探究最值情形. 教學(xué)中教師需引導(dǎo)學(xué)生合理利用軌跡思想來(lái)解析問(wèn)題，總結(jié)模型的解析方法和特殊結(jié)論.

模型探究

模型呈現(xiàn)? “定角定高”模型又稱之為探照燈模型，如圖1所示，已知點(diǎn)P為直線l外的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B為直線上兩點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l的距離為定值h（定高），∠APB的大小為定值（定角），我們將具有這樣幾何特征的模型稱之為定角定高模型.

問(wèn)題思考? 對(duì)于該模型我們需要思考以下問(wèn)題：①在定角定高的條件下，AB的長(zhǎng)是如何變化的？②△PAB的面積如何變化？③什么條件下AB和長(zhǎng)和△PAB的面積可取得最小值.

探究解讀? 解析“定角定高”模型需要繪制“隱圓”，利用圓的特性來(lái)加以探究. 作△APB的外接圓⊙O，由于∠APB和h（點(diǎn)P到直線l的距離）為定值，所以點(diǎn)P的軌跡為平行于直線l且距離為h的直線，如圖2. 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APB的外接圓⊙O的半徑也會(huì)隨之變化，故弦AB的長(zhǎng)度也會(huì)變化，△APB的面積為S= AB·h，故也會(huì)變化，當(dāng)AB取得最小值時(shí)三角形面積即為最小.

實(shí)際上，當(dāng)△APB為等腰三角形，即PA=PB時(shí)，AB長(zhǎng)和△APB的面積取得最小值. 證明過(guò)程如下：連接OA，OB和OP，過(guò)點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)M，顯然有PD≤OP+OM，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，O，M三點(diǎn)共線時(shí)可取等號(hào). ∠APB為定值，且為⊙O的圓周角，故其對(duì)應(yīng)的圓心角∠AOB也為定值. 設(shè)⊙O的半徑為R，則OM=Rcos∠AOM=Rcos∠APB，因?yàn)镻D≤OP+OM，則h≤Rcos∠APB+R，即當(dāng)Rcos∠APB+R=h時(shí)，R可取得最小值 ，此時(shí)AB取得最小值為2Rsin∠APB.

策略總結(jié)

“定角定高”模型常用于三角形邊長(zhǎng)最值、面積最值問(wèn)題的求解，從上述分析可知突破的關(guān)鍵是作動(dòng)三角形的外接圓，然后根據(jù)“半徑+弦心距定高”來(lái)確定外接圓的最小半徑. 在實(shí)際解題時(shí)需要關(guān)注解題策略中的以下兩點(diǎn)：

1. 對(duì)于問(wèn)題中的“定角定高”模型，動(dòng)三角形為等腰三角形時(shí)三角形的面積可取得最小值，三角形的定高位于底邊的垂直平分線上，同時(shí)過(guò)該三角形的外接圓圓心.

2. 模型中的定角可以視為三角形外接圓的圓周角，故對(duì)應(yīng)的圓心角的大小不變，因此可以結(jié)合圓心角所在的三角形，以及垂徑定理來(lái)求解直角三角形，從而確定最值情形下線段的長(zhǎng).

“定角定高”模型問(wèn)題的形式較為多變，題目一般不會(huì)直接指明“定角定高”模型，更不會(huì)直接給出相應(yīng)的“隱圓”，故解題時(shí)需要準(zhǔn)確提取模型，合理構(gòu)建模型，可以按照如下步驟求解：

第一步，提取問(wèn)題中的“定角定高”模型，若沒(méi)有直接給出，可考慮作圖構(gòu)造;

第二步，作“定角定高”三角形的外接圓，可利用外接圓圓心到定角對(duì)邊的距離即弦心距與圓半徑的關(guān)系來(lái)確定;

第三步，由“半徑與弦心距的和大于等于半徑”構(gòu)建不等關(guān)系，進(jìn)而確定半徑r的取值范圍;

第四步，用含有r的代數(shù)式表示動(dòng)三角形的面積，一般動(dòng)三角形為等腰三角形時(shí)滿足面積最小值情形.

典例分析

問(wèn)題提出：如圖3所示，已知在邊長(zhǎng)為10的等邊△ABC中，點(diǎn)D位于底邊BC上，BD=6，則△ACD的面積為___________.

問(wèn)題探究：如圖4所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別位于BC和CD邊上，且∠EAF=45°. 如果EF=5，試求△AEF的面積.

問(wèn)題解決：圖5是某城市的中心大道的一部分，由于工程搶修需要在矩形ABCD的區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)△AEF的作業(yè)面，矩形中AB=4米，AD=6米，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別位于BC和CD邊上（不與B，C，D相重合），并且∠EAF=45°. 為減小對(duì)道路擁堵造成的影響，需要盡量確保作業(yè)面△AEF的面積最小，問(wèn)：是否存在一個(gè)面積最小的△AEF？如果存在，請(qǐng)求出面積的最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：第一問(wèn)計(jì)算△ACD的面積，其面積與底邊長(zhǎng)有關(guān)，底邊上的高與等邊△ABC一致. 等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為10，作BC邊上的高AM，如圖6. 則AM=AB·sin60°=5 ，所以S = CD·AM=10 ，也就是，△ACD的面積為10 .

第二問(wèn)在正方形中構(gòu)建了△AEF，考查的是半角模型，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化來(lái)簡(jiǎn)化，將△AFD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△AMB，如圖7. 由旋轉(zhuǎn)特性可知AF=AM，∠FAD=∠MAB，所以有∠BAE+∠FAD=45°，∠MAB+∠BAE=45°，可證△MAE≌△FAE，則EF=ME=5，S =S ，則S =15.

第三問(wèn)求△AEF面積的最小值，探究型問(wèn)題的設(shè)問(wèn)具有一定的內(nèi)在聯(lián)系，故第三問(wèn)的突破方法可以參考第二問(wèn). 類比第二問(wèn)的構(gòu)圖方法，首先將△ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)將其縮小 ，可得到△ABQ，如圖8. 由上述過(guò)程知△ ADF∽△ ABQ，則∠FAD=∠QAB， = = ，從而∠ QAB+∠ BAE=∠ DAF+？搖 ∠ BAE=45°=∠ QAE，顯然∠QAE為定角.

后續(xù)解析可分如下兩步進(jìn)行.

第一步：探究△AEF與△QAE之間的面積關(guān)系.

過(guò)點(diǎn)E作AQ的垂線，垂足為點(diǎn)T，再過(guò)點(diǎn)E作AF的垂線，垂足為點(diǎn)P. 分析可知四邊形ATEP為正方形，則ET=EP，所以 = = ，所以當(dāng)△AQE的面積取得最小值時(shí)，△AEF的面積也為最小.

第二步：構(gòu)建“定角定高”模型，確定面積最值.

分析圖形，可知∠QAE=45°（定角），AB=4（定邊），求△AQE面積的最小值，滿足“定角定高”模型條件，利用模型的解析思路求解. 作△AQE的外接圓⊙O，連接OA，OQ，OE，過(guò)點(diǎn)O作QC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)R，如圖9所示，則∠QOE=90°. 設(shè)⊙O的半徑為r，則OR= r，QE= r，分析可知OA+OR≥4，即 r+r≥4，所以r≥4（2- ）=8-4 ，當(dāng)A，O，R三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即此時(shí)△AQE為等腰三角形，此時(shí)S =2 r=16 -16，則S = S =24 -24，即作業(yè)面△AEF的最小面積為24 -24平方米.

教學(xué)反思

1. 重視閱讀分析，洞悉問(wèn)題真相

上述在探究模型問(wèn)題時(shí)，對(duì)問(wèn)題的圖像特點(diǎn)、設(shè)問(wèn)形式進(jìn)行了分析、梳理，發(fā)現(xiàn)其實(shí)際上就是關(guān)于一定角、一定高、一動(dòng)點(diǎn)的線段最值問(wèn)題. 確定了問(wèn)題中的關(guān)鍵要素后就可以將其提煉為一個(gè)簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)模型，后續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究模型的解決思路即可使其掌握該類問(wèn)題的解法. 教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致閱讀問(wèn)題信息，理解領(lǐng)悟問(wèn)題本意，然后結(jié)合關(guān)聯(lián)知識(shí)洞悉問(wèn)題真相，為后續(xù)的模型提煉打下基礎(chǔ). 因此，教學(xué)中需要逐步培養(yǎng)學(xué)生讀題識(shí)題的能力，提升學(xué)生的理解能力.

2. 強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模，掌握建模技巧

對(duì)幾何問(wèn)題的圖形進(jìn)行總結(jié)歸納可以提煉對(duì)應(yīng)的幾何模型，幾何模型所隱含的性質(zhì)特點(diǎn)、研究方法對(duì)于復(fù)雜幾何問(wèn)題的突破有著一定的幫助. 以上述“定角定高”模型為例，其解析思路、研究方法可有效用于對(duì)應(yīng)的線段、面積最值問(wèn)題. 教學(xué)中教師需要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本模型的探究，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)、模型提取能力. 通常在研究模型時(shí)需要借助輔助線，教師需要指導(dǎo)學(xué)生掌握添加輔助線的技巧，關(guān)注圖形中的特殊點(diǎn)、特殊性質(zhì)，以此為基礎(chǔ)作輔助線搭建模型.

3. 重視分析推理，提升數(shù)學(xué)思想

近幾年中考特別注重對(duì)幾何圖形探究的考查，對(duì)學(xué)生的分析思維和推理能力有著較高的要求. 學(xué)生的思維方式和推理能力將直接影響解題效果，因此需要教師在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的分析推理能力. 教學(xué)中可有意識(shí)地變換問(wèn)題的條件或結(jié)論，重組圖形結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生逐步剖析，結(jié)合所學(xué)知識(shí)推理得出結(jié)論，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 同時(shí)，教學(xué)中可合理滲透數(shù)學(xué)思想，如上述探究中的模型思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，利用思想方法教學(xué)來(lái)提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

寫在最后

積累幾何模型對(duì)于幾何綜合題的突破有著一定的幫助，幾何模型往往是對(duì)幾何圖形中性質(zhì)特征、解法思路的高度總結(jié)，教師在平時(shí)的教學(xué)中需有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生提取模型. 往往涉及模型的綜合型問(wèn)題中含有一些特殊條件、特殊性質(zhì)，可通過(guò)模型聯(lián)想的方式直接確定所需的模型，因此關(guān)注模型特點(diǎn)，深入解讀模型是十分必要的. 另外，開展模型教學(xué)可以有效提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，課堂教學(xué)應(yīng)大力提倡.