從考題探究走向課堂教學(xué)

施俊

[摘? 要] 從考題探究走向課堂教學(xué)可以幫助學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)知識，促進(jìn)知識融合，提升學(xué)生的解題能力，而在考題教學(xué)中應(yīng)重視解法點(diǎn)撥、思路構(gòu)建，幫助學(xué)生形成相應(yīng)的解題策略，同時(shí)注意滲透解題的思想方法. 文章以一道函數(shù)與幾何綜合題為例，開展解題探究，并進(jìn)行教學(xué)微設(shè)計(jì).

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);幾何;教學(xué);分類討論;數(shù)形結(jié)合

背景介紹

在中考的備考階段需要開展考題教學(xué)，利用具體的考題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)綜合題的分析方法，體驗(yàn)思路的構(gòu)建過程，提升學(xué)生的綜合能力. 而考題教學(xué)的難點(diǎn)有兩個(gè)：一是細(xì)節(jié)教學(xué)，不同于常規(guī)知識點(diǎn)教學(xué)，需要結(jié)合題干信息來指導(dǎo)學(xué)生處理問題細(xì)節(jié)，故應(yīng)關(guān)注其中的關(guān)鍵點(diǎn);二是思路構(gòu)建教學(xué)，需要合理開展教學(xué)微設(shè)計(jì)，進(jìn)行逐層剖析，循序引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解題思路. 基于上述難點(diǎn)，教學(xué)中建議教師立足學(xué)情，指導(dǎo)方法，教學(xué)微設(shè)，考題拆解.

問題呈現(xiàn)

問題：如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中已知點(diǎn)A（6，0），B（0，8），C（-4，0），點(diǎn)M為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為射線AB上的動(dòng)點(diǎn). 現(xiàn)點(diǎn)M以2個(gè)單位長度/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以5個(gè)單位長度/s的速度由點(diǎn)A向著點(diǎn)B方向做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)MN與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)P，試回答下列問題.

（1）證明 為定值;

（2）如果△BNP與△MNA相似，試求線段CM的長;

（3）如果△BNP為等腰三角形，試求CM的長.

解法點(diǎn)撥

上述是涉及動(dòng)點(diǎn)的一次函數(shù)與三角形的綜合題，題設(shè)三問涉及線段比值、三角形相似、特殊圖形等問題，教學(xué)中建議采用如下方法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、構(gòu)建思路.

第一步：探尋問題中的已知量及特殊條件.

①已知點(diǎn)坐標(biāo)：A（6，0），B（0，8），C（-4，0）;

②特殊條件：存在兩動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)M速度v為2個(gè)單位長度/s，方向——點(diǎn)C→A;點(diǎn)N速度v為5個(gè)單位長度/s，方向——點(diǎn)A→B.

第二步：研究 為定值.

關(guān)注其中的特殊條件：過點(diǎn)N作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)H，則運(yùn)動(dòng)過程始終有PO∥NM，可結(jié)合該條件進(jìn)行比值轉(zhuǎn)化. 根據(jù)圖形形狀，可將問題分為點(diǎn)M位于CO上和點(diǎn)M位于OA上兩種情形.

①當(dāng)點(diǎn)M位于CO上時(shí)，點(diǎn)N位于線段AB上，此時(shí)恒有PO∥NM，則 = ;

②當(dāng)點(diǎn)M位于OA上時(shí)，點(diǎn)N位于線段AB的延長線上，此時(shí)恒有PO∥NM，則 = .

對于上述線段比例關(guān)系，可以結(jié)合“L=vt”轉(zhuǎn)化動(dòng)點(diǎn)條件為線段長，進(jìn)而結(jié)合上述討論情形建立方程，完成求解.

第三步：研究△BNP與△MNA相似.

第（2）問分析兩個(gè)三角形相似情形下CM的長，有兩種思路：一是從頂點(diǎn)對應(yīng)情形入手進(jìn)行分類討論，二是考慮動(dòng)點(diǎn)情形進(jìn)行分類討論. 考慮到點(diǎn)M的位置對三角形的形狀有著較大影響，建議采用思路一，則需要討論以下兩種情形.

①當(dāng)點(diǎn)M位于CO上時(shí)，顯然只可能是∠MNB=∠MNA=90°，則相似情形為△ BNP∽△ MNA;

②當(dāng)點(diǎn)M位于OA上時(shí)，顯然只可能是∠NBP=∠NMA，推理可知∠PBA=∠PMO，需要分析該條件下兩個(gè)三角形能否相似.

第四步：研究△BNP為等腰三角形.

第（3）問分析計(jì)算△BNP為等腰三角形時(shí)CM的長，參考第（2）問的分類標(biāo)準(zhǔn)，討論點(diǎn)M的位置對三角形的影響，同時(shí)結(jié)合等腰三角形的特性進(jìn)行分類，思路如下.

①當(dāng)點(diǎn)M位于CO上時(shí)，可分BP=BN，PB=PN，NB=NP三種情形;

②當(dāng)點(diǎn)M位于OA上時(shí)，此時(shí)∠PBN>90°，同樣需要對三種情形進(jìn)行討論分析.

過程詳解

基于上述解法點(diǎn)撥，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生按照如下過程作答，同時(shí)注意采用數(shù)形結(jié)合的策略，通過數(shù)形對照降低思維難度.

（1）如圖2，過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)條件設(shè)AN=5k，則AH=3k，CM=2k.

①當(dāng)點(diǎn)M位于CO上時(shí)，點(diǎn)N位于線段AB上（見圖2），分析可知OH=6-3k，OM=4-2k，所以MH=10-5k，由圖可知PO∥NH，則 = ，代入線段長，可得 = = ;

②當(dāng)點(diǎn)M位于OA上時(shí)，點(diǎn)N位于線段AB的延長線上（見圖3），此時(shí)OH=3k-6，OM=2k-4，所以MH=5k-10，由圖可知PO∥NH，則 = ，代入線段長，可得 = = .

綜上可知， 恒為定值 .

（2）討論△BNP與△MNA相似時(shí)線段CM的長，結(jié)合圖像分類求解.

①當(dāng)點(diǎn)M位于CO上時(shí)，如圖2，此時(shí)只可能是∠MNB=∠MNA=90°，則有△ BNP∽△ MNA，同時(shí)△ MNA∽△ BOA，由相似性質(zhì)可得 = ，代入線段長可得 = ，解得k= ，所以CM= ;

②當(dāng)點(diǎn)M位于OA上時(shí)，如圖3，只可能∠NBP=∠NMA，所以∠PBA=∠PMO. 因?yàn)椤螾BA=∠BNP+∠BPN，∠PMO=∠BNP+∠BAO，∠BAO>∠PBA>∠BPN，所以∠PBA≠∠PMO，與原條件存在矛盾，故該情形不成立.

綜上可知，△BNP與△MNA相似時(shí)CM的長為 .

（3）當(dāng)△BNP為等腰三角形，試求CM的長，需要綜合動(dòng)點(diǎn)及等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行分析.

因?yàn)?= ，PO= NH= ·4k，所以PO=? k，BP=8- k.

①當(dāng)點(diǎn)M位于CO上時(shí)（參考圖2），BN=10-5k，有如下三種等腰情形：

（i）若BP=BN，則有8- k=10-5k，解得k= ，所以CM= ;

（ii）若PB=PN，則有∠PNB=∠PBN，由題干條件可知∠PNB>∠BAC>∠PBN，推理與條件相矛盾，不成立;

（iii）若NB=NP，則有∠NBP=∠NPB，進(jìn)一步可證△MNA為等腰三角形，則MH=AN，所以10-5k=3k，解得k= ，所以CM= .

②當(dāng)點(diǎn)M位于OA上時(shí)（參考圖3），BN=5k-10，對如下情形進(jìn)行分析：

（i）若BP=BN，則有8- k=5k-10，解得k= ，所以CM= ;

（ii）若PB=PN或NB=NP，由于∠PBN>90°，所以該種情形不成立.

綜上可知，如果△BNP為等腰三角形，則CM的長可為 、 或 .

教學(xué)微設(shè)

基于考題進(jìn)行微設(shè)計(jì)是考題探究的重要環(huán)節(jié)，可以引導(dǎo)學(xué)生逐步剖析考題，理解問題結(jié)構(gòu)，促進(jìn)知識應(yīng)用，下面結(jié)合上述考題的第（1）問進(jìn)行微設(shè)計(jì).

環(huán)節(jié)1：讀題識圖，基礎(chǔ)應(yīng)用.

問題：如圖4，已知點(diǎn)A（6，0），B（0，8），C（-4，0），點(diǎn)M和N分別為線段AC和射線AB上的動(dòng)點(diǎn). 現(xiàn)點(diǎn)M為2個(gè)單位長度/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以5個(gè)單位長度/s的速度由點(diǎn)A向著點(diǎn)B方向做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)MN與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)P.

設(shè)問1：結(jié)合圖像理解題干信息，描述動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程;

設(shè)問2：分析點(diǎn)M在AC上的位置是否對形成的圖形有影響？

設(shè)計(jì)解讀：該問主要是引導(dǎo)學(xué)生理解題干的動(dòng)點(diǎn)條件，整體把握圖形變化，教學(xué)中可以聯(lián)系物理中的運(yùn)動(dòng)公式，使學(xué)生明白設(shè)定時(shí)間可將其中的速度條件轉(zhuǎn)化為線段長.

環(huán)節(jié)2：分類討論，條件處理.

問題：過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，設(shè)AN=5k.

設(shè)問1：點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到CO上時(shí)，分析PO與NM的位置關(guān)系，計(jì)算OH，OM和MH的長;

設(shè)問2：點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到OA上時(shí)，分析其中是否存在平行關(guān)系，并計(jì)算OH，OM和MH的長.

設(shè)計(jì)解讀：該環(huán)節(jié)是基于上述分類討論的問題拆分，其目的有兩個(gè)：一是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M的位置來分析圖形，結(jié)合所設(shè)動(dòng)點(diǎn)條件進(jìn)行線段長計(jì)算，二是引導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論的思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

環(huán)節(jié)3：綜合應(yīng)用，能力提升.

設(shè)問：試分析點(diǎn)M的位置是否影響 的值，并說明理由.

設(shè)計(jì)解讀：該環(huán)節(jié)主要是引導(dǎo)學(xué)生分類討論點(diǎn)M的位置，結(jié)合上述所推導(dǎo)的線段長條件進(jìn)行比值計(jì)算，從而確定 始終為定值，掌握轉(zhuǎn)化的解法思路.

上述三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)緊密相扣，同時(shí)又獨(dú)立設(shè)問，通過層層遞進(jìn)的方式引導(dǎo)學(xué)生理解問題、提取條件、構(gòu)建思路，逐步形成求解綜合問題的解題策略. 教學(xué)中教師需注意滲透數(shù)學(xué)的思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總結(jié)反思

上述對一道函數(shù)與幾何綜合題開展解法思路教學(xué)探究以及微設(shè)計(jì)，其目的在于引導(dǎo)學(xué)生掌握類型問題的解法以及解題思路的構(gòu)建過程，提升學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想. 另外在教學(xué)中提出以下兩點(diǎn)建議.

建議一：以問題為驅(qū)動(dòng)，由“變”到“不變”.

上述問題屬于典型的函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，設(shè)問層次性強(qiáng)，強(qiáng)調(diào)動(dòng)點(diǎn)與圖形的變化，該類問題的解題方法雖有不同，但總體思想是一致的，即由“變”的條件提取“不變”的性質(zhì). 解析時(shí)需要合理對動(dòng)態(tài)情形進(jìn)行分類，充分挖掘其中的恒定關(guān)系，如上述問題中的幾何平行、相似、線段動(dòng)態(tài)參量. 實(shí)際教學(xué)中建議以問題為驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生剖析隱含在動(dòng)態(tài)變化中的圖形特性，認(rèn)識動(dòng)態(tài)問題的本質(zhì)，提升學(xué)生思維水平.

建議二：以方法為引領(lǐng)，由“結(jié)論”到“過程”.

考題教學(xué)的最終目的是引導(dǎo)學(xué)生思考，提升解題能力，因此在教學(xué)中不應(yīng)過多地專注考題的結(jié)果，而應(yīng)注重考題教學(xué)的過程，包括審題過程、方法確定過程、思路構(gòu)建過程、考題反思過程等. 建議以考題為媒介，以教材知識為基礎(chǔ)，利用知識結(jié)構(gòu)和發(fā)展規(guī)律，由淺入深地進(jìn)行深化分析，形成相應(yīng)的解題策略. 教學(xué)中建議采用問題探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題的探究過程，深入認(rèn)識數(shù)學(xué)思想與解題方法融合的過程.