關(guān)于圓中函數(shù)關(guān)系問題的探究與思考

杜成智

[摘? 要] 圓中的函數(shù)關(guān)系問題是初中數(shù)學(xué)的經(jīng)典問題，融合了幾何與函數(shù)等重點(diǎn)知識(shí)，在圓中構(gòu)建函數(shù)關(guān)系需要把握兩點(diǎn)：一是幾何特性，二是函數(shù)知識(shí). 問題解析一般結(jié)合與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系緊密的定理，如三角函數(shù)、三角形相似性質(zhì)、勾股定理等. 文章結(jié)合實(shí)例加以探究，并開展解后反思，提出幾點(diǎn)教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 圓;函數(shù)關(guān)系;三角函數(shù);三角形相似;勾股定理

圓是初中幾何的重點(diǎn)圖形，含有一些較為特殊的性質(zhì)定理，中考對(duì)圓的考查也較為全面，既關(guān)注圖形的幾何特性，又注重其與函數(shù)的聯(lián)系，其中圓中的函數(shù)關(guān)系是需要重點(diǎn)掌握的問題類型. 圓中的函數(shù)關(guān)系問題表面上是探究線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系，實(shí)則屬于幾何性質(zhì)問題，是函數(shù)與幾何特性相綜合的典型代表. 下面對(duì)圓中的函數(shù)關(guān)系問題進(jìn)行探究.

問題探究

例1? 如圖1所示，已知PQ為⊙O的直徑，⊙O的半徑長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是PQ延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心作圓，設(shè)與⊙O相交于點(diǎn)A和B，連接PA并延長(zhǎng)，與⊙M相交于點(diǎn)C.

設(shè)問? 若AB恰好為⊙O的直徑，設(shè)OM=x，AC=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

思路分析? 上述屬于圓中函數(shù)關(guān)系探究題，突破時(shí)可參照如下步驟進(jìn)行.

第一步——提取已知量和特殊條件.

1. 特殊線段：OA=OB=OQ=OP=1，AB⊥PQ;

2. 圓的位置及半徑長(zhǎng)：①⊙O的半徑為1，定點(diǎn)O為圓心;②⊙M的圓心位于PQ的延長(zhǎng)線上（動(dòng)點(diǎn)M），且半徑處于變化中.

第二步——由性質(zhì)出發(fā)探求函數(shù)關(guān)系.

1. y與x函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)：由于OM=x，AC=y，問題就是要探究線段OM與AC的長(zhǎng)度關(guān)系.

2. 求解思路：添加輔助線，提取特殊角，聯(lián)系幾何特性，在直角三角形中構(gòu)建三角函數(shù)關(guān)系.

過程突破? 過點(diǎn)M作AC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)N，如圖2所示，由圓的垂徑定理可知AN=NC= y，由題意可得PM⊥AB，AB為⊙O的直徑，則OA=OP=1，所以∠APO=45°，PA= ，則PN=PA+AN= + y. 易知PM=1+x，∠NPM=45°，在Rt△PNM中，由三角函數(shù)可得cos∠NPM=cos45°= = = ，整理可得y= x- ，即y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y= x-? （x>1）.

方法總結(jié)

上述求解圓中的函數(shù)關(guān)系所采用的基本思路是由“幾何性質(zhì)”向“數(shù)式關(guān)系”轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了幾何關(guān)系的代數(shù)量化，其中的三角函數(shù)是實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，初中階段三角函數(shù)的構(gòu)建依托直角三角形，可從函數(shù)的角度建立線段比值.

實(shí)際上在數(shù)學(xué)幾何中溝通“數(shù)”與“形”的公式定理也較為多樣，除了上述的三角函數(shù)外，還可以利用直角三角形的勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)來提取線段關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)函數(shù)關(guān)系. 因此，在求解圓中的函數(shù)關(guān)系問題時(shí)可以采用如下步驟和策略.

第一步，探究x與y所表示的具體內(nèi)容;

第二步，結(jié)合圖像觀察x與y是否存在直接聯(lián)系;

第三步，探究圖像中的幾何性質(zhì)，提取幾何關(guān)系. ①若已知角度，可嘗試構(gòu)建直角三角形，利用三角函數(shù)來建立變量間的函數(shù)關(guān)系;②若可提取相似三角形，可嘗試?yán)孟嗨迫切芜呴L(zhǎng)間的比例關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系;③若存在特殊的直角或直角三角形，可嘗試?yán)霉垂啥ɡ斫⒆兞块g的函數(shù)關(guān)系.

而在實(shí)際求解時(shí)還需關(guān)注兩點(diǎn)：一是注重方法的融合，上述函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化的三種策略可以相互結(jié)合，減少計(jì)算過程;二是重視變量取值，由于圓中的函數(shù)關(guān)系與線段的取值有著直接聯(lián)系，故在實(shí)際求解中需要重點(diǎn)關(guān)注自變量x的取值，以確保結(jié)果合理.

拓展探究

圓中的函數(shù)關(guān)系問題是幾何性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算的綜合，上述例1重點(diǎn)講解了三角函數(shù)在函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用思路，下面結(jié)合上述總結(jié)的方法策略，講解勾股定理的平方和轉(zhuǎn)化和相似三角形的比例轉(zhuǎn)化在解題中的應(yīng)用.

1. 勾股定理的平方和轉(zhuǎn)化

勾股定理是幾何中的常用定理之一，該定理充分反映了直角三角形中三邊線段長(zhǎng)的關(guān)系，利用該定理求解圓中的函數(shù)關(guān)系同樣需要依托直角三角形，由三邊平方和關(guān)系進(jìn)行函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化.

例2? 如圖3所示，線段AB=10，點(diǎn)C位于線段AB上，現(xiàn)分別以AC和BC為半徑作⊙A和⊙B，設(shè)點(diǎn)D是⊙B上的一點(diǎn)，連接AD，與⊙A相交于點(diǎn)E，連接EC并延長(zhǎng)，與⊙B相交于點(diǎn)F，試回答下列問題.

（1）證明BF平行于AD;

（2）如果BD⊥AD，設(shè)AC的長(zhǎng)為x，DF的長(zhǎng)為y，試求y與x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍.

解析? （1）證明BF與AD平行，可從圓中線段之間的關(guān)系入手，推理得出∠AEC=∠BFC，進(jìn)而可證BF//AD.

（2）根據(jù)BD⊥AD，BF//AD，可推得∠ADB=∠DBF=90°，則△DFB為直角三角形. 已知AB=10，AC=x，則BC=10-x，在Rt△DFB中使用勾股定理，有DF2=BD2+BF2，代入線段長(zhǎng)，可得y2=2（10-x）2，整理后可得y= （10-x），所以y與x的函數(shù)解析式為y= （10-x），且x的取值范圍為0

評(píng)析? 上述圓中的函數(shù)關(guān)系問題較為簡(jiǎn)單，利用幾何性質(zhì)即可提取其中的直角三角形，結(jié)合勾股定理就可推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.

2. 相似三角形比例轉(zhuǎn)化

相似三角形比例轉(zhuǎn)化策略的核心是提取相似三角形，對(duì)于涉及圓的綜合問題，其推理策略與常規(guī)的幾何證明一致，需緊扣三角形相似的判定定理. 實(shí)際求解時(shí)可以按照“證明相似——比例式轉(zhuǎn)化”的思路進(jìn)行.

例3? 如圖4所示，在△ABC中，已知AC=BC=10，cosC= ，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A和點(diǎn)C相重合）. 以PA為半徑作⊙P，與邊AB的另一交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作BC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，試回答下列問題.

（1）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，求⊙P的半徑;

（2）連接BP，與DE相交于點(diǎn)F，設(shè)AP長(zhǎng)為x，PF長(zhǎng)為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍.

解析? （1）可設(shè)⊙P與邊BC的切點(diǎn)為H，設(shè)圓半徑為R，連接HP，作HP⊥BC，在Rt△HCP中使用三角函數(shù)，由cosC= 可知sinC= ，而sinC= = ，從而可解得R= .

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，實(shí)則就是求AP與PF的長(zhǎng)度關(guān)系. 在△ABC中，已知AC=BC=10，cosC= ，設(shè)AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，過點(diǎn)B作BH⊥AC，如圖5，則BH=AC·sinC=8，同理可推知CH=6，HA=4，AB=4 ，則tan∠CAB=2. 在Rt△BHP中使用勾股定理可得BP= ，則DA=? x，BD=4 -? x.

如圖6所示，由PA=PD，得∠PAD=∠CAB=∠CBA=β. tanβ=2，則cosβ= ，sinβ= ，所以EB=BD·cosβ=4- x. 分析可知PD∥BE，進(jìn)一步可知△DFP∽△EFB，由相似性質(zhì)可得 = ，將線段長(zhǎng)代入其中，可得 = ，整理可得y= ·? （0

評(píng)析? 上述求解圓中的線段函數(shù)關(guān)系時(shí)，綜合運(yùn)用了三角函數(shù)與相似三角形的比例式. 首先利用三角函數(shù)的線段比值轉(zhuǎn)化相關(guān)線段長(zhǎng)，然后利用相似三角形的線段比例關(guān)系構(gòu)建y與x的函數(shù)關(guān)系，從而完成了求解. 其中構(gòu)建直角三角形和提取兩線平行是思路構(gòu)建的關(guān)鍵.

解后思考

圓中的函數(shù)關(guān)系問題屬于典型問題，上述對(duì)其中常用的函數(shù)關(guān)系構(gòu)建策略進(jìn)行了探討，對(duì)于強(qiáng)化學(xué)生基礎(chǔ)，提升學(xué)生能力有著極大的幫助，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出兩點(diǎn)建議.

1. 理解問題本質(zhì)，促進(jìn)知識(shí)融合

圓中的函數(shù)關(guān)系，不僅是對(duì)線段長(zhǎng)度關(guān)系的反映，同樣體現(xiàn)了圖形中的幾何特性，因此求解圓中的函數(shù)解析式，實(shí)則是挖掘幾何性質(zhì)，這是圓中函數(shù)解析式的問題本質(zhì). 因此在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生理解問題本質(zhì)，理解三角函數(shù)法、相似三角形比例轉(zhuǎn)化法、勾股定理平方和法的構(gòu)建依據(jù). 考慮到圓中函數(shù)關(guān)系問題的綜合性較強(qiáng)，需綜合運(yùn)用幾何性質(zhì)，靈活進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，如上述例3綜合三角形相似、兩線平行、勾股定理來構(gòu)建解題思路. 在備考復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)融合，依托幾何圖形探究性質(zhì)定理，由定理出發(fā)歸納圖形特征，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系.

2. 引導(dǎo)設(shè)問探究，注重方法總結(jié)

素質(zhì)教育的核心是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，倡導(dǎo)采用引導(dǎo)、啟發(fā)的教學(xué)方式，使學(xué)生掌握解題方法，提升數(shù)學(xué)思維. 以上述圓中的函數(shù)關(guān)系問題為例，教學(xué)中有必要引導(dǎo)學(xué)生理解問題，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘題目中的條件，包括等量、不變量、隱含量等，培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜背景下的讀題、識(shí)題、悟題能力. 解題教學(xué)中可采用講練結(jié)合的方式，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立分析、自主計(jì)算，加強(qiáng)師生互動(dòng)，讓學(xué)生充分參與到教學(xué)中. 解題教學(xué)的目的是使學(xué)生掌握類型問題的解法，因此教學(xué)中要注重方法總結(jié)，包括類型問題的構(gòu)建思路、方法技巧，以及問題分析中所涉及的數(shù)學(xué)思想，通過探究典型問題的解法來提升學(xué)生的綜合能力.