看“一”的眼光

郜舒竹

【摘? ?要】數(shù)學課程內(nèi)容中，除了有客觀、統(tǒng)一和確定的標準單位，相對于人的認知過程，還有主觀、個性和多樣的意念單位。許多內(nèi)容的理解都與意念單位的選擇、使用、分解、組合、轉化有關。看“一”的眼光，指的是對“一”的選擇和使用。這種單位化的眼光對于建立數(shù)學課程內(nèi)容之間的聯(lián)系以及解決問題過程中方法的生成，都會起到重要的作用。不僅如此，單位化作為一種認知能力，也是數(shù)學課程內(nèi)容中所蘊含著的育人因素。數(shù)學教學應當讓學生親力親為地經(jīng)歷這樣的認知過程，發(fā)展認知能力，實現(xiàn)數(shù)學的教育性。

【關鍵詞】單位;標準單位;意念單位;認知能力

“一”也叫“單位（Unit）”，數(shù)學課程中許多內(nèi)容都與單位的選擇、使用、分解、組合、轉化有關?？础耙弧钡难酃猓傅氖菍挝坏倪x擇和使用。作為人的認知能力，這種眼光對于建立數(shù)學課程內(nèi)容之間的聯(lián)系以及解決問題過程中方法的原創(chuàng)生成，都會起到重要作用。

一、什么是“單位”

通常的數(shù)學課程與教學中，會把“一，十，百，千……”叫作十進制記數(shù)法的“計數(shù)單位”或“記數(shù)單位”;把小數(shù)中的“0.1，0.01，0.001……”叫作小數(shù)單位;把“[12]，[13]，[14]……”這樣分子是1的分數(shù)叫作“分數(shù)單位”;把“米，厘米，毫米……”叫作長度單位，諸如此類用于量的“度量（Measurement）”，還有面積單位、體積單位、角的度量單位、質(zhì)量（重量）單位、時間單位、貨幣單位、溫度單位，等等。

這樣的單位具有相對“客觀、統(tǒng)一、確定”的特點。“客觀”指的是外在于學習者的主觀意愿;“統(tǒng)一”指的是長期以來人們的普遍公認并且約定俗成，遵循這樣統(tǒng)一的標準，可以實現(xiàn)盡人皆知、沒有歧義的表達。正是這樣的客觀性和統(tǒng)一性使得單位具有了約定俗成的“確定性”，不會依據(jù)人的主觀意愿進行改變。因此，這種單位實質(zhì)是一種具有普遍意義并且約定俗成的語言，是實現(xiàn)表達和交流的工具。這種具有客觀性、統(tǒng)一性和確定性的單位可以稱之為“標準單位（Standard Units）”。

從認知的角度看，單位實質(zhì)是人對待“一”的看法和想法，有了“一”，才能使得“幾”或“多少”具有確定的意義。如果把看待和選擇“一”的過程視為人的主觀行為或思維過程，這樣的過程也叫作“單位化（Unitizing）”，是人的一種認知方式，也可以認為是人的一種認知能力，具有主觀、個性和多樣的特點。

正如古希臘歐幾里得在《原本》中把“單位”定義為“每件事都是單位”[1]，而表達多少的數(shù)（自然數(shù)）是單位的復合。比如通常所說的“6個蘋果”，是把“1個蘋果”視為“一”。如果改變對“一”的看法，把“2個蘋果”視為“一”，那么“6”這個數(shù)就變?yōu)椤?”，6個蘋果的說法就變?yōu)椤?對蘋果”。再比如“6根筷子”中的“6”是將“1根筷子”看作“一”。如果改變看法，把“2根筷子”視為“一”，那么“6根筷子”的說法就變成“3雙筷子”。原本用數(shù)“6”表達的對象，改變?yōu)橛脭?shù)“3”來表達。

因此可以說，用于表達“幾”的數(shù)，是相對于“一”而言的，看待“一”的眼光，決定了用哪個數(shù)表示“幾”。因此數(shù)是人頭腦中建構的概念，屬于抽象的范疇。

更進一步，還可以把“6個蘋果”這個整體視為“一”，這時其中的“1個蘋果”就需要用分數(shù)“[16]”來表達，其中的“2個蘋果”就變?yōu)椤癧26]”。如果把“2個蘋果”看作“1對蘋果”，那么“6個蘋果”的表達就變?yōu)椤?對蘋果”，同樣把“3對蘋果”視為“一”，這時“1對蘋果”（2個蘋果）的表達就成為分數(shù)“[13]”。這樣用變化的眼光看待單位的過程，體現(xiàn)了“[26]=[13]”的意義，也就是分數(shù)中“約分”的過程，小學數(shù)學課程內(nèi)容中也叫作“分數(shù)基本性質(zhì)”。

按照這樣的理解，單位實質(zhì)是人與環(huán)境互動中，對客觀對象生成看法和想法過程中的產(chǎn)物，是思維中形成的對象或實體（Conceptual Entity），是人主觀生成或“建構（Construction）”出來的產(chǎn)物。相對于前面所說的客觀、統(tǒng)一和確定的標準單位，這樣主觀建構的單位也叫作意念中的單位，簡稱為“意念單位（Conceptual Unit）”[2]，具有主觀、個性和多樣的特點。

意念單位作為一種思維形式，類似于認知語言學中“意象圖式轉換（Image Schema Transformation）”下的“一多轉換（Multiplex-Mass）”，簡單說就是“視多為一”或“視一為多”的思維方式和表達方式，把“很多”看作并表達為“一群”，“一群”是由很多“1個”組成，因此“一群”中的“一”，同時也有“多”的含義。如果把“一”與“多”視為對立的雙方，“一多轉換”表現(xiàn)為對立的雙方的相互轉化，滲透了辯證思維中對立統(tǒng)一的觀念。

因此對于單位的認識，一方面，可以認為是約定俗成的標準單位，具有客觀、統(tǒng)一和確定的特點。另一方面，也可以認為是主觀、個性和多樣的意念單位，意念單位的生成、使用和轉化，就成為數(shù)學學習過程中應當逐步經(jīng)歷并提升的認知能力。

二、情境相同，算式多樣

對于整數(shù)乘法算式，比如“3[×]2=6”，如果其中的因數(shù)“3”表示類似于前面蘋果的“3個”對象，這時“3”的意義就是“多”，表示3個“一”，這里的“一”表示的是“1個”對象。算式中另一個因數(shù)“2”，其意義是把“3個”視為“一”，表示包含2個這樣的“一”，這里的“一”不再是“1個”，而是“3個”，是把“3個”這樣的“多”視為“一”。

第一個因數(shù)“3”表達的是具體“對象（Object）”的屬性，第二個因數(shù)“2”則不同，表達的是包含這種具體對象的“類（Collection）”或“集合（Set）”。類在認知科學中往往用熟悉的“容器（Container）”進行隱喻或類比。因此“3[×]2=6”的運算過程，可以理解為將3個對象分2次放入2個容器中，進而產(chǎn)生了一個包含6個對象的新容器（如圖1）。

放入之前因數(shù)“3”表示“3個”對象，放入容器過程中是將“3個”對象視為“一”，結果的2類合并成為一個新的類，包含6個對象。

因此，運算“乘”在思維中具有“進入（Into）”的意義，前面提及的歐幾里得《原本》中對于乘法的定義就表達了這樣的意義。17世紀英國著名數(shù)學家、牛頓的老師艾薩克·保羅（Isaac Barrow：1630—1677）所著英文版《原本》第7卷的命題16這樣描述乘法：“如果兩個數(shù)A，B相乘，其中一個進入另外一個，產(chǎn)生兩個數(shù)AB，BA，那么這兩個數(shù)相等?！盵3]這一命題實際敘述了乘法所滿足的交換律，其中對乘法過程就使用了“進入（Into）”的表述。后來歐洲許多算術教科書中都沿用了這樣的表述。[4]

接下來的問題是在整數(shù)乘法意義的基礎上，如何認識一個分數(shù)與整數(shù)相乘？如何使得分數(shù)與整數(shù)相乘的意義與整數(shù)乘法意義進行銜接？通常的做法是利用分數(shù)加法。比如“[29×3]”，利用相同加數(shù)求和，改寫為“[29+29+29]”進行計算。事實上，還可以運用意念單位的改變，認識分數(shù)乘整數(shù)。

如果將算式“3[×]2=6”中因數(shù)3表示的3個對象，看作是包含于9個對象中的一個局部。把“9個”對象視為“一”，那么3個對象相對于這個“一”，就成為[39]。與圖1所示整數(shù)乘法同樣的過程得到的6個對象，相對于9個對象這個“一”來說，就成為[69]（如圖2）。

因此算式“3[×]2=6”就改變?yōu)榉謹?shù)乘法算式：

[39×2=3×29=69]

由此看出，兩個不同的算式“3[×]2=6”與“[39×2=69]”，都表達了6個對象平均分配的過程，區(qū)別在于看待“一”的眼光不同?！?[×]2=6”是將“1個”視為“一”，“[39×2=69]”是將“9個”視為“一”?？础耙弧钡难酃獾母淖儯瑢е聦懗龅乃闶讲煌?。從兩個整數(shù)的乘法，自然而然地過渡到分數(shù)乘整數(shù)。

對于除法運算也是類似，比如將6個蘋果平均分給2個人，每人分3個，用整數(shù)除法算式表示為“[6÷2=3]”。如果把6個蘋果看作是從9個蘋果中取出來的，把“9個”看作“一”，那么6個蘋果相對于這個“一”，就成為[69]，分得的結果每人3個，相對于“一”，就成為[39]。相應的算式就成為：

[69÷2=6÷29=39]

因此從實際情境看，將6個蘋果平均分給2個人的過程，是一個客觀的事件或過程，人用數(shù)學符號表達這個事件時，就有主觀、個性和多樣的特點。如果把“1個蘋果”視為“一”，符號表達就是“[6÷2=3]”;把“9個蘋果”視為“一”，列出的算式就成為“[69÷2=39]”。因此可以知道數(shù)學認知過程的一個重要特征：情境相同，算式多樣。

計算教學的一個重要內(nèi)容是理解算式的意義，這樣的意義一方面來源于具體的涉身活動和經(jīng)驗，另一方面是建立與已有知識和經(jīng)驗的聯(lián)系。用變化的眼光看單位，可以將整數(shù)和分數(shù)視為同樣對象的不同表達，分數(shù)的出現(xiàn)實質(zhì)是人的建構，源于人看待單位眼光的改變。

前面出現(xiàn)的分數(shù)[39]，可以約分為[13];[69]可以約分為[23]。換言之，也就是把[39]與[13]看作是相等關系，同樣[69]和[23]也具有這樣的相等關系。用等式表示為：

[39]=[13]，[69]=[23]

如前所述，類似于此約分的過程，是看“一”的眼光發(fā)生了兩次變化的結果。第一次是將“3個”視為“一”，從而“9個”就成為“3”，這個“3”表達的是3組，每一組中包含“3個”。第二次是將“3組”視為“一”，每一組就成為“[13]”，其中的“6個”就是“2組”，自然成為[23]。

因此[39]和[69]分別表達的是把“9個”視為“一”中的3個和6個，而[13]和[23]分別表達的是把“3組”看作“一”中的1組和2組。因此類似于[39]=[13]和[69]=[23]這樣約分的過程，實質(zhì)是在同樣情境下，看“一”的眼光發(fā)生了變化，使得同樣的情境出現(xiàn)了不同的表達。

三、方法的方法

數(shù)學教學中一個需要研究的問題是如何幫助學生原創(chuàng)生成解決問題的方法，也即讓學生經(jīng)歷思考“方法的方法（Methodology）”的過程。表面看不同的算法或解題方法，實質(zhì)是在同樣或類似的看法和想法中生成的，這樣的看法和想法是高于操作性方法的“大想法（Big Idea）”。下面以小學數(shù)學課程內(nèi)容中與分數(shù)相關的問題為例加以說明。與分數(shù)相關的問題通常分為三類。

第一類：求一個數(shù)的幾分之幾，用乘法。

第二類：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，用除法。

第三類：已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)，用除法。

其中第三類問題也稱為“知幾求一”的問題，被認為是與分數(shù)相關問題中最困難的。在人教版小學數(shù)學六年級上冊“分數(shù)除法”單元中的例題敘述為：

小明的體重是35kg，他的體重比爸爸的體重輕[815]。小明爸爸的體重是多少千克？

從小明體重比爸爸輕[815]，可以知道小明體重相當于爸爸體重的[（1-815）=715]。也就是已知爸爸體重的[715]是35kg，求爸爸體重（知幾求一）。傳統(tǒng)的教法是讓學生記?。阂阎粋€數(shù)的幾分之幾是多少，要求這個數(shù)，用除法?，F(xiàn)在是已知爸爸體重的[715]是35kg，用除法“[35÷715]”計算出爸爸體重為75kg。

像這樣“模仿+記憶+練習”的學習方式，自然缺失了意義的理解。學生對于整數(shù)除法的已有經(jīng)驗是“等分”和“包含”，而此時所出現(xiàn)的算式“[35÷715]”，用等分和包含都很難解釋其意義。為了規(guī)避這種困難，如今教科書中通常采用方程的方法解決問題，其算理的依據(jù)是乘除運算的互逆關系。

設爸爸體重為[x] kg，依據(jù)等量關系“爸爸體重減去小明體重比爸爸輕的部分等于小明體重”，列出方程“[（1-815）x=35]”或“[x-815x=35]”，通過解方程得到爸爸體重為75kg。這樣的處理能夠實現(xiàn)算法的合理性，但仍然缺乏對算式意義的理解。事實上，如果以變化的眼光看待“一”，可以結合學生已有經(jīng)驗，生成多種自然而然且合情合理的方法。

方法1：視分數(shù)單位“[115]”為“1”（如圖3）。

如果視“[115]”為“1”，那么[715]就改變?yōu)椤?”，小明體重比爸爸少的部分就是“8”，這樣爸爸體重就成為“15”（如圖4）。

問題自然而然地轉化為用整數(shù)可以解決的問題：已知一個數(shù)的7倍等于35，求這個數(shù)的15倍是多少？可以用下面算式計算出結果：

[35÷7×15=75]（kg）

方法2：視“小明體重”為“1”（如圖5）。

如果視小明體重為“1”，那么爸爸體重就相當于將小明體重平均分為7份中的15份，用假分數(shù)表達為“[157]”，或用帶分數(shù)表達為“[217]”（如圖6）。

這時問題已經(jīng)轉變?yōu)榍笠粋€數(shù)的幾倍或幾分之幾的指向乘法計算的問題：求35的[157]是多少？運用乘法可以計算出爸爸體重：

[35×157=75]（kg）

除了上面兩個方法，還可以把“爸爸和小明體重總和”看為“1”，此時相當于將“1”平均分為22份，小明體重為其中的7份，用分數(shù)表達為[722];爸爸體重為其中的15份，用分數(shù)表達為[1522]（如圖7）。有了這樣的表達，自然建立了小明體重和爸爸體重之間的關系，學生可以在明晰關系的基礎上，產(chǎn)生出多樣的算法。

綜上，看“一”的眼光是單位化的認知方式和能力，是把“一”或“單位”視為意念中的對象或實體，是主觀、個性和多樣的思維產(chǎn)物。靈活多樣地選擇和使用單位，可使得數(shù)量以及數(shù)量關系的表達方式隨之變化。同樣的對象出現(xiàn)不同的表達，體現(xiàn)了數(shù)學符號的語言特征，即表達方式的多樣性。

不僅如此，看待單位眼光的改變，使得解決問題的方法呈現(xiàn)多樣化，表面看是不同的方法，其背后具有同樣的大想法。如果把解題時列出算式并且計算出結果的過程叫“做法”，那么對于單位的選擇和使用，就體現(xiàn)了這種做法的想法，也就是方法的方法。

數(shù)學教育的初心是教育，教育的初心是人的發(fā)展。充分利用數(shù)學課程內(nèi)容中所蘊含著的育人因素，使學生在數(shù)學學習過程中親力親為地經(jīng)歷認知過程、發(fā)展認知能力，實現(xiàn)數(shù)學的教育功能，應當成為數(shù)學教學追求的目標。

參考文獻：

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[4]COCKER. Cockers Arithmetick[M]. LONDON： W. Ricbardson， 1702： 38.

（首都師范大學初等教育學院? ?100048）