標準型異形橢圓斷面正常水深和臨界水深計算

武周虎, 王 瑜, 祝帥舉,2

(1.青島理工大學環(huán)境與市政工程學院，山東 青島 266033；2.河南省城鄉(xiāng)規(guī)劃設(shè)計研究總院有限公司，河南 鄭州 450044)

在水利、水電、調(diào)水、灌溉等穿越工程的輸水中，較多采用無壓隧洞形式，其正常水深和臨界水深是無壓隧洞的重要設(shè)計參數(shù)。對于現(xiàn)行的圓形、馬蹄形、蛋形等無壓隧洞斷面形狀，正常水深和臨界水深的計算大多涉及超越方程，無法求得解析解。近年來，在圓形[1-2]、馬蹄形[3-4]、蛋形[5-6]等無壓隧洞斷面正常水深和臨界水深的直接求解研究中，較多采用迭代法、函數(shù)替代擬合法等，得到了一系列精度較高的直接計算公式。

馬蹄形、蛋形等無壓隧洞斷面的內(nèi)輪廓線是由圓心位置、半徑不同的多段圓弧相切或相交組成。以四圓弧馬蹄形斷面為例，就有半徑r1、r2、r3和切點高度h1、h2(或圓心角)共5個獨立變量，各變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系復雜，水力要素計算公式的分區(qū)表達不可避免，導致在正常水深和臨界水深的計算過程中，需先以分界流量或者充滿度的范圍來界定各分區(qū)，通用性不強[3-6]。在實際工程應用中，各水深計算公式的選擇比較困惑。武周虎等[7-8]推導的寬闊河流中心穩(wěn)定點源條件下保守物質(zhì)的等濃度線方程，可作為一種新型Wu’s二參數(shù)曲線(以下定義為異形橢圓)水工隧洞斷面內(nèi)輪廓線方程。該斷面形狀只有2個獨立變量，曲線完整且連續(xù)光滑，克服了馬蹄形、蛋形等斷面曲線的分段組合及水力要素公式的分區(qū)問題。從結(jié)構(gòu)特征上來講，異形橢圓斷面曲線可以克服馬蹄形、蛋形等斷面曲線在相交或相切點處一階或二階導數(shù)不連續(xù)、曲率突變和應力集中現(xiàn)象。因此，異形橢圓在水工隧洞、交通隧道等工程中具有非常廣泛的工程應用價值[9-11]。

本文基于無壓隧洞最大寬度W與最大高度H相等的標準型異形橢圓斷面形式，在系統(tǒng)歸納標準型異形橢圓斷面水力要素計算公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)明渠均勻流和臨界流基本方程，引入量綱一參數(shù)和采用曲線優(yōu)化擬合的分析方法，結(jié)合標準型異形橢圓斷面正常水深和臨界水深的變化特征，在工程應用范圍內(nèi)，提出標準型異形橢圓斷面正常水深和臨界水深的直接計算公式，并進行誤差和算例分析。

1 標準型異形橢圓斷面的水力要素

1.1 標準型異形橢圓斷面曲線方程

異形橢圓斷面曲線是基于寬闊河流中心穩(wěn)定點源條件下，保守物質(zhì)濃度分布的等濃度線方程推演而來的[7-8]，是由一個獨立兩參數(shù)方程表征的完整連續(xù)光滑曲線，其Wu’s曲線方程[9-10]為

(1)

式中：z為自隧洞斷面底部中點向上的垂向坐標，即表征斷面的高度坐標，取值范圍為0≤z≤H；y為垂直于z軸的橫向坐標，即表征斷面的寬度坐標，取值范圍為-W/2≤y≤W/2。異形橢圓斷面最大寬度處相應的垂向坐標為zw=H/e≈0.368H。

定義異形橢圓的壓縮系數(shù)為非對稱軸y方向的寬度與對稱軸z方向的高度之比，以θ=W/H表示。據(jù)此，將異形橢圓的形狀分類為：當壓縮系數(shù)θ=1時，異形橢圓的寬度等于高度，稱為標準型；當0<θ<1時，異形橢圓的寬度小于高度，稱為H型(高瘦型)；當θ>1時，異形橢圓的寬度大于高度，稱為W型(寬胖型)。對于標準型異形橢圓斷面，為便于分析討論，定義斷面參數(shù)H，則標準型異形橢圓斷面曲線方程為

(2)

由式(2)繪制的標準型異形橢圓斷面及其特征尺度如圖1所示。

圖1 標準型異形橢圓斷面及其特征尺度示意圖

1.2 標準型異形橢圓斷面的水力要素計算

在無壓隧洞內(nèi)任一水深h處，其充滿度(即相對水深)α=h/H，結(jié)合壓縮系數(shù)θ=1的標準型異形橢圓斷面的參數(shù)H，對文獻[10]中異形橢圓斷面的水力計算公式進行簡化整理，可得到標準型異形橢圓斷面的水力要素計算公式。

a. 水面寬度。在式(2)中，令z=h，則水深h相應充滿度α所對應的水面寬度B的表達式為

(3)

b. 過水斷面面積。由圖1可知，標準型異形橢圓斷面的過水斷面面積為水面線與其下部斷面曲線所包圍部分的面積。在z∈[0,h]區(qū)間上，對式(2)變形后y=f(z)函數(shù)的2倍求定積分，令z/H=ζ，其積分上限變?yōu)槌錆M度α，則過水斷面面積A的表達式為

(4)

c. 濕周。由圖1可知，標準型異形橢圓斷面的濕周為水面線下部斷面輪廓曲線的弧長。在z∈[0,h]區(qū)間上，對標準形異形橢圓斷面曲線方程y=f(z)函數(shù)求2倍弧長定積分，則過水斷面濕周的表達式為

T(α)H

(5)

式中：y′為y=f(z)的一階導數(shù)；T為標準型異形橢圓過水斷面的濕周系數(shù)。當α=1時，由MATLAB數(shù)值積分計算結(jié)果，T(1)=3.191 244為斷面最大濕周系數(shù)，相應的濕周為隧洞滿管流斷面的周長L。

d. 水力半徑。水力半徑為過水斷面面積與濕周之比，由式(4)與式(5)可得

(6)

式中：R′為標準型異形橢圓過水斷面水力半徑與斷面參數(shù)H的比值，即相對水力半徑。

2 標準型異形橢圓斷面的正常水深

2.1 明渠均勻流基本方程

明渠均勻流水深稱為正常水深，是明渠水面線分析計算的基礎(chǔ)參數(shù)，也是無壓隧洞設(shè)計的重要參數(shù)。明渠均勻流基本方程[12]為

(7)

式中：Q為輸水流量，m3/s；i為底坡；n為糙率。

將式(4)和式(5)代入式(7)，整理可得到關(guān)于標準型異形橢圓斷面正常水深的隱函數(shù)表達式：

(8)

式中兩個等號中間的表達式為充滿度或正常水深的隱含關(guān)系式。將式(8)右邊的表達式設(shè)為標準型異形橢圓斷面的正常水深模數(shù)ηn：

(9)

由式(8)可知，正常水深模數(shù)ηn與充滿度α之間存在隱函數(shù)關(guān)系ηn=f(α)?？筛鶕?jù)已知的隧洞斷面特性參數(shù)及水流條件(糙率n、底坡i、斷面參數(shù)H和流量Q等)由式(9)求得ηn，而式(8)兩個等號中間關(guān)于α的表達式包含對數(shù)、積分和指數(shù)運算，因此，仍然無法根據(jù)正常水深模數(shù)直接求得與其相應的充滿度解析解。

2.2 正常水深的簡化計算

為解決充滿度解析解求解問題，獲得標準型異形橢圓斷面正常水深的直接計算公式，采用函數(shù)替代法，將求解正常水深的問題轉(zhuǎn)化為尋求量綱一參數(shù)之間的近似函數(shù)關(guān)系。首先，通過預先給定取值范圍內(nèi)的一系列α值，計算得到對應ηn的理論值，點繪α-ηn曲線；其次，擬合該曲線得到α與ηn之間的高精度顯函數(shù)表達式αn=f(ηn)作為替代函數(shù)?？蓪⑺矶磾嗝嫣匦詤?shù)及水流條件代入式(9)求得ηn值，再將ηn代入其替代函數(shù)計算正常水深相應的充滿度αn，就可以由hn=αnH計算正常水深hn。

在0≤α≤1.000范圍內(nèi)，以0.001為步長取1 000個計算點，代入式(8)采用MATLAB計算兩個等號中間表達式值，即為與其對應正常水深模數(shù)ηn的理論值，并以α為縱坐標，ηn為橫坐標，點繪其理論值關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 標準型異形橢圓斷面正常水深模數(shù)變化曲線

由圖2和計算數(shù)據(jù)可知，當0≤α≤0.935時，標準型異形橢圓斷面的正常水深模數(shù)ηn隨充滿度α的增大單調(diào)增大；當0≤α<0.368時，曲線斜率逐漸減小；當0.368≤α<0.935時，曲線斜率逐漸增大；當α=0.935時，正常水深模數(shù)達到極大值0.531 211。當α進一步增大，正常水深模數(shù)由極大值逐漸減小到滿管流相應的理論值。

根據(jù)SL 279—2016《水工隧洞設(shè)計規(guī)范》的規(guī)定：在恒定流情況下，當通氣條件良好時，洞內(nèi)水面線以上空間不宜小于隧洞斷面面積的15%。因此，滿足規(guī)范要求的過水斷面應符合以下條件：

A/A1≤0.85

(10)

將式(4)代入式(10)整理得到：

(11)

由于式(11)無法直接求解α值，故采用試算法。當A/A1=0.85時，試算得到α=0.766 711，即該值為符合規(guī)范要求的充滿度上限。

對擬合區(qū)間適當外延，取α上限為0.800，根據(jù)工程經(jīng)驗取α下限為0.030，即充滿度的擬合范圍確定為0.030≤α≤0.800，對應的0.014 455≤A/A1≤0.880 370，一般能夠滿足無壓隧洞的應用要求。如遇到在給定區(qū)間之外的情況，可根據(jù)式(8)采用MATLAB計算確定。

對0.030≤α≤0.800范圍內(nèi)的充滿度α與正常水深模數(shù)ηn采用最小二乘法，通過MATLAB編程擬合。如果采用非分段函數(shù)的統(tǒng)一表達方式，會導致公式的形式非常復雜，涉及參數(shù)較多[13-14]。因此，根據(jù)圖2正常水深模數(shù)曲線的變化特征，選擇標準型異形橢圓斷面最大寬度位置高度(zw=H/e)相應的充滿度α=0.368作為擬合區(qū)間分段點。通過多次擬合與優(yōu)化分析，提出分兩段擬合的正常水深模數(shù)直接計算公式為

(12)

式中:條件①為0.030≤α<0.368，0.001 430≤ηn<0.178 512；條件②為0.368≤α≤0.800,0.178 512≤ηn≤0.494 646。

由實際明渠參數(shù)及水流條件求得正常水深模數(shù)ηn，判斷其所在區(qū)間，選用相應區(qū)間內(nèi)的充滿度αn計算公式，求得正常水深對應的αn，則標準型異形橢圓斷面的正常水深hn=αnH。

3 標準型異形橢圓斷面的臨界水深

3.1 明渠臨界流基本方程

在明渠流量、斷面形狀和尺寸一定的情況下，急流與緩流這兩種流態(tài)分界狀態(tài)的斷面單位能量最小，稱為臨界流，與此相應的臨界水深是判別明渠流態(tài)的標準之一。因此，臨界水深的計算是無壓隧洞設(shè)計的又一重要參數(shù)。明渠臨界流基本方程[12]為

(13)

式中：a為動能修正系數(shù)，一般取1.0；g為重力加速度，取9.81 m/s2；Acr為臨界水深對應的過水斷面面積，m2；Bcr為臨界水深對應的水面寬度，m。

由式(13)可知，臨界水深僅與明渠流量、斷面形狀和尺寸有關(guān)，而與底坡i及糙率n無關(guān)。將式(3)和式(4)代入式(13)中，整理可得到關(guān)于標準型異形橢圓斷面臨界水深的隱函數(shù)表達式為

(14)

式中兩個等號中間表達式為充滿度或臨界水深的隱含關(guān)系式。將式(14)右邊的表達式設(shè)為標準型異形橢圓斷面的臨界水深模數(shù)ηcr：

(15)

由式(14)可知，臨界水深模數(shù)ηcr與充滿度α之間也存在隱函數(shù)關(guān)系ηcr=f(α)?？筛鶕?jù)已知的隧洞斷面特性參數(shù)及水流條件(斷面參數(shù)H和流量Q等)由式(15)求得ηcr，而式(14)兩個等號中間關(guān)于α的表達式包含對數(shù)、積分和指數(shù)運算，因此，仍然無法根據(jù)臨界水深模數(shù)直接求得與其相應的充滿度解析解。

3.2 臨界水深的簡化計算

臨界水深的簡化計算采用與正常水深相同的方法。在0≤α≤1.000范圍內(nèi)，以0.001為步長取1 000個計算點，代入式(14)采用MATLAB計算兩個等號中間表達式值，即為與其對應臨界水深模數(shù)ηcr的理論值，并以α為縱坐標，ηcr為橫坐標，點繪其理論值關(guān)系曲線，見圖3。

圖3 標準型異形橢圓斷面臨界水深模數(shù)變化曲線

由圖3和計算數(shù)據(jù)可知，當0≤α≤1.000時，標準型異形橢圓斷面的臨界水深模數(shù)ηcr隨充滿度α的增大單調(diào)增大；當0≤α<0.368時，曲線斜率較大，ηcr增長緩慢；當0.368≤α<0.980時，曲線斜率逐漸減小，ηcr的增長隨之加快；當0.980≤α<1.000時，ηcr曲線以水平線為漸近線，ηcr迅速增長，當α=1.000滿管流時ηcr的理論值趨向于無窮大。

標準型異形橢圓斷面臨界水深直接計算公式采用與正常水深直接計算公式相同的充滿度分段擬合區(qū)間。通過MATLAB采用最小二乘法編程多次擬合與優(yōu)化分析，提出分兩段擬合的臨界水深模數(shù)直接計算公式為

(16)

式中:條件①為0.030≤α<0.368， 0.000 003≤ηcr<0.030 254;條件②為0.368≤α≤0.800, 0.030 254≤ηcr≤0.492 807。

由實際明渠參數(shù)及水流條件求得臨界水深模數(shù)ηcr，判斷其所在區(qū)間，選用相應區(qū)間內(nèi)的充滿度αcr計算公式，求得臨界水深對應的充滿度αcr，則標準型異形橢圓斷面的臨界水深hcr=αcrH。

4 直接計算公式評價

正常水深和臨界水深直接計算公式的精度評價采用相對誤差分析法，相對誤差δi計算公式為

(17)

式中：α為充滿度給定值；αi為正常水深或臨界水深對應的充滿度簡化計算值，在正常水深計算時，下標i=n，在臨界水深計算時，下標i=cr。

由式(12)(16)計算的量綱一正常水深與臨界水深的相對誤差分布如圖4所示。

圖4 正常水深和臨界水深計算公式相對誤差分布

由圖4和計算數(shù)據(jù)可知，當0.030≤α<0.368時，正常水深直接計算公式的相對誤差絕對值平均為0.034%，最大為0.329%；當0.368≤α≤0.800時，相對誤差絕對值平均為0.103%，最大為0.362%，表明正常水深直接計算公式具有較高的精度。

由圖4和計算數(shù)據(jù)可知，當0.030≤α<0.368時，臨界水深直接計算公式的相對誤差絕對值平均為0.045%，最大為0.288%；當0.368≤α≤0.800時，相對誤差絕對值平均為0.030%，最大為0.139%，表明臨界水深直接計算公式具有較高的精度。

5 算 例

某無壓隧洞擬采用標準型異形橢圓斷面，已知隧洞斷面最大高度H=4.5 m，底坡i=0.004，糙率n=0.014，分別計算流量Q=15 m3/s和Q=48 m3/s時的正常水深hn和臨界水深hcr。

5.1 正常水深計算

a. 當Q=15 m3/s時，由式(9)可得ηn=0.095 494<0.178 512，采用式(12)計算得αn=0.254 523，進而求得hn=1.145 354 m。經(jīng)試算相應的正常水深理論值為1.145 234 m，相對誤差為0.010%。

b. 當Q=48 m3/s時，由式(9)可得ηn=0.305 581>0.178 512，采用式(12)計算得αn=0.522 893，進而求得hn=2.353 019 m。經(jīng)試算相應的正常水深理論值為2.353 613 m，相對誤差為-0.025%。

5.2 臨界水深計算

a. 當Q=15 m3/s時，由式(15)可得ηcr=0.012 429<0.030 254，采用式(16)計算得αcr=0.286 599，進而求得hcr=1.289 696 m。經(jīng)試算相應的臨界水深理論值為1.289 982 m，相對誤差為-0.022%。

b. 當Q=48 m3/s時，由式(15)可得ηcr=0.127 277>0.030 254，采用式(16)計算得αcr=0.553 566，進而求得hcr=2.491 047 m。經(jīng)試算相應的臨界水深理論值為2.489 988 m，相對誤差為0.043%。

在已知條件下，由臨界水深均大于正常水深判斷，該標準型異形橢圓斷面無壓隧洞在通過流量15 m3/s和48 m3/s時均發(fā)生急流狀態(tài)的均勻流動。

6 結(jié) 論

a. 歸納了標準型異形橢圓斷面的水力要素計算公式，推導了正常水深和臨界水深方程，引入正常水深模數(shù)ηn和臨界水深模數(shù)ηcr，給出了相應的隱函數(shù)方程。

b. 采用函數(shù)替代法，在充滿度0.030≤α≤0.800范圍內(nèi)，以α=0.368為分界點，對α與ηn、α與ηcr分別進行擬合和優(yōu)化分析，獲得了分段直接計算公式。

c. 分析表明，標準型異形橢圓斷面正常水深和臨界水深直接計算公式相對誤差的絕對值最大分別為0.362%和0.288%，均能達到較高的精度。