單位球Bn上改進的Roper-Suffridge算子

胡春英, 王建飛

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

1 預(yù)備知識

設(shè)f:Bn→Cn是全純映射，若f滿足f(0)=0，Df(0)=In，則稱f是Bn上的正規(guī)化全純映射,這里Df(z)表示f在點z處的Jacbian矩陣，In表示n階單位矩陣；若f的逆映射f-1存在，且f-1在f(Bn)上全純，則稱f是Bn上的雙全純映射；若對每點z∈Bn，Df(z)都是非奇異的，則稱f是Bn上的局部全純映射.

若對所有z∈Cn和λ∈C，多項式Pk:Cn→C都滿足Pk(λz)=λkPk(z)(k∈N)，則稱Pk為Cn上的k次齊次多項式.Pk的范數(shù)為‖Pk‖=sup{|Pk(z)|:z∈?Bn}，表示Pk在z點處的梯度，容易看出，Pk(z)z=kPk(z)，且

Roper等[1]于1995年提出的Roper-Suffridge算子為

文獻[1-2]分別證明了Roper-Suffridge算子有如下3個性質(zhì)：

1) 若f是U上的正規(guī)化雙全純凸函數(shù)，則F(z)是Bn上的正規(guī)化雙全純凸映射；

2) 若f是U上的正規(guī)化雙全純星形函數(shù)，則F(z)是Bn上的正規(guī)化雙全純星形映射；

3) 若f是U上的正規(guī)化雙全純Bloch函數(shù)，則F(z)是Bn上的正規(guī)化雙全純Bloch映射.

由于對Bn上具體凸映射、星形映射及Bloch映射等雙全純映射的研究甚少，而用Roper-Suffridge算子可以構(gòu)造出許多這樣的映射，Liu[3]證明Roper-Suffridge算子保持α次的星形性，文獻[4-5]用不同的方法證明Roper-Suffridge算子保持α次的殆星性.2005年，Muir[6]將Roper-Suffridge算子改進為

殆星映射是星形映射的子族，近些年,有很多關(guān)于殆星映射的相關(guān)研究[4-17].文中將研究由下面定義所給出的一類殆星映射.

則稱f(z)是Bn上的β型復(fù)數(shù)階λ次殆星映射.

定義2[14]設(shè)f(z)是單位圓盤U上的全純函數(shù)，若

(1)

則稱f(z)是U上的Bloch函數(shù).

定義3[15]設(shè)f:Bn→Cn是全純映射，若

(2)

則稱f(z)是Bn上的Bloch映射.

2 相關(guān)引理

引理1[14]設(shè)φ(z)是單位圓盤U上的全純函數(shù)，則Re(φ(z))≥0的充要條件為存在一個定義在[0,2π]上的非單減函數(shù)μ(t)，使得μ(2π)-μ(0)=Re(φ(0))且

引理2設(shè)φ(z)是單位圓盤U上的全純函數(shù)，若Re(φ(z))≥0，則

證明:若Re(φ(z))≥0，由引理1，有

引理3[16]設(shè)f(z)是單位圓盤U上的正規(guī)化雙全純函數(shù)，常數(shù)ν≥2，則

3 保持復(fù)數(shù)階殆星性的改進的Roper-Suffridge算子

證明：由定義1，定理1的證明只需證明

(3)

對所有的z∈Bn成立即可.

(4)

對所有滿足‖z‖=1且z0≠0的點成立.

令z=ξw，其中，w∈Cn，‖w‖=1，ξ∈C，|ξ|=1.將z代入式(4)，得

(5)

因為不等式左邊是|ξ|≤1上的調(diào)和函數(shù)，由調(diào)和函數(shù)的最小模原理，式(5)在|ξ|≤1上也成立.因此，只需驗證式(4)對所有滿足z∈?Bn且z0≠0的點成立即可.

(6)

通過計算，可得

因此有

再由‖z‖2=|z1|2+‖z0‖2=1，得

(7)

(8)

將式(8)代入式(7)，得

從而有

因為f(z1)是U上的正規(guī)化雙全純β型復(fù)數(shù)階λ次殆星函數(shù)，所以Re(φ(z1))≥0.由引理2，可得

從而有

(11)

特殊地，當(dāng)β=0時，得到下面推論1.

4 保持Bloch性質(zhì)的改進的Roper-Suffridge算子

證明：因為f是單位圓盤U上的正規(guī)化局部雙全純函數(shù)，由式(6)，可得

(13)

因為f是U上的Bloch函數(shù)，由定義3可知，必存在一個常數(shù)M≥1，使得

(1-|z1|2)|f′(z1)|≤M，z1∈U.

(14)

從而有

(15)

因此,當(dāng)k≥2時，有

(16)

由引理3，對任意z1∈U，有

從而有

(17)

再由式(15)，(17)，得

(18)

因為

(19)

當(dāng)Pk≡0時，定理2就是文獻[2]中的定理2.6.