地方高校近世代數(shù)本碩一體化教材建設(shè)研究

謝祥云

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）

代數(shù)學(xué)發(fā)展經(jīng)歷了文字?jǐn)⑹鲭A段、簡(jiǎn)化文字階段、符號(hào)代數(shù)階段與結(jié)構(gòu)代數(shù)四個(gè)階段. 眾所周知，1830年左右，在挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（ABEL N H，1802—1829）工作的基礎(chǔ)上，法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華（GALOIS E，1811—1832）在對(duì)代數(shù)方程根式解的研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)代數(shù)方程所有根在方程中的對(duì)稱(chēng)性，他在刻畫(huà)這種對(duì)稱(chēng)性的變換集合和方程的根與系數(shù)構(gòu)成的數(shù)域的擴(kuò)張之間建立起了某種關(guān)聯(lián)，徹底解決了5次及5次以上方程的根不能用它們的系數(shù)通過(guò)加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算表達(dá)的難題. 伽羅華的工作沉寂了半個(gè)多世紀(jì)以后，經(jīng)愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓（HAMIITON W R，1805—1865）、高斯的學(xué)生庫(kù)默爾（KUMMER E，1810—1893）以及德國(guó)數(shù)學(xué)家諾特（NOETHER A E，1882—1935）為代表的一大批數(shù)學(xué)家持續(xù)推動(dòng)，代數(shù)學(xué)發(fā)展成現(xiàn)代以群論為基礎(chǔ)的抽象代數(shù)學(xué)，從此步入結(jié)構(gòu)代數(shù)階段. 抽象代數(shù)學(xué)從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在只有一百多年的歷史，故稱(chēng)近世代數(shù)學(xué). 我們從這段歷史可以看出抽象代數(shù)學(xué)知識(shí)體系的產(chǎn)生從一開(kāi)始就不是空中樓閣，而是為了解決數(shù)學(xué)自身問(wèn)題才發(fā)展起來(lái)的，但是在這一百多年的發(fā)展中，人們發(fā)現(xiàn)抽象代數(shù)學(xué)已經(jīng)和其他學(xué)科的發(fā)展密不可分了[1-8]. 一百多年來(lái)，伽羅華思想被逐步抽象化、結(jié)構(gòu)化以及多方位延伸，產(chǎn)生了很多抽象代數(shù)分支，如環(huán)、域、模和代數(shù)等. 近世代數(shù)學(xué)的高度抽象性決定了它不是一門(mén)容易學(xué)的科目，只能在大學(xué)高年級(jí)開(kāi)設(shè). 近世代數(shù)學(xué)的重要性決定了這門(mén)課程在大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（特別是師范類(lèi)專(zhuān)業(yè)）作為必修課開(kāi)設(shè).

本文在分析我國(guó)現(xiàn)階段近世代數(shù)課程教學(xué)的基礎(chǔ)上，就地方高校近世代數(shù)本碩一體化教材建設(shè)談?wù)勔恍┛捶?

1 地方高校近世代數(shù)課程的教學(xué)現(xiàn)狀

根據(jù)百度數(shù)據(jù)，截至 2019年 6月 15日，全國(guó)高等學(xué)校共計(jì)2 956所，其中公辦本科院校 817所，民辦本科院校 417所. 除軍事院校外，根據(jù)教育部大的分類(lèi)，這些本科高校分為教育部直屬高校、各部委與地方共建的高校和地方高校. 同為本科高校，高校之間辦學(xué)水平和辦學(xué)質(zhì)量差異很大，這給我們組織近世代數(shù)課程教學(xué)提出了很大挑戰(zhàn)：如何因材施教？如何選擇適合自己學(xué)生的教材或教學(xué)參考書(shū)？

要完成好大學(xué)高年級(jí)專(zhuān)業(yè)課教學(xué)與研究生基礎(chǔ)課教學(xué)，需要從當(dāng)前教師隊(duì)伍、生源素質(zhì)、人才培養(yǎng)方案、教材建設(shè)等方面綜合考慮.

1）教師隊(duì)伍現(xiàn)狀與團(tuán)隊(duì)建設(shè). 隨著高等教育的快速發(fā)展，盡管師資隊(duì)伍現(xiàn)狀和 1990年前已不能同日而語(yǔ)，但是高校代數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)在新形勢(shì)下仍然非常艱巨. 目前，有數(shù)學(xué)一級(jí)博士點(diǎn)高校的代數(shù)學(xué)教學(xué)基本有一個(gè)較強(qiáng)的教學(xué)團(tuán)隊(duì)；有數(shù)學(xué)一級(jí)碩士點(diǎn)的高?；居卸?jí)學(xué)科代數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科博士或碩士學(xué)位教師若干；一般本科高校絕大多數(shù)都有具有代數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士研究生學(xué)歷的教師. 但是，要改變沒(méi)有從事過(guò)近世代數(shù)學(xué)術(shù)訓(xùn)練過(guò)程就直接從事近世代數(shù)教學(xué)的現(xiàn)狀需要一個(gè)過(guò)程，要形成一個(gè)代數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)更有諸多困難.

2）生源質(zhì)量和學(xué)生就業(yè). 地方本科高校數(shù)學(xué)類(lèi)學(xué)生一般高考成績(jī)排位在前10%到前50%，有碩士點(diǎn)的高校在前20%. 在大眾教育的今天，地方高校學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)總體在下降，抽象思維能力偏弱.在地方高校，能開(kāi)設(shè)近世代數(shù)的本科專(zhuān)業(yè)只有數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)且絕大多數(shù)在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專(zhuān)業(yè)，這類(lèi)學(xué)生的畢業(yè)去向主要是初級(jí)中學(xué)和教育培訓(xùn)機(jī)構(gòu). 數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)型碩士畢業(yè)生，15%左右繼續(xù)攻讀博士學(xué)位，70%的到中學(xué)任教，剩下15%到職業(yè)技術(shù)學(xué)院或其他行業(yè).

3）人才培養(yǎng)方案的設(shè)置和教學(xué)安排. 一般地方高校數(shù)學(xué)學(xué)院（包括數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院、大數(shù)據(jù)學(xué)院、數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院、理學(xué)院等）均開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)以及和數(shù)學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)，如統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)、數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)、精算學(xué)專(zhuān)業(yè)、金融學(xué)專(zhuān)業(yè)等. 在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)中，離散數(shù)學(xué)類(lèi)課程一般開(kāi)設(shè)高等代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、近世代數(shù)，如果是師范類(lèi)專(zhuān)業(yè)，離散數(shù)學(xué)和組合數(shù)學(xué)開(kāi)設(shè)一門(mén)居多，都開(kāi)的不多，另外還開(kāi)設(shè)初等數(shù)論. 在新一輪教學(xué)改革中，高校的畢業(yè)學(xué)分要求總體都在下降，同時(shí)加大了實(shí)踐教學(xué)的學(xué)分比重，一般畢業(yè)學(xué)分在 155～175之間. 一方面新知識(shí)不斷出現(xiàn)，加開(kāi)了很多新的課程，例如人工智能通識(shí)課程等；另一方面思想政治課程、德育課程、通識(shí)教育課程、體育課程等不能壓縮，怎么辦？只有壓縮專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)時(shí)，于是，近世代數(shù)由每周4課時(shí)減為3課時(shí). 這使得教學(xué)計(jì)劃內(nèi)的課內(nèi)教學(xué)量與學(xué)時(shí)不夠的矛盾愈來(lái)愈突出，對(duì)原計(jì)劃做刪減和優(yōu)化是必然的：大部分高校改為3個(gè)學(xué)分，48～54學(xué)時(shí)不等. 值得注意的是，以前高校一個(gè)學(xué)分是18個(gè)學(xué)時(shí)，每個(gè)學(xué)時(shí)一般50 min，現(xiàn)在很多高校一個(gè)學(xué)分16學(xué)時(shí)，每個(gè)學(xué)時(shí)在40～45 min 不等.

4）教材選用情況. 新中國(guó)成立后，我國(guó)高等教育體系、人才培養(yǎng)方案以及相關(guān)教材主要來(lái)自原蘇聯(lián). 1977年恢復(fù)高考以后，老一輩代數(shù)學(xué)家們也出版了一批在中國(guó)影響深遠(yuǎn)的教材，例如丁石孫、張禾瑞、謝邦杰、吳品三等編著的抽象代數(shù)教材[7,9-11]. 我們也欣喜地看到 2000年后一批代數(shù)學(xué)家（如劉紹學(xué)、石生明、馮克勤、郭聿琦、丘維聲、胡冠章、楊子胥等）編著的近世代數(shù)教材[3-6,12-14].同時(shí)也有一批外文原版（例如VAN DER WAERDEN B L，HUNGERFORD T W，JACOBSON N，ARTIN M，SERGER L等編著的）代數(shù)學(xué)教材[1-2,15-18]. 這些教材對(duì)我國(guó)本科生和研究生代數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

中國(guó)高等教育從精英化走向大眾化以后，學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)差異性的加大也導(dǎo)致各個(gè)學(xué)院教學(xué)要求差異明顯，這點(diǎn)在地方高校更為突出. 對(duì)此，很多學(xué)校根據(jù)各自特點(diǎn)和學(xué)生素質(zhì)打造出一批各具地方特色的近世代數(shù)教材，也有很多學(xué)者對(duì)近世代數(shù)教材建設(shè)提出了很多非常好的思路.

筆者上世紀(jì)80年代初上大學(xué)時(shí)近世代數(shù)課程使用張禾瑞先生編著的教材[7]（4學(xué)分），72學(xué)時(shí)勉強(qiáng)學(xué)完. 1987年后，筆者在地方高校教授近世代數(shù)近二十年均是3學(xué)分課程，學(xué)時(shí)48～54不等，再也無(wú)法將張禾瑞先生的教材講完. 數(shù)學(xué)一級(jí)碩士點(diǎn)下的各專(zhuān)業(yè)新生第一學(xué)期基本都要上三門(mén)公共基礎(chǔ)課：代數(shù)學(xué)、實(shí)分析和拓?fù)鋵W(xué)，上世紀(jì) 80年代代數(shù)學(xué)使用 JACOBSON[1]編著的《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（I，II）》居多，后來(lái)多使用 HUNGERFORD 編著的《代數(shù)學(xué)》（馮克勤譯）[17]. 現(xiàn)在我們實(shí)際教學(xué)現(xiàn)狀是，新入學(xué)碩士生來(lái)自不同學(xué)校和數(shù)學(xué)學(xué)科下的不同專(zhuān)業(yè)，還有跨大類(lèi)招收的研究生，大部分學(xué)生在大學(xué)里沒(méi)有學(xué)過(guò)拓?fù)鋵W(xué)，實(shí)變函數(shù)很多學(xué)校是選修課，泛函分析很少開(kāi)設(shè)，近世代數(shù)課程大部分高校都開(kāi)設(shè)了，基本上使用的是張禾瑞先生的教材，但仍然還有四分之一左右的非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生大學(xué)沒(méi)有學(xué)過(guò)抽象代數(shù)，這給我們開(kāi)設(shè)這三門(mén)基礎(chǔ)課帶來(lái)了挑戰(zhàn).

2 近世代數(shù)本碩一體化教材建設(shè)的思考

我們面臨的一個(gè)重要問(wèn)題是如何做好大學(xué)階段與研究生階段知識(shí)的銜接. 不可否認(rèn)，張禾瑞先生編寫(xiě)的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》影響深遠(yuǎn)，持續(xù)了近60年. 這本教材很薄不會(huì)“嚇著”學(xué)生，另一個(gè)很重要的特點(diǎn)本書(shū)寫(xiě)于1952年，假定讀者只有高中基礎(chǔ)；1978年的修訂版假定讀者具有高等代數(shù)基礎(chǔ).但實(shí)際教學(xué)體會(huì)是，本書(shū)雖薄但教學(xué)內(nèi)容豐富，全部?jī)?nèi)容沒(méi)有72學(xué)時(shí)講不完. 同時(shí)，本書(shū)也有兩個(gè)方面值得探討：一是為了教材容易懂，寫(xiě)作上用了大量非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，表述和現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言差異很大，使得在實(shí)際教學(xué)中僅選取教材的內(nèi)容，而不去使用教材語(yǔ)言；二是本書(shū)強(qiáng)調(diào)了代數(shù)的抽象性，沒(méi)有知識(shí)產(chǎn)生的背景，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不知道這門(mén)學(xué)問(wèn)為什么出現(xiàn)？學(xué)了有什么用？受張禾瑞先生編著的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》和劉紹學(xué)先生編著的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》這兩本教材的影響和啟發(fā)，結(jié)合筆者承擔(dān)的廣東省教育廳關(guān)于研究生代數(shù)學(xué)教材建設(shè)的任務(wù)，以及地方高校本科與研究生教學(xué)的實(shí)際，就地方高校近世代數(shù)課程本碩一體化教材建設(shè)思考如下：

1）地方高校本碩一體化教材的定位與特色. 要打造一本具有地方高校廣譜性的教材，我們需要關(guān)注地方高校的實(shí)情：一是教師隊(duì)伍，二是本碩生源的狀況以及畢業(yè)后就業(yè)的實(shí)際，三是人才培養(yǎng)方案中該門(mén)課的學(xué)時(shí)安排. 基于此，本教材的定位：①教學(xué)對(duì)象是地方高校數(shù)學(xué)類(lèi)（計(jì)算機(jī)科學(xué)類(lèi)）本科生和碩士研究生；②作為基礎(chǔ)教材，教學(xué)改革步伐不能太大，教學(xué)內(nèi)容上依然需要強(qiáng)調(diào)知識(shí)體系的完整性，關(guān)注從基礎(chǔ)知識(shí)到研究生代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)過(guò)渡；③用有限的教學(xué)學(xué)時(shí)在傳統(tǒng)與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用之間找到一種平衡，即針對(duì)學(xué)生未來(lái)就業(yè)需要講授近世代數(shù)學(xué)從何而來(lái)，能解決什么樣的問(wèn)題；④在每個(gè)章節(jié)后面安排一定的拓展閱讀材料和必要的評(píng)注，以擴(kuò)大讀者視野，激發(fā)其學(xué)習(xí)近世代數(shù)學(xué)的興趣；⑤這一本教材能實(shí)現(xiàn)研究生階段沒(méi)有基礎(chǔ)或基礎(chǔ)較弱的同學(xué)能從第一部分統(tǒng)籌學(xué)習(xí)，本科生基礎(chǔ)比較好的可以直接選學(xué)第二部分相關(guān)內(nèi)容.

2）處理好近世代數(shù)的抽象性與應(yīng)用性關(guān)系. 這里，筆者引用美國(guó)學(xué)者比德維爾的一句話來(lái)說(shuō)明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種感受，他說(shuō)：“課堂中，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)常常會(huì)將自己置身于一座孤島之中，每天一次去島上領(lǐng)略數(shù)學(xué)，深入研究那些純粹、潔凈、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、脈絡(luò)清晰，毫無(wú)雜質(zhì)的角落. 我們認(rèn)為數(shù)學(xué)是封閉的、呆板的、毫無(wú)情感的，且一切已經(jīng)發(fā)現(xiàn)好了的. 它完全存在于課本或教師的頭腦中，只需去挖掘與吸收”[25]. 毫無(wú)疑問(wèn)對(duì)學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，需要有這樣的數(shù)學(xué)感受，感受數(shù)學(xué)純粹的美. 什么是抽象代數(shù)學(xué)？簡(jiǎn)單地說(shuō)就是在給定的集合上定義一些運(yùn)算，給定每個(gè)運(yùn)算的運(yùn)算律和各個(gè)運(yùn)算之間的關(guān)系，將他們和這個(gè)承載集綁定在一起構(gòu)成系統(tǒng)（我們稱(chēng)之為代數(shù)系統(tǒng)），代數(shù)學(xué)就是基于數(shù)學(xué)、物理或其他科學(xué)理論實(shí)際研究各類(lèi)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)、分類(lèi). 我們現(xiàn)有的教材中，就有3種不同的處理方式：一是揭示代數(shù)結(jié)構(gòu)純粹的數(shù)學(xué)關(guān)系，追求數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美[1,9-10,13-14,15-17]；二是在講授抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)注意關(guān)注這套理論體系在數(shù)學(xué)學(xué)科本身的實(shí)際應(yīng)用，給學(xué)生講授一些代數(shù)理論體系的來(lái)源和應(yīng)用[3-5,12]；三是更加關(guān)注抽象代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以應(yīng)用為落腳點(diǎn)編著教材[6].2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中，首次將“對(duì)稱(chēng)與群”作為高中數(shù)學(xué)課程選修系列3、4的專(zhuān)題[26]，所以在規(guī)劃本教材時(shí)，也需適當(dāng)關(guān)注近世代數(shù)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

3）教材教學(xué)內(nèi)容的取舍和編寫(xiě)體系. 本教材分兩個(gè)部分（見(jiàn)附圖1），第一部分48學(xué)時(shí)，3學(xué)分；第二部分也是48學(xué)時(shí)，3學(xué)分；第三部分選學(xué)，有能力的同學(xué)可以自學(xué)掌握. 將代數(shù)學(xué)的基本準(zhǔn)備知識(shí)分兩部分講授，如集合映射、整數(shù)的整除理論、集合的等價(jià)關(guān)系與劃分等容易接受的部分放在第一部分，對(duì)集合的直積、直和以及偏序集和Zorn引理這些有一定深度的放在第二部分講授.

群論和環(huán)論均分為兩部分講授，第一部分講授基本概念；第二部分講授具體群和環(huán)以及專(zhuān)門(mén)化的內(nèi)容. 例如，我們將群在集合上的作用、有限群的構(gòu)造基礎(chǔ)、有限生成的交換群與自由群等均納入群論第二部分講授. 環(huán)論第二部分和模論基礎(chǔ)一起講授，因?yàn)槟Ｊ黔h(huán)的表示，放在一起講授有一定的優(yōu)勢(shì). 值得注意的是，將整環(huán)上多項(xiàng)式理論或唯一分解理論放在第二部分講授不是因?yàn)檫@部分內(nèi)容較難，學(xué)生不容易掌握才后推的，而是基于以下兩個(gè)方面的原因：一是本科階段的學(xué)時(shí)，多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，48學(xué)時(shí)無(wú)法完整講授環(huán)上的多項(xiàng)式理論，與其打斷不如整體后移；二是出于近世代數(shù)本科教學(xué)為師范生到中學(xué)教學(xué)服務(wù)的考慮.

本教材在編寫(xiě)上注意三個(gè)背景和應(yīng)用環(huán)節(jié)：首先在引入群時(shí)避免從代數(shù)系統(tǒng)出發(fā)，而是從平面變換和運(yùn)動(dòng)以及對(duì)稱(chēng)開(kāi)始，希望學(xué)生認(rèn)識(shí)到群論不是數(shù)學(xué)家們杜撰出來(lái)的，它來(lái)源于實(shí)際，可以解決實(shí)際問(wèn)題. 需要說(shuō)明的是關(guān)于對(duì)稱(chēng)與群在第一部分沒(méi)有辦法講授很深，例如如果學(xué)生問(wèn)群是怎么樣刻畫(huà)對(duì)稱(chēng)的？圓似乎比正四邊形對(duì)稱(chēng)，是因?yàn)閳A的對(duì)稱(chēng)群是無(wú)限群而正四邊形的對(duì)稱(chēng)群是八階群?jiǎn)?？回答這些問(wèn)題是不容易的（有專(zhuān)著講授對(duì)稱(chēng)）. 其次尺規(guī)作圖問(wèn)題和中國(guó)剩余定理是本書(shū)安排的另外兩個(gè)近世代數(shù)的應(yīng)用案例. 尺規(guī)作圖問(wèn)題可以有兩種講授方式，一是從平方根數(shù)、多層平方根數(shù)出發(fā)，接近伽羅華原始的思想；另一種是從域擴(kuò)張出發(fā). 本書(shū)采用后一種處理方式，在第一部分第四章講授域擴(kuò)張，域的代數(shù)擴(kuò)張后給出尺規(guī)作圖問(wèn)題討論，域論的其余部分內(nèi)容放到本書(shū)的第二部分. 第二部分在環(huán)與模章節(jié)中安排了一節(jié)環(huán)的根的基本內(nèi)容，一方面為了講授中國(guó)剩余定理的需要；另一方面也是為了說(shuō)明交換環(huán)的素根定理在格論、序半群、超結(jié)構(gòu)理論中均有應(yīng)用.

本書(shū)第三部分安排了三個(gè)方面的選學(xué)內(nèi)容：格論和布爾代數(shù)初步；序群與序半群以及超結(jié)構(gòu)理論，這些均和理論計(jì)算機(jī)有關(guān)，僅講授一些知識(shí)點(diǎn)，沒(méi)有全面展開(kāi)（也許是筆者更熟悉這些領(lǐng)域，不是它們更重要）. 對(duì)于其他教材中很好的應(yīng)用案例，例如有限域在編碼的應(yīng)用等，由于篇幅和學(xué)時(shí)的關(guān)系，本書(shū)就沒(méi)有再提及了.

3 如何使用該教材

本教材作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高年級(jí)本科生和一年級(jí)碩士研究生的基礎(chǔ)教材，希望能對(duì)這兩個(gè)層次的學(xué)生均有幫助. 這里的第一部分和第二部分不是嚴(yán)格的劃分，基礎(chǔ)好的本科生可以將兩部分的基礎(chǔ)知識(shí)合并學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)了第三章后可以接著學(xué)習(xí)第七章，再回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí)第四章. 也可以將本書(shū)第一章、第二章和第十章的第一節(jié)作為學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)代數(shù)系統(tǒng)部分的參考教材. 對(duì)于研究生階段的同學(xué)，如果入學(xué)前沒(méi)有學(xué)過(guò)近世代數(shù)，當(dāng)然必須從第一章開(kāi)始系統(tǒng)學(xué)習(xí)；如果本科學(xué)過(guò)近世代數(shù)課程，可以將第四章作為銜接開(kāi)始學(xué)習(xí)，第七章根據(jù)情況選擇學(xué)習(xí).