利用可變參數(shù)和二階回歸方法建立海南省相思樹立木材積模型

陳 怡

（國家林業(yè)和草原局 中南調(diào)查規(guī)劃設(shè)計院，湖南 長沙 410014）

森林蓄積量指一定森林面積上存在著的林木樹干部分的總材積，它是反映一個國家或地區(qū)森林資源總量、森林資源豐富程度和森林生態(tài)環(huán)境優(yōu)劣的重要指標之一。立木材積表作為森林經(jīng)營管理中最重要也是最常用的林業(yè)數(shù)表之一，是森林蓄積量的計量依據(jù)，同時也是森林蓄積量估測的主要誤差來源之一。

一元與二元立木材積表是制定最佳森林經(jīng)營措施的基本工具之一，也是長期以來林業(yè)工作者開展各項森林經(jīng)營活動的度量和標尺，在監(jiān)測森林資源中發(fā)揮著重要的作用。在森林資源調(diào)查監(jiān)測評價中，通常采用以胸徑和樹高為自變量的一元、二元立木材積模型對森林蓄積進行計量。在生產(chǎn)中以山本材積式模型應(yīng)用最為常見[1,2]，該模型能較好地反映干形隨胸徑（D）和樹高（H）變化的規(guī)律，在生產(chǎn)實踐中普遍認為適用性好，精度較高。有學者以山本材積式為基礎(chǔ)，對提高模型擬合效果與適用性進行了探索研究，如駱期邦等[2]、曾偉生等[3-4]等構(gòu)建的可變參數(shù)動態(tài)模型和綜合考慮材積與生物量的相容性建立了聯(lián)立方程組模型，陳振雄等[6-7]分別采用分段建模和多元混合效應(yīng)模型方法建立了橡膠樹、加勒比松立木材積模型，上述改進模型與常規(guī)山本材積式相比，擬合效果更好，模型精度更高。相思樹是海南省廣為種植的樹種之一，主要品系為大葉相思Acacia auriculiformis、馬占相思Acacia mangium、粗果相思Acacia crassicarpa等，研究建立其一元、二元立木材積模型，以期為科學計量評價森林資源、完善海南省森林資源監(jiān)測體系等提供重要依據(jù)。

1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)來源于海南省常用數(shù)表編制項目[8]，共實測樣木150 株，全部為人工起源。采集樣木覆蓋海南省東部濕潤區(qū)的瓊海市、文昌市，中部山區(qū)的五指山市、瓊中縣、白沙縣、屯昌縣和西部干旱區(qū)的臨高縣、儋州市。胸徑按徑級取樣分為4、8、12、16、20、24、28 cm 以上7 個取樣點位，在每個取樣點位按高徑比控制選取樣木。樣木數(shù)據(jù)采集時，首先將選定的樣木進行伐前胸徑、地徑和10 cm 高度處直徑測量，伐倒后將所有枝丫砍掉后，量測樹干總長度（H）和樹干相對高0.05H，0.1H，0.2H，0.3H，0.4H，0.5H，0.6H，0.7H，0.8H，0.9H處帶皮直徑。

樹干材積采用區(qū)分求積法[1,9]計算得出：

式中：di（i＝0，0.5，1，2，…，9）分別表示0，0.5/10，1/10，2/10，…，9/10（H）處的帶皮直徑（cm）；H為樹高（m）；π 取3.14159。

得到建模樣木按徑級分布情況見表1。

表1 海南相思樹建模樣本徑階分布情況Table 1 Distribution of diameter classes of modeling samples of Acacia spp.in Hainan province

2 研究方法

2.1 二元立木材積模型

2.1.1 山本材積式模型

對于主干材積而言，山本材積式能較好地反映干形隨胸徑和樹高變化的規(guī)律，因此，樹種材積模型的建立選定山本材積式作為基本模型，模型結(jié)構(gòu)式[2]為：

式中：V為立木材積（m3），D為胸徑（cm），H為樹高（m），c0為模型固定參數(shù)，c1、c2為模型待求參數(shù)。

2.1.2 可變參數(shù)動態(tài)模型

立木材積模型誤差大小和效率高低不僅與兩個解釋變量的選擇有關(guān)，而且與變量的體現(xiàn)形式及模型參數(shù)是否可變有關(guān)。樹木干形變化隨胸徑和樹高變化的速度不一樣，并且有著復雜的變化規(guī)律，為反映材積隨胸徑和樹高變化的客觀規(guī)律，提高模型預估精度，本研究中的動態(tài)模型以山本材積式為框架，將山本式的參數(shù)設(shè)計成胸徑和樹高的函數(shù)式，得到可變參數(shù)動態(tài)模型結(jié)構(gòu)[2]如下：

要確定fi(D,H) 的具體模型結(jié)構(gòu)，先固定已擬合得到的（2）式固定參數(shù)c0，再把式（2）待求參數(shù)c1、c2看成是與形數(shù)有關(guān)的參數(shù)，分不同徑階、不同樹高階按方程式（2）擬合，求解得到不同徑階、不同樹高階對應(yīng)的參數(shù)c1、c2值，再做出c1、c2值隨不同徑階、不同樹高的散點圖，分析確定c1、c2與D、H的相關(guān)關(guān)系函數(shù)式，從而得到相思樹可變參數(shù)動態(tài)模型結(jié)構(gòu)如下：

式（4）中：V為立木材積（m3），D為胸徑（cm），H為樹高（m），c0為模型固定參數(shù)，c3-c4·(D+H)、c5+c6·(D+H) 中c3、c4、c5、c6分別為模型待求參數(shù)。

2.2 一元立木材積模型

2.2.1 常規(guī)模型

一元立木材積常規(guī)模型采用如下結(jié)構(gòu)[10]：

式中：V為立木材積（m3），D為胸徑（cm），Ci為模型參數(shù)。

2.2.2 采用二階回歸方法建立一元材積模型

采用以樹高—胸徑模型為基礎(chǔ)的二階回歸方法來建立各樹種樹高一元材積模型，該方法主要基于以下三步來考慮[11]：

第一步，對樹高—胸徑數(shù)據(jù)進行分析，選取合適的樹高—胸徑模型結(jié)構(gòu)式：

第二步，利用建模樣本數(shù)據(jù)，采用加權(quán)回歸擬合二元山本材積式模型（7），求出參數(shù)值a、b、c：

第三步，固定參數(shù)a、b、c值，將樹高—胸徑模型式（6）代入二元立木材積模型式（7），利用建模樣本數(shù)據(jù)擬合求出模型f(D)的參數(shù)值：

此方法實際上就相當于設(shè)計出了一個更為復雜的材積—胸徑模型，只要式（6）的樹高—胸徑模型選擇得當，一元材積模型式（8）就會比式（5）做出更加符合客觀規(guī)律的描述。

根據(jù)上面的思路，分析得到相思樹采用如下樹高—胸徑模型結(jié)構(gòu)式：

將上述樹高—胸徑模型結(jié)構(gòu)式代入模型（8），得到相思樹一元胸徑材積模型結(jié)構(gòu)為：

模型式（10）中參數(shù)a、b、c值直接采用式（2）中建立的二元山本材積式擬合結(jié)果，c7、c8、c9為相思樹樹高—胸徑模型待求參數(shù)。

2.3 異方差處理

由于立木材積等數(shù)據(jù)普遍存在著異方差性，在求解模型參數(shù)時必須采取措施消除異方差的影響，常采用對數(shù)回歸法或加權(quán)回歸方法。加權(quán)回歸方法的權(quán)函數(shù)選擇一般有兩種：一是模型本身為權(quán)函數(shù)進行加權(quán)回歸，它是相對誤差為等方差時的最優(yōu)權(quán)函數(shù)，能得到參數(shù)的無偏估計值；二是根據(jù)普通最小二乘法回歸結(jié)果的殘差平方擬合與樹高的回歸關(guān)系，再用權(quán)函數(shù)進行加權(quán)回歸。本文采用加權(quán)回歸的方法，每個方程的權(quán)函數(shù)采用模型本身確定。

2.4 模型評價方法

為了對建立的模型擬合效果進行科學檢驗與評價，本研究采用如下評價指標：確定系數(shù)（R2）、標準誤差（SEE）、預估精度（P）、總相對偏差（TRB）、平均系統(tǒng)偏差（MSB）和百分標準誤差（MPSE）[12-14]。其中，R2、SEE是回歸模型的常用指標，P是反映平均估計值的精度指標（可視為估計林分水平的精度指標），TRB和MSB是反映擬合效果的重要指標，二者都應(yīng)該控制在一定范圍內(nèi)，趨向于0 時效果最好，MPSE是反映平均單株林木材積或質(zhì)量估計值的精度指標。根據(jù)《一元立木材積表編制技術(shù)規(guī)程》，總相對偏差（TRB）要求控制在±3%范圍以內(nèi)，建立的數(shù)學模型有效。

3 結(jié)果與分析

3.1 二元立木材積擬合結(jié)果與分析

以模型本身的倒數(shù)為權(quán)函數(shù)進行加權(quán)回歸，得到相思樹山本材積模型式（2）和可變參數(shù)動態(tài)模型式（4）的擬合結(jié)果見表2。從表2中可以看出，無論是采用山本材積式模型或可變參數(shù)動態(tài)模型，擬合的結(jié)果都較好，確定系數(shù)（R2）均在0.98 以上，平均預估精度（P）均在98%以上，兩模型均具有較高的確定系數(shù)（R2）、較小的標準誤（SEE）、穩(wěn)定的模型參數(shù)和較高的預估精度，模型擬合結(jié)果良好。且可變參數(shù)動態(tài)模型相比山本材積式模型確定系數(shù)、平均預估精度進一步提高，可變參數(shù)動態(tài)模型擬合程度優(yōu)于山本材積式模型。

對山本材積式模型和可變參數(shù)模型進一步分徑階進行檢驗，結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出，建立的山本材積式模型和可變參數(shù)動態(tài)模型整體總相對偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）均在±3%以內(nèi)，這表明從整體上看，兩種模型都不存在明顯系統(tǒng)偏差。對各徑階進行分析，山本材積式模型在8、20 cm 徑階總相對偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）均超出了±3%范圍，而可變參數(shù)動態(tài)模型各徑階總相對偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）均在±3%范圍以內(nèi)?？勺儏?shù)模型在各徑階上總相對偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）指標基本都優(yōu)于山本材積式模型，尤其對于大徑階和小徑階效果更加明顯。

表2 二元立木材積模型擬合結(jié)果Table 2 Fitting results of binary tree volume model

表3 二元立木材積模型分徑階檢驗結(jié)果Table 3 Test results of binary tree volume model by diameter classes

3.2 一元立木材積擬合結(jié)果與分析

采用非線性加權(quán)回歸方法，以模型本身的倒數(shù)為權(quán)函數(shù)進行模型擬合，相思樹一元立木材積常規(guī)模型式（5）和二階回歸模型式（10）擬合結(jié)果見表4。從表4所列統(tǒng)計指標來看，利用二階回歸方法建立的相思樹一元材積模型式（10）的擬合效果和預估精度與常規(guī)模型（5）相差不大，模型的確定系數(shù)（R2）均在0.94 以上，預估精度（P）均在96%以上。兩模型均具有較高的確定系數(shù)、較小的標準誤、穩(wěn)定的模型參數(shù)和較高的預估精度，模型擬合結(jié)果良好。

表4 一元立木材積模型擬合結(jié)果Table 4 Fitting result of one-way stand volume model

對一元立木材積常規(guī)模型式（5）和二階回歸模型進一步分徑階進行檢驗，得到檢驗結(jié)果見表5。從表5中可以看出，采用二階回歸建模和常規(guī)建模2 種方法得到的一元材積模型，總體相對偏差（TRB）、平均系統(tǒng)偏差（MSB）都在±3%以內(nèi)，但采用常規(guī)方法建模，12、16、24 cm 以上徑階的總相對偏差（TRB）均超出5%范圍，16 cm 徑階甚至達到了9.57%。而采用分段建模和二階回歸建模方法建立的模型更能真實地反映了材積隨直徑大小變化的客觀規(guī)律，不僅可有效控制材積估計的總相對偏差、平均系統(tǒng)偏差趨近于0%，而且能有效控制各徑階的材積估計偏差，僅16 cm 徑階的總相對偏差超出±5%范圍（為6.80%）。上述說明采用二階回歸方法建立的一元胸徑立木材積模型擬合效果明顯優(yōu)于常規(guī)模型。

表5 一元立木材積模型分徑階檢驗結(jié)果Table 5 Test results of one-way stand volume model by diameter classes

4 結(jié)論與討論

本研究以海南省相思樹為研究對象，建立了以胸徑和樹高為自變量的二元山本材積式模型、可變參數(shù)動態(tài)模型，采用常規(guī)冪函數(shù)式和以樹高—胸徑模型為基礎(chǔ)的二階回歸估計方法建立一元胸徑立木材積模型，并對建立的一元、二元立木材積模型擬合效果進行了對比分析和檢驗。有如下主要研究結(jié)論：

1）建立的相思樹二元山本材積式模型和可變參數(shù)動態(tài)模型均取得了比較好的擬合效果。在整體上，山本材積式模型和可變參數(shù)材積模型的確定系數(shù)均在0.98 以上，平均預估精度均在98%以上；在各徑階下，山本材積式模型總相對誤差在±3.0%以內(nèi)，8 cm、20 cm 徑階的總相對誤差和平均系統(tǒng)誤差超出±3%的范圍，存在一定偏差。而可變參數(shù)材積模型總相對偏差在±3%以內(nèi)，且各徑階總相對誤差和平均系統(tǒng)誤差均能控制在±3%以內(nèi)?？傮w上無論是山本材積式模型，還是可變參數(shù)模型均具有較高的精度，具有較好的模型切合性能，可變參數(shù)模型對于大徑階和小徑階上總相對偏差和平均系統(tǒng)偏差指標明顯優(yōu)于山本材積式模型。

2）常規(guī)模型與采用二階回歸方法建立的一元立木材積模型的確定系數(shù)均在0.94 以上，預估精度均在96%以上；在各徑階之下，采用分段建模和二階回歸建模方法建立的模型僅16 cm 徑階的總相對偏差超出±5%范圍，而常規(guī)方法建模較大部分徑階的總相對偏差、平均系統(tǒng)偏差存在明顯的偏差?？傮w上常規(guī)模型與采用二階回歸方法建立的一元立木材積模型均具有較高的精度，二階回歸模型在各徑階上總相對偏差和平均系統(tǒng)偏差指標基本都明顯優(yōu)于常規(guī)模型。

在材積模型的提出和選擇上，長時間以來，人們一直都在提出和改進材積模型。本研究對山本式材積模型和可變參數(shù)動態(tài)模型的擬合效果進行了對比分析，發(fā)現(xiàn)相較于山本材積式模型，可變參數(shù)動態(tài)模型擬合精度更高，各徑階誤差更小，明顯優(yōu)于山本材積式模型。這與不少學者的研究結(jié)論相同，如候長謀等[15]分別以山本式固定參數(shù)模型和可變參數(shù)山本模型建立了廣東省杉木樹種的二元立木材積模型，研究表明可變參數(shù)山本模型具有更優(yōu)的適用性能；賀鵬等[16]以海南松樹為研究對象，以山本材積式為模型基礎(chǔ)，建立固定參數(shù)和可變參數(shù)二元立木材積模型，研究發(fā)現(xiàn)兩個模型的總體預估精度均較高，在各徑階上，可變參數(shù)材積模型具有更好的全面切合性能，可變參數(shù)材積模型明顯要優(yōu)于固定參數(shù)模型。這是由于樹干材積隨胸徑和樹高而變化的變化率與兩個自變量的量值相關(guān)，可變參數(shù)模型能更為客觀地反映材積隨胸徑和樹高變化地規(guī)律，因而提高了模型的預估精度。此外，還有學者采用多元、多項回歸方程和邁耶方程[17]對材積模型進行擬合，雖然精度較好，但可變參數(shù)能更為充分地利用樣木信息，產(chǎn)生符合生物學規(guī)律的曲線。因而利用可變參數(shù)二元立木材積式編制材積表是提高立木材積表精度的一個有效途徑，可變參數(shù)材積模型應(yīng)作為生產(chǎn)上首選的二元材積模型,也是今后模型改進的方向。

本研究表明利用分段建模方法和二階回歸方法建立的一元材積模型在各徑階上總相對偏差和平均系統(tǒng)偏差指標基本都小于常規(guī)方法，這反映出二階回歸方法建立的模型全面切合性能更好，精度更高，各徑階誤差更小。不少學者也得出了相同的結(jié)論。如曾偉生等[18]利用此種方法建立了西藏自治區(qū)四旁樹闊葉樹的一元立木材積模型，證明了利用二階回歸估計法比一般使用的利用樹高曲線方程代入二元材積模型得到一元材積模型精度高而且能有效改善各個徑階擬合效果。有學者[18-19]將其歸因于一元胸徑立木材積模型未考慮樹高因子，二階回歸估計方法樹高曲線方程代入二元立木材積模型，利用建模樣本的數(shù)據(jù)再次對模型進行擬合，這樣便直接利用了材積進行擬合，可以很方便地對材積模型的擬合精度進行控制，進而客觀反映材積隨胸徑大小變化的規(guī)律。此外，也有學者采用胸徑-材積Logistic 衍生模型[20]對一元材積進行擬合，雖然精度不高，但在特定條件下，這些模型具有其他材積模型難以比擬的意義。因此，二階回歸模型可作為生產(chǎn)上優(yōu)先采用的一元立木材積模型。

模型的檢驗與評價是關(guān)系到二元材積表精準與否的關(guān)鍵步驟。本研究采用確定系數(shù)、標準誤差、預估精度、總相對偏差、平均系統(tǒng)偏差和百分標準誤差作為模型評價指標，并運用了分徑階檢驗的方法，可以非常全面直觀地反映各個模型的優(yōu)劣，為模型檢驗、最優(yōu)模型的選取提供了比較客觀的判斷標準。

由于一元（胸徑）控制下的材積變動很大，其對樣地水平乃至小區(qū)域范圍的估計，不可避免地會產(chǎn)生很大的偏差，在生產(chǎn)中可結(jié)合相對樹高曲線模型使用，以提高一元材積的適用性。