考慮跨線列車的高速鐵路能力最大化合理利用研究

王宇強(qiáng)，魏玉光，商 攀，張進(jìn)川

(北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044)

在高速鐵路(以下簡稱高鐵)運(yùn)營管理過程中，列車停站方案、列車種類、開行區(qū)段及開行頻率是在列車開行方案編制階段基于客流需求優(yōu)化得到的。近年來客流需求不斷增長，所需開行列車數(shù)量增加，從而導(dǎo)致在鋪畫運(yùn)行圖時(shí)考慮到列車沖突問題可能無法得到一個(gè)包含所有列車的鋪畫方案。因此，如何優(yōu)化利用高速鐵路線路通過能力，以實(shí)現(xiàn)盡可能地開行更多列車，成為亟需解決的問題。影響高鐵能力利用的因素眾多，本文以列車停站方案和列車時(shí)刻表為對象展開研究。

目前，關(guān)于列車停站方案和時(shí)刻表的研究眾多，但由于問題的復(fù)雜性，大部分學(xué)者將二者分開研究。在優(yōu)化停站方案方面，文獻(xiàn)[1]提出了一種0-1雙層規(guī)劃模型來解決列車的停站方案和旅客換乘選擇問題，上層模型通過調(diào)整列車停站方案來最大化運(yùn)營效益，下層模型目標(biāo)為最小化乘客換乘時(shí)間。文獻(xiàn)[2]通過在高峰時(shí)間段采用區(qū)域停站策略來最小化乘客出行時(shí)間和地鐵運(yùn)營成本。文獻(xiàn)[3]建立了基于乘客總體出行時(shí)間最小的軌道交通列車跨站停車0-1整數(shù)規(guī)劃模型，并利用禁忌搜索算法求解，最終通過算例驗(yàn)證了方法的可行性。文獻(xiàn)[4]構(gòu)建了旅客列車服務(wù)優(yōu)化配置多目標(biāo)規(guī)劃模型，該模型通過協(xié)調(diào)列車停站方案和開行頻率使運(yùn)營總費(fèi)用和乘客出行總時(shí)間最小。文獻(xiàn)[5]基于多商品流問題構(gòu)建了時(shí)間-空間-狀態(tài)網(wǎng)，提出了以公平為導(dǎo)向的隔站停車策略，建立了線性優(yōu)化模型，并采用拉格朗日松弛法算法求解。在優(yōu)化列車時(shí)刻表時(shí)，文獻(xiàn)[6]構(gòu)建了累計(jì)流變量模型對高鐵運(yùn)行圖進(jìn)行優(yōu)化，并設(shè)計(jì)了拉格朗日松弛算法求解，將復(fù)雜的列車組合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單列車的最短路徑問題集合，從而降低求解難度。文獻(xiàn)[7-8]建立了列車時(shí)刻表多目標(biāo)優(yōu)化模型來降低列車的能源消耗以及乘客的出行總時(shí)間。文獻(xiàn)[9]構(gòu)建了高鐵通過能力最大條件下的運(yùn)行圖優(yōu)化模型，根據(jù)列車運(yùn)行過程中不得有沖突的特點(diǎn)將該問題抽象為時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中帶約束的最大獨(dú)立集問題。通過D-W分解將模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化及線性松弛，最后采用列生成算法及分支定界算法求解。

但由于列車停站方案和時(shí)刻表的制定相互關(guān)聯(lián)，越來越多的學(xué)者將兩者同時(shí)優(yōu)化生成。文獻(xiàn)[10]提出一種新的多目標(biāo)混合整數(shù)規(guī)劃模型來同時(shí)優(yōu)化列車停站方案和時(shí)刻表，目標(biāo)函數(shù)為最小化列車的總停站時(shí)間和期望到達(dá)時(shí)刻與實(shí)際到達(dá)時(shí)刻之間的差值，最后使用Cplex求解。文獻(xiàn)[11]構(gòu)建了高鐵時(shí)空網(wǎng)絡(luò)，建立了使列車總收益最大的整數(shù)線性規(guī)劃模型，然后使用基于列生成的啟發(fā)式算法求解，最后在京滬高鐵上驗(yàn)證了模型和算法的可行性。文獻(xiàn)[12]構(gòu)建的模型考慮了動(dòng)態(tài)客流和線路設(shè)備能力，為每列車選擇停站方案且優(yōu)化時(shí)刻表，研究了動(dòng)態(tài)客流的變化對列車時(shí)刻表及列車服務(wù)模式的影響。文獻(xiàn)[13]分別以乘客時(shí)空可達(dá)性和列車運(yùn)行可靠度為側(cè)重點(diǎn)對高鐵能力進(jìn)行建模和求解，最后使用多智體仿真軟件NetLogo，基于京滬高鐵算例多模型進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

既有文獻(xiàn)大多以最小化列車總運(yùn)行時(shí)間和最小化優(yōu)化后時(shí)刻表與現(xiàn)有時(shí)刻表的差異為目標(biāo)，較為缺乏以高鐵能力利用為導(dǎo)向的研究。因此，本文研究以提高高鐵能力利用為目標(biāo)的列車停站方案和列車時(shí)刻表優(yōu)化問題，其中高鐵能力指在研究時(shí)間段內(nèi)，高鐵線路在一定的機(jī)車車輛類型，信號(hào)設(shè)備和行車組織方法條件下所能開行的最大列車數(shù)量。研究的主要內(nèi)容為：

(1)將開行方案生成的需求列車集合分為高等級列車集合(停站次數(shù)較少但多為大站停車)與低等級列車集合(停站次數(shù)較多)，保留高等級列車的停站方案，刪除低等級列車的停站方案，通過優(yōu)化生成所有需求列車的時(shí)刻表與低等級列車停站方案，將開行方案中確定的列車盡可能多地鋪畫到運(yùn)行圖中，從而優(yōu)化高鐵通過能力。兩個(gè)列車集合中的列車通過運(yùn)營商的決策確定，當(dāng)運(yùn)營商希望盡量滿足乘客OD的直達(dá)性，提高高鐵服務(wù)質(zhì)量時(shí)，高等級列車數(shù)量大于低等級列車數(shù)量，當(dāng)運(yùn)營商希望在一定時(shí)間內(nèi)開行更多列車時(shí)，低等級列車數(shù)量大于高等級列車數(shù)量。

(2)將跨線列車列入優(yōu)化對象，進(jìn)行本線列車和跨線列車的協(xié)同優(yōu)化，定義從本線到其它線的跨線列車為本線下線跨線列車，從其他線到本線的跨線列車為本線上線跨線列車。

(3)構(gòu)建基于高鐵物理網(wǎng)的高鐵時(shí)空絡(luò)?；诟哞F時(shí)空網(wǎng)絡(luò)建立整數(shù)規(guī)劃模型，目標(biāo)函數(shù)為最大化高鐵開行列車數(shù)和最小化列車總運(yùn)行時(shí)間。為大規(guī)模案例設(shè)計(jì)了基于交替方向乘子法(ADMM)分解的算法，將原始問題中的困難約束作為懲罰項(xiàng)松弛到原目標(biāo)函數(shù)中，提高了求解效率。

1 高鐵時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

高鐵能力利用優(yōu)化問題的本質(zhì)為將有限的時(shí)空資源合理分配給各個(gè)列車的組合優(yōu)化問題。因此可以通過構(gòu)建時(shí)空網(wǎng)來描述高鐵列車的運(yùn)行過程。

圖1為高鐵物理網(wǎng)絡(luò)，包括5個(gè)車站以及4個(gè)運(yùn)行區(qū)段，其中車站3為跨線站。為構(gòu)建高鐵時(shí)空網(wǎng)，將車站分解為列車進(jìn)站點(diǎn)和出站點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的連線表示列車的停站或跨線過程。同時(shí)，為在時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中完整地描述列車運(yùn)行路徑，新建表示列車在時(shí)空網(wǎng)中生成的列車生成點(diǎn)和列車在時(shí)空網(wǎng)中消失的虛擬到達(dá)點(diǎn)，見圖2。

圖1 高鐵物理網(wǎng)

圖2 改進(jìn)后的高鐵物理網(wǎng)

在高鐵物理網(wǎng)的基礎(chǔ)上引入時(shí)間維度且將時(shí)間離散為較小的單元(如1 min)，構(gòu)建時(shí)空網(wǎng)絡(luò)(V,A)，其中V為時(shí)空網(wǎng)中的頂點(diǎn)集合，A為時(shí)空網(wǎng)中的弧集合。V包括列車生成點(diǎn)、列車進(jìn)站點(diǎn)、列車出站點(diǎn)和虛擬到達(dá)點(diǎn)。頂點(diǎn)(i,t)為在i點(diǎn)的t時(shí)刻；(i,j,t,s)為從(i,t)到(j,s)的一條有向弧。為了更好地描述高鐵運(yùn)行過程，設(shè)立7種類型的?。?/p>

(1)區(qū)間運(yùn)行弧(i,j,t,s)表示列車從k站列車出站點(diǎn)i的t時(shí)刻運(yùn)行到k+1站列車進(jìn)站點(diǎn)j的s時(shí)刻，見圖3(a)。本文設(shè)立兩種類型的運(yùn)行弧，分別為高速列車運(yùn)行弧集合Ag和中速列車運(yùn)行弧集合Ad，(i,j,t,s)∈Ar,Ar=Ad+Ag，Ar為列車運(yùn)行弧集合。

(2)始發(fā)列車進(jìn)站弧(i,i′,t,s)表示始發(fā)列車進(jìn)入k站到發(fā)線的作業(yè)過程，而在k站的上線跨線列車可以視為在本線k站的始發(fā)列車，通過連接k站的列車生成點(diǎn)i與k站的列車進(jìn)站點(diǎn)i′生成，見圖3(b)中的第ⅰ類弧，(i,i′,t,s)∈As，As為始發(fā)列車進(jìn)站弧集合。

圖3 時(shí)空網(wǎng)中各類弧的構(gòu)建

(3)終到列車出站弧(i,i′,t,T)表示終到列車離開k站到發(fā)線的作業(yè)過程，在k站的下線跨線列車可以視為在本線k站的終到列車，通過連接k站的列車出站點(diǎn)i與k站的列車虛擬到達(dá)點(diǎn)i′生成，如圖3(b)中的第ⅱ類弧。其中，T為時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間界限，(i,i′,t,T)∈Az，Az為終到列車出站弧集合。

(4)停站弧(i,i′,t,s)∈Aw與跨線弧(i,i′,t,s)∈Ac表示列車在k站的停站作業(yè)和跨線作業(yè)，Aw為停站弧集合，Ac為跨線弧集合。停站時(shí)間或跨線時(shí)間加起停附加時(shí)間為s-t。列車的最大、最小停站時(shí)間通過時(shí)空網(wǎng)中停站弧的時(shí)間權(quán)重來確定。兩類弧通過連接k站的列車進(jìn)站點(diǎn)i與k站的列車出站點(diǎn)i′而生成，如圖3(b)中的第ⅲ類和第ⅳ類弧，其中3種不同時(shí)間權(quán)重的弧代表不同的停站時(shí)間，時(shí)間權(quán)重最大和最小的弧可以表示相應(yīng)的列車最大、最小停站時(shí)間。

(5)通過弧(i,i′,t,t)表示不停站列車直接通過車站，為一條平行于縱軸的弧，該弧通過連接k站的列車進(jìn)站點(diǎn)i與k站的列車出站點(diǎn)i′生成，見圖3(b)中的第ⅴ類弧，(i,i′,t,t)∈At，At為通過弧集合。

(6)虛擬運(yùn)行弧(i,j,t,T)表示有些需求列車在能力飽和情況下需要到達(dá)終點(diǎn)必須選擇的弧，通過連接各列車始發(fā)站的列車生成點(diǎn)i與終到站的虛擬到達(dá)點(diǎn)j生成，(i,j,t,T)∈Adummy，Adummy為虛擬運(yùn)行弧集合。

在建立的時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中，運(yùn)行弧，停站弧、跨線弧、始發(fā)列車進(jìn)站弧和終到列車出站弧的費(fèi)用為列車的實(shí)際作業(yè)時(shí)間，通過弧的費(fèi)用為0，虛擬運(yùn)行弧的費(fèi)用為無限大，如9 999。

2 模型的構(gòu)建

2.1 模型假設(shè)

在構(gòu)建模型前，提出以下假設(shè)：

(1)只選擇線路的一個(gè)方向(稱為正向)進(jìn)行研究，另一個(gè)方向(稱為對向)可同樣利用此方法優(yōu)化。

(2)各列車在各區(qū)段內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間固定且已知。

(3)列車的起停附加時(shí)間固定且已知。

(4)最小列車間隔時(shí)間固定且已知。

(5)不考慮車底的運(yùn)用情況。

2.2 構(gòu)建模型

本文提出的整數(shù)規(guī)劃模型中，輸入?yún)?shù)為：列車的開行方案，包括列車運(yùn)行區(qū)段、列車種類、列車開行數(shù)量以及高等級列車的停站方案；列車的最小列車間隔時(shí)間；不同速度等級的列車在各區(qū)段的運(yùn)行時(shí)間；不同停站弧和跨線弧的時(shí)間權(quán)重；各列車的最大最小出發(fā)時(shí)間。模型的輸出結(jié)果為：列車時(shí)刻表以及低等級列車停站方案。

由于列車的停站、跨線、運(yùn)行等作業(yè)都可用時(shí)空網(wǎng)中不同類型的時(shí)空弧表示，因此高鐵運(yùn)行時(shí)刻表與停站優(yōu)化問題可以建模為具有邊際條件約束的網(wǎng)絡(luò)多商品流優(yōu)化問題。模型目標(biāo)函數(shù)為

(1)

式(1)表示最大化列車集合K(K=K高∪K低，K高、K低分別為高等級列車、低等級列車集合，集合K內(nèi)列車根據(jù)現(xiàn)有開行方案確定)在研究時(shí)間段內(nèi)選擇運(yùn)行弧的數(shù)量，即最大化列車開行數(shù)。

為了方便算法的求解，我們將其轉(zhuǎn)換為

(2)

式中：ci,j,t,s為時(shí)空網(wǎng)中每條弧的費(fèi)用。

轉(zhuǎn)化目的為最小化列車在研究時(shí)間段內(nèi)的總費(fèi)用。由于虛擬運(yùn)行弧的ci,j,t,s為一個(gè)特別大的值，所以通過阻止列車選擇虛擬運(yùn)行弧，也就是通過最小化整個(gè)研究時(shí)間段內(nèi)的總費(fèi)用來最大化列車開行數(shù)。

模型約束條件為：

(1)高鐵始發(fā)列車、終到列車停站約束

(3)

(4)

為了盡可能的如實(shí)反映列車運(yùn)行的全過程和跨線列車的跨線過程，引入高鐵始發(fā)列車、終到列車停站約束，對于跨線列車而言，始發(fā)列車進(jìn)站弧實(shí)際描述了跨線列車在本線生成的過程，終到列車出站弧實(shí)際描述了跨線列車從本線消失的過程。該約束表示始發(fā)列車以及本線上線列車必須在其始發(fā)站進(jìn)行停站作業(yè)或跨線作業(yè)，而終到列車以及本線下線列車必須在其終到站進(jìn)行停站作業(yè)或跨線作業(yè)。

(2)跨線列車跨線約束

(5)

式中：Kk為跨線列車集合。

由于跨線列車a∈Kk在進(jìn)行跨線作業(yè)時(shí)會(huì)切割車站咽喉，造成更多的等待時(shí)間，在時(shí)空網(wǎng)中則反映為跨線列車a∈Kk在跨線站必須選擇跨線弧(i,j,t,s)∈Ac。

(3)高鐵列車速度約束

(6)

本文設(shè)立了兩種速度類型的高速鐵路列車，分別為中速列車集合Kd，高速列車集合Kg，且設(shè)立了兩種類型的列車運(yùn)行弧，分別為中速列車運(yùn)行弧Ad，高速列車運(yùn)行弧Ag，該約束規(guī)定了高速列車可以選擇中速列車運(yùn)行弧運(yùn)行而中速列車禁止選擇高速列車運(yùn)行弧運(yùn)行。

(4)流平衡約束

(7)

(5)列車停站次數(shù)約束

?k∈Si,i′∈Vk

(8)

式中：vk為車站k為了滿足乘客OD的可達(dá)性而需要的列車最小停站次數(shù)，vk的值通過現(xiàn)有的開行方案確定；S為高鐵車站集合；Vk為高鐵車站k的頂點(diǎn)集合。在高等級列車停站方案確定的基礎(chǔ)上，該約束規(guī)定了各車站對于停站次數(shù)的需求。

(6)最小列車間隔時(shí)間約束

(9)

式中：φ(i,j,t,s)為列車沖突弧集，φ(i,j,t,s)∈Ar∪Az。

式(9)表示了列車在高速鐵路運(yùn)行中的安全因素，前車與后車的出發(fā)與到達(dá)時(shí)間間隔必須大于等于相應(yīng)的最小列車間隔時(shí)間，即在(i,j)間，如果有一條運(yùn)行弧或終到列車出站弧(i,j,t,s)被列車a選中，那么φ(i,j,t,s)∈Ar∪Az內(nèi)的所有弧將禁止被選用。

(7)列車出發(fā)時(shí)間約束

(10)

該約束規(guī)定了列車a在其起始站的出發(fā)時(shí)刻不能早于最小出發(fā)時(shí)刻，也不能晚于最大出發(fā)時(shí)刻，運(yùn)營商根據(jù)客流需求規(guī)定了某些或全部列車的出發(fā)時(shí)間段，對于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)問題，該參數(shù)可參照以往時(shí)刻表來確定。

3 基于ADMM分解的算法求解

本文提出的整數(shù)規(guī)劃模型在處理小規(guī)模案例時(shí)可以直接用Cplex求解，當(dāng)計(jì)算大規(guī)模案例時(shí)，模型中的困難約束(如式(8)、式(9))會(huì)引發(fā)大規(guī)模列車組合，Cplex無法在短時(shí)間內(nèi)求得最優(yōu)解。所以提出基于ADMM分解的算法對大規(guī)模案例進(jìn)行求解，ADMM分解算法為增廣拉格朗日松弛與塊坐標(biāo)下降法的結(jié)合。

拉格朗日松弛是將原模型中的困難約束松弛，并引入拉格朗日乘子，將其乘積作為懲罰項(xiàng)帶入原目標(biāo)函數(shù)中，則原問題可分解為多個(gè)獨(dú)立的子問題。增廣拉格朗日松弛是在拉格朗日松弛的基礎(chǔ)上，為提高解的質(zhì)量，再為目標(biāo)函數(shù)引入一個(gè)非線性的二次懲罰項(xiàng)。通過塊坐標(biāo)下降法將增廣拉格朗日松弛問題線性化，按照順序依次求解各子問題從而求得最終解。該方法可以解決拉格朗日松弛后帶來的對稱性問題，加快收斂速度提高算法效率[14]。

通過使用基于ADMM分解的算法，引入拉格朗日乘子λi,j,t,s和μi,j,t,s以及二次項(xiàng)懲罰乘子ρ和ρ′，將復(fù)雜約束式(8)、式(9)松弛且作為懲罰項(xiàng)添加到目標(biāo)函數(shù)式(2)中，得到新的目標(biāo)函數(shù)

約束條件為式(7)、式(10)，則原問題變?yōu)榛跁r(shí)間的最短路徑問題，各個(gè)列車的最短路徑相互獨(dú)立。

每列列車的最短路徑目標(biāo)函數(shù)為

(12)

通過公式推導(dǎo)得到

(13)

式中：

(14)

推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[14]?；贏DMM分解的算法步驟為

Step1初始化迭代次數(shù)n=0，初始化拉格朗日乘子λi,j,t,s=0，μi,j,τ=0和二次項(xiàng)懲罰乘子ρ、ρ′，生成初始下界解{Xlower}和上界解{Xuper}，設(shè)置最優(yōu)下界LLB=-∞，LUB=+∞。

Step4更新拉格朗日乘子：

?(i,j,t,s)∈Aw∪Ac

?(i,j,t,s)∈Ar∪Az

Step5如果n等于預(yù)先設(shè)好的最大迭代次數(shù)，終止算法，否則，n=n+1轉(zhuǎn)到Step2。

4 案例驗(yàn)證

以京滬高鐵為例，通過優(yōu)化生成所有列車的時(shí)刻表與低等級列車的停站方案，在考慮跨線列車的情況下優(yōu)化其能力利用。提出的算法將在Python平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)，算法運(yùn)行環(huán)境為一臺(tái)內(nèi)存16 GB，CPU：i7-770HQ 2.80 GHz的臺(tái)式計(jì)算機(jī)。

京滬高鐵共有23個(gè)站，各種類列車在各區(qū)段的純運(yùn)行時(shí)間見表1，本文規(guī)定最小列車間隔時(shí)間為4 min，起停附加時(shí)間為2 min，研究的時(shí)間總長度為10 h，時(shí)間離散化后的單位時(shí)間為1 min。京滬高鐵為雙線鐵路，本文僅考慮北京南—上海虹橋方向的高鐵列車。表2為各列車的運(yùn)行區(qū)段和開行數(shù)，由現(xiàn)有開行方案確定，本文不研究列車開行方案的生成，所以需求數(shù)為假設(shè)但大于研究時(shí)間段內(nèi)的理論通過能力，其中跨線列車包括7列正向跨線列車，高等級列車集合為北京—上海的高速列車以及北京—南京的高速列車，其余列車為低等級列車。由于篇幅有限，本文針對高等級列車集合與低等級列車集合的劃分僅進(jìn)行這一個(gè)實(shí)驗(yàn)，其他情況可按相同方法進(jìn)行優(yōu)化。由于京滬高鐵跨線列車眾多，本文只選取在徐州東站進(jìn)行上線、下線的跨線列車為研究對象。

分別使用基于ADMM分解的算法和基于拉格朗日松弛的算法優(yōu)化整個(gè)京滬高鐵的能力利用，迭代次數(shù)200次，兩種算法求解時(shí)間分別為22 126 s與20 194 s。運(yùn)行圖鋪畫結(jié)果見圖4，目標(biāo)函數(shù)值的上界，基于ADMM分解算法的下界和基于拉格朗日松弛算法的下界隨迭代次數(shù)變化曲線見圖5，其中上界與基于ADMM分解算法的下界間隔為1.56%，上界與基于拉格朗日松弛算法的下界間隔為6.83%，且基于ADMM分解算法的收斂速度明顯優(yōu)于基于拉格朗日松弛算法的收斂速度，基于ADMM分解算法第46次迭代時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值就達(dá)到了基于拉格朗日松弛算法的最優(yōu)下界。

圖4中北京南—上海虹橋方向的本線和跨線列車由于最小列車間隔時(shí)間約束，列車出發(fā)時(shí)間約束和列車停站次數(shù)約束的限制，影響了研究時(shí)間段內(nèi)的最大通過能力，最大開行數(shù)為55列，運(yùn)行線。為了更直觀的體現(xiàn)跨線列車對本線列車能力的影響，進(jìn)行的另一個(gè)實(shí)驗(yàn)將北京南—上海虹橋方向的跨線列車改為本線列車，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為在相同研究時(shí)間段內(nèi)可開行57列列車，比考慮跨線列車的情況多2列，證明跨線列車對本線列車的能力有很大的影響，在研究高速鐵路能力優(yōu)化時(shí)考慮跨線列車的影響更符合實(shí)際情況且非常必要。

表1 列車在各區(qū)段的運(yùn)行時(shí)間 min

表2 列車OD及對應(yīng)的列車數(shù)量

圖4 北京南—上海虹橋方向列車運(yùn)行圖

圖5 上下界隨迭代次數(shù)變化曲線

5 結(jié)論

本文基于高鐵物理網(wǎng)構(gòu)建了高鐵時(shí)空網(wǎng)，列車的停站作業(yè)和跨線作業(yè)可以直接使用停站弧和跨線弧來表示，而跨線列車的上線和下線作業(yè)分別可以看作是本線列車的始發(fā)和終到作業(yè)，基于此，將跨線列車納入研究對象，提出了一種高鐵最大通過能力下優(yōu)化生成列車時(shí)刻表和停站方案的整數(shù)規(guī)劃模型。

由于所研究的問題規(guī)模很大，設(shè)計(jì)了基于ADMM分解的算法對模型進(jìn)行求解，結(jié)果表明本文提出的算法與基于拉格朗日松弛的算法相比，可以在較短時(shí)間內(nèi)得到收斂且目標(biāo)函數(shù)值上下界的差值更小。

本文對于列車的停站需求處理不夠完善，沒有充分考慮客流OD的直達(dá)性與時(shí)間分布差異性，在未來的研究中我們會(huì)將動(dòng)態(tài)客流需求作為模型輸入從而生成列車停站方案和時(shí)刻表以及進(jìn)行客流分配，確保乘客OD的直達(dá)性以及考慮客流在時(shí)間分布上的差異性。且會(huì)提出更有效率的算法來擴(kuò)大研究案例的規(guī)模，同時(shí)優(yōu)化兩條及兩個(gè)方向的高鐵線路通過能力。