洛必達(dá)法則在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

李欣

（重慶市江津第五中學(xué)校，重慶 402260）

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)題目不僅側(cè)重考察學(xué)生的邏輯思維能力，更關(guān)注學(xué)生的解題能力。在高考數(shù)學(xué)試卷中，單選、判斷等題目難度不大，而大題中的最后一問則是區(qū)分優(yōu)等生和普通學(xué)生的關(guān)鍵，這種題目較為復(fù)雜，需要學(xué)生正確掌握解答方法，如果題目為求導(dǎo)問題，利用洛必達(dá)法則可以提升解答效率，有利于取得良好成績。

一、不等式恒成立問題

如果在等式或者不等式中存在兩個變量，而一個變量范圍已知、另一個變量范圍未知，并且可以借助恒等變形把兩個變量分別置于不等號或者等號兩邊，就可以把恒成立問題轉(zhuǎn)化成為函數(shù)最值問題求解[1]。

二、洛必達(dá)法則相關(guān)內(nèi)容

洛必達(dá)法則是在特定條件下借助分子分母求導(dǎo)再求極限，進(jìn)而確定未定式極限值的方法，普遍認(rèn)為該法則由法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)于1969年提出，不過該法則創(chuàng)造者為瑞士數(shù)學(xué)家約翰.伯努利，因此該法則也被稱作伯努利法則。具體內(nèi)容為當(dāng)分子分母都無窮小或無窮大時，兩個函數(shù)的比極限可能存在也可能不存在，即便極限存在也不可利用商的極限等于極限的商這一法則，所以這種極限稱為未定式，如果當(dāng)x→∞或者x→a，兩個函數(shù)f（x）和F（x）都會趨于零或者無窮大，則極限被稱為未定式。

洛必達(dá)法則的定義為在一定條件下，通過分子和分母分別求導(dǎo)再求極限值，以此確定未定值的方法。定理為：①設(shè)x→0時，函數(shù)f（x）和F（x）都會趨于零；②在a點的某個鄰域內(nèi) f'（x）和F'（x）都存在并且F'（x）不為0。

在利用洛必達(dá)法則的過程中，需要注意如下問題：首先分子分母都必須是無窮小，并且分母和分子都可導(dǎo)；其次分母導(dǎo)數(shù)不可為0，導(dǎo)數(shù)之比的極限存在[2]。

三、傳統(tǒng)方法和洛必達(dá)法則求導(dǎo)情況

由于高中數(shù)學(xué)課程安排較為密集，學(xué)時有限，所以洛必達(dá)法則沒有被安排到高中數(shù)學(xué)課本當(dāng)中，而是以課外閱讀的形式呈現(xiàn)在課堂當(dāng)中，部分教師只會簡單介紹，不過該法則在高中求極限值的過程中會發(fā)揮出重要作用，高中數(shù)學(xué)試卷中經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)洛必達(dá)法則在求導(dǎo)中得到利用，比如求解未知數(shù)的取值范圍就需要先通過不等式求解參數(shù)變化范圍。在高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中，洛必達(dá)法則作為拓展知識，如果能對其有效了解，可以顯著提升解答效率。

如題：已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），曲線y=f（x）在點（x0，y0）處的切線方程為y=g（x）。①證明對任意 x∈（-∞，+∞）時，f(x)≤g（x）恒成立，②當(dāng)x≥0時，f（x）≤ax/（1+x）恒成立，求解實數(shù)a的取值范圍。

方法1為傳統(tǒng)方法，具體說來：當(dāng)x≥0時，f（x）≤x+ax/（1+x）恒成立，由于x≥0，所以1+x＞0，不等式去分母得到（1+x）f（x）≤x2+x+ax，所以（1+x）In（1+x）≤x2+x+ax。

如果G（x）=（1+x）ln（1+x）-x（1+x）-ax，設(shè)x+1=t，所以t≥1，那么G（t）=tlnt-（t-1）t-a(t-1),G'(t)=lnt-2t+2-a。

一種情況是，當(dāng)a≥0時，G'（t）≤0，G（t）在t≥1上為減函數(shù)，所以G（t）≤G（1）=0，即G（x）≤0。另一種情況是，當(dāng)a＜0時，G'（t）=lnt-2t＋2-a=0，可解得t=to（t＞1），當(dāng)to＞t＞1時，G（t）是增函數(shù)，所以G（t）＞G（1）=0和已知存在矛盾，最終得出a＜0不滿足G(x)≤0。

綜合以上條件得出a取值范圍為[0，＋∞）。

方法2為洛必達(dá)法則，具體說來：當(dāng)x≥0時，f（x）≤x＋ax/（1+x）恒成立，即ln（x＋1）≤x+x＋ax/（1+x）在x≥0成立。

一種情況是，當(dāng)x=0時，式子成立，此時a∈R。另一種情況是，當(dāng)＞0時，a≥ln（x＋1）/x（x+1）-1-x恒成立，即a大于等于G（x）=ln（x＋1）/x+ln（x+1）-1-x的最大值，G'（x）=x-（x+1）ln（x＋1）-x2/x2（x+1）。

設(shè)H（x）=x-（x＋1）ln（x＋1）-x3，H'（x）=-3x2-ln （x＋1）。因為x＞0，所以 H'（x）＜0，判定 H（x）為減函數(shù)，所以H（x）≤H（0）=0。得到G'（x）≤0，也就是G（x）在 x＞0是減函數(shù)。

綜合以上條件得出a取值范圍為[0，＋∞）。

從以上例題的兩種解答方法可以看出傳統(tǒng)方式。需要學(xué)生全面分析，靈活掌握數(shù)學(xué)知識。要求學(xué)生具有良好的邏輯性和條理性，一旦出現(xiàn)疏忽，將導(dǎo)致解答不全面，而洛必達(dá)法則這種方式可以有效解決學(xué)生解答過程中出現(xiàn)的問題，有利于學(xué)生具備清晰的解答思路。通過構(gòu)建函數(shù)最小值的方法確定參數(shù)范圍，在解答的過程中盡管需要學(xué)生設(shè)置幾次函數(shù)，不過整體解答思路較為清晰。

結(jié)束語

綜上所述，隨著新課改的不斷推進(jìn)，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)也提出了更高的要求。為了學(xué)生在高考中取得佳績，教師需要適當(dāng)講解洛必達(dá)法則，以此幫助學(xué)生更加全面的掌握數(shù)學(xué)知識，而洛必達(dá)法則又與大學(xué)的數(shù)學(xué)知識存在密切關(guān)系，如果學(xué)生掌握該方法，同樣可以為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。