四輪輪轂電機獨立驅(qū)動電動汽車軌跡跟蹤與橫擺穩(wěn)定性協(xié)調(diào)控制研究*

張 雷，趙憲華，王震坡

(北京理工大學，電動車輛國家工程實驗室，北京 100081)

前言

電動化、網(wǎng)聯(lián)化、智能化、共享化已成為當今汽車技術(shù)發(fā)展的普遍共識。 相關(guān)研究表明，高級別自動駕駛技術(shù)有望顯著提高交通系統(tǒng)的通行效率、降低能耗和減少車輛安全事故[1]。 四輪輪轂電機獨立驅(qū)動電動汽車將具有獨立驅(qū)動/制動能力的驅(qū)動電機安裝在輪轂內(nèi)，具有傳動鏈短、傳動效率高、結(jié)構(gòu)緊湊和易于實現(xiàn)底盤模塊化設(shè)計等優(yōu)點，可以有效改善車輛動力性、經(jīng)濟性和操穩(wěn)性，是新能源汽車的主要技術(shù)發(fā)展方向之一[2-3]。 通過對各輪驅(qū)動力矩進行優(yōu)化分配，可以充分利用各輪處的路面附著力，實現(xiàn)驅(qū)動防滑和直接橫擺力矩控制，進而提高車輛的主動安全性[4-6]；此外可通過實時優(yōu)化前后軸驅(qū)動轉(zhuǎn)矩分配，盡可能使驅(qū)動電機工作在高效區(qū)，從而提高整車驅(qū)動效率[7-8]。

智能汽車是一種融合了環(huán)境感知、規(guī)劃決策、運動控制等功能的智能化、集成化系統(tǒng)[9]。 軌跡跟蹤控制是智能汽車實現(xiàn)自動駕駛的關(guān)鍵技術(shù)之一，其目標是根據(jù)上層控制器規(guī)劃的軌跡和車輛的實時狀態(tài)信息生成車輛實時控制量，如前輪轉(zhuǎn)角、驅(qū)動力/制動力等，以保證車輛能夠按照期望的軌跡行駛[10]。 常見的軌跡跟蹤控制算法包括PID、LQR、滑模變結(jié)構(gòu)控制和純跟蹤控制等。 文獻[11]中設(shè)計了一種基于橫向位置誤差和橫擺率的嵌套PID 控制器，其原理是利用基于橫擺率跟蹤的前輪主動轉(zhuǎn)向控制改善轉(zhuǎn)向動力學特性；文獻[12]中提出了一種基于自適應(yīng)分層控制架構(gòu)的軌跡跟蹤方法，上層基于滑模控制器求解前輪轉(zhuǎn)角和附加橫擺力矩，下層利用偽逆控制分配算法實現(xiàn)四輪驅(qū)動轉(zhuǎn)矩分配；文獻[13]中根據(jù)車輛參數(shù)和車速確定預(yù)瞄距離，基于車輛的位置信息和規(guī)劃路徑選擇預(yù)瞄點，利用純跟蹤算法計算出前輪偏角控制量，建立了車輛橫向運動模型并在Matlab 中進行了路徑跟蹤仿真驗證；為了保證控制系統(tǒng)快速收斂性和穩(wěn)定性，文獻[14]中構(gòu)建了基于路徑跟隨誤差的線性系統(tǒng)，采用LQR 最優(yōu)控制方法實現(xiàn)了對系統(tǒng)的閉環(huán)控制，并通過Simulink 和CarSim 聯(lián)合仿真以及實車試驗驗證了該方法的可行性。 但上述方法普遍存在對參數(shù)及環(huán)境依賴程度較高的問題，一旦環(huán)境發(fā)生變化往往導(dǎo)致跟蹤控制效果惡化。

模型預(yù)測控制(model predictive control， MPC)又稱為滾動時域控制，是由工業(yè)過程控制發(fā)展出來的一種控制方法(如圖1 所示)。 該方法基于控制系統(tǒng)模型預(yù)測未來特定時間周期內(nèi)的系統(tǒng)輸出，通過求解帶約束條件的最優(yōu)控制問題，使系統(tǒng)在該時間周期內(nèi)的跟蹤誤差最小，具有魯棒性強等特點[15]。 模型預(yù)測控制方法具備預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正的基本特征[16-17]，能夠有效處理多優(yōu)化目標、多約束問題，并能及時彌補模型失配、時變和干擾等引起的不確定性，適合于無人駕駛車輛的軌跡跟蹤控制[18]。 文獻[19]中基于簡化的非線性車輛動力學模型提出了一種基于模型預(yù)測控制的路徑跟蹤方法，通過同時控制轉(zhuǎn)向和制動實現(xiàn)目標軌跡跟蹤，并進行了仿真和試驗驗證；文獻[20]中提出了一種用于不同車速下無人駕駛車輛避障控制的模型預(yù)測控制器，該控制器基于3 自由度非線性車輛模型，將路徑跟蹤與避障控制問題統(tǒng)一優(yōu)化求解。 但現(xiàn)有的基于模型預(yù)測控制的方法多適用于中低車速且路面附著條件良好的情況，在高速、低附著條件下難以實現(xiàn)路徑跟蹤精度和車輛運動穩(wěn)定性的協(xié)調(diào)控制。

圖1 模型預(yù)測控制算法

為提高車輛在高速、低附著等極限工況下軌跡跟蹤的精度和運動穩(wěn)定性，本文中基于四輪輪轂電機獨立驅(qū)動電動汽車，提出了基于分層控制架構(gòu)的軌跡跟蹤與橫擺穩(wěn)定性協(xié)調(diào)控制方法(如圖2 所示)，同時考慮非線性約束，增強軌跡跟蹤的精度；采用直接橫擺力矩控制(DYC)，以車輛穩(wěn)定性為控制目標，對4 個車輪驅(qū)動力矩進行優(yōu)化分配，提高車輛在極端工況下的穩(wěn)定性。

圖2 軌跡跟蹤與橫擺穩(wěn)定性協(xié)調(diào)控制架構(gòu)

1 車輛動力學模型

本文中主要研究目標是確保四輪輪轂電機獨立驅(qū)動電動汽車快速而準確地跟蹤參考軌跡，并保證在高速、低附著等極限工況下的車輛穩(wěn)定性，屬于車輛動力學控制的范疇。 建立車輛動力學模型用作模型預(yù)測控制器的預(yù)測模型，要求該模型既能準確地描述車輛的動力學響應(yīng)，又要盡可能地簡化以提高控制算法的執(zhí)行效率。 因此，對車輛模型的假設(shè)和簡化如下:

(1)忽略轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的影響，直接以前輪轉(zhuǎn)角為輸入；

(2)忽略懸架系統(tǒng)的作用，認為車廂只做平行于地面的平面運動，即忽略車輛的垂向運動；

(3)假定車輛輪胎工作在線性區(qū)；

(4)忽略空氣阻力和滾動阻力影響。

基于上述假設(shè)，搭建了僅考慮縱向運動、橫向運動和橫擺運動的3 自由度車輛模型，如圖3 所示。

圖3 3 自由度車輛模型

根據(jù)牛頓第二定律，汽車動力學平衡方程為

式中:m為整車整備質(zhì)量；Iz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；lf和lr分別為質(zhì)心到前、后軸的距離；δf為車輛前輪轉(zhuǎn)角；ψ為車輛橫擺角；Fxf和Fxr分別為前后輪胎所受縱向力；Fyf和Fyr分別為前后輪胎所受側(cè)向力；ΔMz為附加橫擺力矩。

由車身坐標系與大地坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得:

本文中采用了線性輪胎模型，由于側(cè)偏角和縱向滑動率較小時，輪胎力可用線性函數(shù)近似描述，且在側(cè)向加速ay≤0.4g時具有較高擬合精度，因此可得到輪胎的縱向力和側(cè)向力為

式中:Clf和Clr分別為前后輪輪胎縱向剛度；Ccf和Ccr分別為前后輪輪胎側(cè)偏剛度；sf和sr分別為前后輪輪胎的滑動率；αf和αr分別為前后輪輪胎側(cè)偏角。

當輪胎側(cè)偏角較小時，采用小角度假設(shè)，將其近似為

輪胎在地面上的滑動率s為

式中:r為車輪滾動半徑；ω為車輪轉(zhuǎn)動角速度。

對前輪轉(zhuǎn)角做小角度假設(shè)，即 sinδf≈δf，cosδf≈1，結(jié)合式(1)～式(6)，簡化的車輛動力學模型為

寫成狀態(tài)空間表達式的形式:

式中:ξ為狀態(tài)量；u為控制量；y為輸出量；C為輸出量矩陣。

2 軌跡跟蹤控制器設(shè)計

2.1 模型線性化

由于式(8)車輛模型為非線性模型，而基于非線性模型的預(yù)測控制算法求解困難且實時性差。 因此，本文中采用近似線性化方法對上述非線性車輛模型進行線性化處理。

由于所有參考軌跡點均須滿足車輛動力學方程，其一般形式為

將非線性模型在參考軌跡點采用泰勒級數(shù)展開并忽略高階項近似得到線性化模型:

將式(10)與式(9)相減進一步得到線性化車輛誤差模型:

采用前向歐拉方法，利用1 階差商代替微分得到離散狀態(tài)空間:

其中:Ak，t ＝I +TA(t) ；Bk，t ＝TB(t) ；Ck，t ＝C(t)式中:I為單位矩陣；T為模型預(yù)測控制器的采樣周期；k為離散步長。

2.2 模型預(yù)測方程構(gòu)建

系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為

式中η(k ｜t) 為預(yù)測時域內(nèi)系統(tǒng)輸出。

假設(shè)當前時刻為k，預(yù)測時域為Np，控制時域為Nc，且有Nc≤Np，未來Np個時間周期內(nèi)狀態(tài)變量和控制軌跡可表示為

基于狀態(tài)空間模型，可以推導(dǎo)出預(yù)測時域內(nèi)的狀態(tài)變量序列:

預(yù)測時域內(nèi)的系統(tǒng)輸出為

定義k時刻系統(tǒng)輸出:

定義k時刻系統(tǒng)輸入:

綜合式(19)和式(20)，將未來時刻系統(tǒng)輸出以矩陣的形式表達:

其中:

由以上公式推導(dǎo)可知，通過當前時刻的狀態(tài)量x(k｜k)和控制時域內(nèi)的控制增量ΔU(k)可以計算得到預(yù)測時域內(nèi)的狀態(tài)變量和系統(tǒng)輸出。

2.3 優(yōu)化求解

軌跡跟蹤控制器的求解不僅需要考慮狀態(tài)量約束、控制增量約束和狀態(tài)量約束，還要考慮輪胎物理特性約束和車輛穩(wěn)定性約束。

由于前文中假定輪胎工作于線性區(qū)，輪胎力計算采用的是近似表達式，為滿足輪胎側(cè)向力與輪胎側(cè)偏角呈線性關(guān)系，且保證輪胎力在附著極限內(nèi)，需要對輪胎側(cè)偏角、質(zhì)心側(cè)偏角進行如下限制:

式中:μ為路面附著系數(shù)；β為質(zhì)心側(cè)偏角。

為實現(xiàn)參考軌跡的實時跟蹤，應(yīng)以減少預(yù)測輸出與參考軌跡點之間的偏差為優(yōu)化控制目標，同時考慮轉(zhuǎn)向機構(gòu)、輪轂電機等執(zhí)行機構(gòu)限制。 由于車輛動力學模型是時變模型且引入多約束條件，難以保證優(yōu)化目標在每個時刻均能獲得可行解，因而在優(yōu)化目標中加入松弛因子以適當降低求解難度。 定義模型預(yù)測控制器的優(yōu)化目標函數(shù):

式中:ηref為參考輸出向量；Q∈R3×3和R∈R2×2分別為跟蹤精度和控制增量的權(quán)重矩陣；ε為松弛因子(ε＞0)；ρ為ε的權(quán)重系數(shù)。

目標函數(shù)的第一部分反映了以減小預(yù)測輸出與參考輸出間誤差為目標的軌跡跟蹤能力；第二部分反映了應(yīng)盡量減小控制量(即前輪轉(zhuǎn)角和附加橫擺力矩)波動。

將式(23)轉(zhuǎn)化成標準二次型形式以便于求解，在優(yōu)化目標函數(shù)中，控制量是以控制增量的形式存在的，因此約束條件也應(yīng)以增量或者控制增量與轉(zhuǎn)換矩陣相乘的形式來表示。

式中:ΔUt為控制變量增量；Ut為控制量；yhc為硬約束輸出量；ysc為軟約束輸出量。

在已知當前t時刻的狀態(tài)量ξ(t)和上一時刻的控制量u(t-1)的情況下，可在控制周期內(nèi)完成對優(yōu)化目標函數(shù)的求解，得到控制時域內(nèi)的一系列最優(yōu)控制增量序列。

將該序列中的第一個元素作為實際控制輸入增量作用于系統(tǒng)。

進入下一個控制周期后，重復(fù)上述過程，如此循環(huán)實現(xiàn)對車輛的軌跡跟蹤控制。

2.4 控制器參數(shù)選擇

預(yù)測時域和控制時域是模型預(yù)測控制器中的兩個關(guān)鍵參數(shù)，它們的取值能夠直接影響控制器的控制效果。

2.4.1 預(yù)測時域

在每個時間周期，模型預(yù)測控制器對控制對象在未來一定時間周期的系統(tǒng)輸出做出預(yù)測，并利用優(yōu)化求解器找出最佳控制輸入序列，使控制對象的輸出盡可能地逼近設(shè)定點，該預(yù)測時間周期即為預(yù)測時域Np。 預(yù)測時域的大小主要影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速跟蹤性。 當Np取值較小時，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)快，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性較差；當Np取值較大時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好，但動態(tài)響應(yīng)能力較差。 因此，對于Np的選擇，應(yīng)權(quán)衡系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)能力，其基本要求是應(yīng)大于時滯延遲，以盡可能地覆蓋控制對象的主要動態(tài)特性部分。

2.4.2 控制時域

從當前時刻k開始的Nc個時間周期為控制時域，在控制時域以外預(yù)測時域內(nèi)保持控制輸入不變。控制時域內(nèi)每個周期的控制變量被認為是可優(yōu)化求解的自由變量。 在Np值確定的情況下，Nc值越小，在各個采樣點的系統(tǒng)跟蹤性能就越差。 控制時域的大小主要影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，因此，需要根據(jù)控制對象的動態(tài)性能要求選取，其基本要求是:首先滿足條件Nc≤Np；其次Nc值應(yīng)大于系統(tǒng)的非最小相位響應(yīng)時間，建議Nc取值范圍為預(yù)測時域Np的10%～20%(即 0.1Np≤Nc≤0.2Np)，且至少 2～3 個周期。

3 下層轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配控制器

下層轉(zhuǎn)矩分配控制器的任務(wù)是在多約束條件下求解最優(yōu)輪胎縱向力分配以滿足附加橫擺力矩ΔMz和縱向需求驅(qū)動力Fx＿exp的要求。 綜合考慮 4 個車輪的路面附著情況，建立了基于輪胎附著利用率最小化的優(yōu)化目標函數(shù)。

式中:Fxi j、Fyi j、Fzi j和μi j分別為 4 個車輪處的縱向力、側(cè)向力、垂向載荷和輪胎與路面間的附著系數(shù)；cij為各車輪所對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。

輪胎的縱向力和側(cè)向力存在耦合關(guān)系，二者受到附著摩擦橢圓的約束。 四輪輪轂電機獨立驅(qū)動電動汽車的各輪縱向力獨立可控，但側(cè)向力主要通過轉(zhuǎn)向系統(tǒng)控制。 本文中上層控制器通過求解優(yōu)化函數(shù)得到附加橫擺力矩，而下層控制器則盡量使各輪胎縱向力最小化，以保留側(cè)向力裕度，提高車輛穩(wěn)定性。 為方便計算，將優(yōu)化目標函數(shù)簡化為

在優(yōu)化分配算法求解過程中，有效解既要滿足上層廣義力與力矩需求，同時又受驅(qū)動電機最大輸出轉(zhuǎn)矩和路面附著條件限制，因此，約束條件為

式中:Bf和Br分別為前、后軸輪距；Tmax為輪轂電機所能提供的最大驅(qū)動轉(zhuǎn)矩。

上述優(yōu)化問題的優(yōu)化目標可分為兩部分:第一部分為性能優(yōu)化目標，即通過最小化輪胎縱向力增加穩(wěn)定裕度；第二部分是通過輪胎縱向力實現(xiàn)上層目標控制力(矩)需求，即Bu＝v。 采用二次規(guī)劃對驅(qū)動力矩進行求解，利用權(quán)重系數(shù)將兩部分優(yōu)化合并在一起。

式中:Wv為對角加權(quán)矩陣，通過調(diào)整權(quán)重改變目標控制力(力矩)的優(yōu)先級；Wu為加權(quán)矩陣；cij為調(diào)整車輪縱向力在優(yōu)化目標函數(shù)的權(quán)重；γ為權(quán)重系數(shù)，當權(quán)重系數(shù)很大時，在約束條件下優(yōu)先滿足。

由于輪轂電機所能提供的最大驅(qū)動力為

因此，控制變量的邊界條件為

該形式的優(yōu)化轉(zhuǎn)矩分配問題為凸二次規(guī)劃問題，由于有效集法具有迭代次數(shù)較少、計算效率高等優(yōu)點，且適用于中小規(guī)模二次規(guī)劃問題，因此本文中將有效集法用于上述優(yōu)化轉(zhuǎn)矩分配問題求解。

4 仿真分析

本文中采用雙移線軌跡作為參考軌跡，該工況可以充分驗證本文中提出的協(xié)調(diào)控制策略在高速和低附著工況下的控制性能。 利用 Matlab/Simulink與車輛動力學仿真軟件CarSim 搭建了聯(lián)合仿真平臺，具體車輛參數(shù)見表1，軌跡跟蹤和橫擺穩(wěn)定性協(xié)調(diào)控制算法封裝在S-Function 模塊中。

表1 車輛模型部分參數(shù)

4.1 不同車速下雙移線工況

為驗證控制器在不同車速下的有效性和可靠性，選擇在附著條件(μ＝0.8)良好的路面上分別以車速30、60 和90 km/h 開展仿真測試。

仿真結(jié)果如圖4 所示，圖4(a)和圖4(c)分別表示車輛的位置信息和姿態(tài)信息，在中低車速30 和60 km/h情況下，車輛可以準確地跟蹤參考軌跡，僅在彎道處有微小的跟蹤偏差，跟蹤性能良好。 隨著車速的升高，在高速90 km/h 情況下，車輛實際跟蹤效果變差，車輛實際行駛軌跡相對于參考軌跡存在一定的滯后，但考慮到車速較高，跟蹤誤差仍在可接受范圍內(nèi)。 圖4(b)采用均方根誤差(RMS)和最大誤差(MAX)對橫向位移誤差進了統(tǒng)計分析，直觀地描述了不同車速下的軌跡跟蹤效果。 圖4(d)表明，隨著車速的提高，前輪轉(zhuǎn)角動作時間顯著提前。 從圖4(e)、圖4(f)和圖4(g)可以看出，車輛質(zhì)心側(cè)偏角、橫擺角速度均保持在極限范圍內(nèi)且收斂性良好；在高速下車輛的側(cè)向加速度超過了0.4g，此時線性輪胎模型的精度會受到一定影響，導(dǎo)致輪胎力的計算值與真實值間存在偏差，但車輛整體運行未失穩(wěn)，驗證了橫擺穩(wěn)定性控制的有效性。 圖4(h)描述了MPC 控制器每個運算周期所需要的計算時間，可以看出，運算平穩(wěn)、效率較高，可以滿足控制器的實時性要求。 圖4(i)和圖4(j)分別為車輛在90 km/h下的優(yōu)化分配轉(zhuǎn)矩和輪胎負荷率。 可以看出，異側(cè)車輪轉(zhuǎn)矩不同，產(chǎn)生了附加橫擺力矩；由于前輪為車輛轉(zhuǎn)向輪，造成前輪的輪胎負荷率要明顯高于后輪，但負荷率低于0.5，可為車輛提供足夠的側(cè)向穩(wěn)定裕度。 上述結(jié)果表明，協(xié)調(diào)控制器在不同車速下均能較好地跟蹤參考軌跡，在中低車速下跟蹤效果良好，在高速下仍能在保證一定跟蹤精度的前提下保持車輛運動穩(wěn)定性。

圖4 不同車速下的仿真結(jié)果

4.2 不同路面附著條件下雙移線工況

在低附著路面下，輪胎可提供的側(cè)向力不足易導(dǎo)致路徑跟蹤效果不佳，甚至引起車輛失穩(wěn)。 為了驗證本文中提出的協(xié)調(diào)控制器在不同路面附著條件下的魯棒性，在高附(μ＝0.8)和低附(μ＝0.3)路面以70 km/h 的車速開展仿真測試。

仿真結(jié)果如圖5 所示。 軌跡跟蹤效果如圖5(a)和圖5(c)所示，在不同路面附著條件下均能取得較好的軌跡追蹤效果，但相對于高附情況，低附情況下的跟蹤誤差稍大。 圖5(b)反映了橫向位移偏差的統(tǒng)計情況，低附情況下的均方根誤差和最大誤差值均明顯高于高附情況。 從圖5(d)可以看出，低附情況下的前輪轉(zhuǎn)角變化較大，趨于穩(wěn)定的時間更長，但由于橫擺穩(wěn)定性控制的作用，前輪轉(zhuǎn)角未超出極限范圍。 從圖5(e)可以看出，相對于高附情況，低附情況下的橫擺角速度收斂時間更長，且存在小幅波動，但整體上兩種路面附著條件下的橫擺角速度變化均較小，保證了車輛的穩(wěn)定性。 圖5(f)表示質(zhì)心側(cè)偏角隨時間的變化關(guān)系，低附情況下在第二個彎道處質(zhì)心側(cè)偏角變化稍大，但仍被限定在較小范圍，表明具有良好的軌跡跟蹤性能和行駛穩(wěn)定性。 圖5(g)表明，兩種附著條件下側(cè)向加速度均被限制在0.4g范圍內(nèi)，雖然低附路面情況下輪胎可提供的側(cè)向力較小，但直接橫擺力矩控制可有效彌補這一缺陷，保證了車輛的運動穩(wěn)定性。 圖5(h)所反映的MPC 控制器計算時間較短，可保證系統(tǒng)在有效時間內(nèi)求得可行解。 圖5(i)和圖5(j)分別為車輛在μ＝0.3 下的優(yōu)化分配轉(zhuǎn)矩和輪胎負荷率，負荷率最高值低于0.6，仍可為車輛提供一定的側(cè)向穩(wěn)定裕度。

圖5 不同附著條件下的仿真結(jié)果

5 結(jié)論

本文中針對四輪輪轂電機獨立驅(qū)動電動汽車在高速、低附等極限工況下的軌跡跟蹤問題，提出了一種基于分層架構(gòu)的軌跡跟蹤與橫擺穩(wěn)定性協(xié)調(diào)控制策略，上層為模型預(yù)測控制器，下層為轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配控制器，通過CarSim&Simulink 聯(lián)合仿真平臺進行了仿真驗證。 仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的協(xié)調(diào)控制器在不同車速和不同附著條件下均有較好的魯棒性，尤其在中低車速和良好附著條件下的軌跡跟蹤效果較好，在高速、低附情況下存在一定的跟蹤誤差，但仍可滿足車輛對跟蹤精度和運動穩(wěn)定性的要求。

本文中模型預(yù)測控制器的參數(shù)為人工調(diào)試獲得，對于復(fù)雜工況及真實駕駛環(huán)境的適應(yīng)性還有待提高，高速、低附情況下的跟蹤精度也可通過選擇更優(yōu)的控制周期、預(yù)測時域和控制時域來加以改善。