注重知識結構 引領深度學習

龐仕林

摘? ? 要：注重知識結構是深度學習的前提，課堂以知識體系為線索穩(wěn)步推進，才能建立良好的認知結構.深度學習，要深挖教材內容的內涵，找出知識間的聯(lián)系以及包含的數(shù)學思想方法，而且還需要根據(jù)學生的實際情況來安排內容.

關鍵詞：深度學習;知識結構;認知結構

指向深度學習的數(shù)學課主要是優(yōu)化知識結構，改善陳述性記憶系統(tǒng)效能，使知識結構化、系統(tǒng)化、簡約化，讓學生減少遺忘，加強知識聯(lián)系，培養(yǎng)知識遷移和轉化化歸能力，進而在深度思考中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).下面以《三角形中的范圍問題》復習課的教學設計為例，談一談教學過程和思考.

一、以題引入? ?回憶舊知

教師的課堂設計就像電影的劇本一樣，要拍出吸引人的電影，劇本一定要有吸引力.什么是“好劇本”呢？

首先，要有邏輯性，不能上下沒有任何聯(lián)系就橫空出世，這樣就容易讓觀眾（學生）云里霧里，搞不清方向.比如，本節(jié)復習課前面就是以舊知為基礎，通過演繹推理來解決問題，這樣的復習就不僅僅是回憶知識點，而且能對知識點加深認識并且靈活運用.在此過程中學生明晰運算對象，選擇正確的算法，算出結果，從而培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

課堂開始，請學生獨立完成下面6道小題：

（1）[12sinx+32cosx=]? ? ? ? ? ? ? .

（2）[32sinx+32cosx=]? ? ? ? ? ? ? .

（3）在[△ABC]中，[A=π6， B=π3]，則[C=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

（4）在[△ABC]中，[b2+c2-a2=bc，]則[A=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（5）[在△ABC]中，[A=π6， b=1， c=2，]則[S△ABC=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

（6）如圖1，在[△]ABC中，[a=1， A=π6]，則[△ABC]外接圓的半徑[R=]? ? ? ? ? ? ? .

【設計意圖】教師應為提升學生的認知水平而設計教學.本堂課教師幫助學生預備和激活知識，用簡單題喚醒學生在本節(jié)課所用到的舊知，為學生對知識的靈活應用鋪下臺階，從而進入深度學習.

其次，要有趣味性.進入深度學習，問題要從情感上讓學生愿意接受，進而有探究的欲望.本節(jié)課交代問題研究的背景，從而勾起學生研究的欲望.

師：根據(jù)圖2，請同學們對下面兩個問題進行思考.

問題1：已知兩角一邊，三角形能否確定？

問題2：已知一邊一角，三角形能否確定？

問題背景：不定三角形.

【設計意圖】用熟悉的問題引出研究的問題，交代問題背景，引起學生探索的欲望，使學生能夠盡快進入角色，為進入深度學習打下情感基礎.

最后，要有梯度，注意鋪設的臺階數(shù)和臺階的高度，這個主要取決于學生的實際水平.對于層次低一點的學生臺階數(shù)盡量多一點，臺階高度盡量低一點;對于層次高的學生，臺階數(shù)可以減少，臺階的高度也可以高一些.題目可以設置多問，讓學生一步步解決，最終解決最后一問，這樣學生能夠非常專注而且積極地投入到解決更復雜的問題中去.而深度學習向更高認知水平邁進，這一點在本堂課接下來例題設置的小問上能夠體現(xiàn)出來.

二、一題多解? ?認識本質

將解答例題的方法用來解決類似問題，是對學生真正理解該方法的評價標準之一，也是進入深度學習的評價標準之一.深度學習強調學習內容的有機整合，把多種知識和信息進行聯(lián)系，通過學生的同化和順應，與原有的知識結構進行深度融合[1].所以在課堂上，我們要將例題中學生所學到的方法，通過變式，引導學生深入分析出幾種不同方法進行解答，真正理解該問題的本質，使知識方法能夠發(fā)生遷移.例如，在本堂課中的例題先用常用的代數(shù)方法，然后再用幾何方法解釋代數(shù)方法，使其了解問題的本質，進而能夠進行方法的遷移.為后面研究已知一邊及鄰邊問題，提供解決的策略.學生能夠通過例題的研究方法解決該變式問題，形成方法的遷移，進而對該方法有深度的理解，從而對該方法能夠靈活運用.

例1? ?如圖3，在[△ABC]中，角[A， B， C]所對的邊分別為[a， b， c， A=π3，a=3]，

（1）求角[B]的取值范圍;

（2）求[sinB+sinC]的取值范圍;

（3）求[b+c]的取值范圍.

生1：（1）[0

（2）[sinB+sinC=sinB+sin[π-（A+B）]]

[? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =sinB+sin（π3+B）]

[=32sinB+32cosB]

[=3sin（B+π6）]

[又∵π6

[∴32

（3）[∵asinA=332=2=2R，]

∴b=2RsinB=2sinB，c=2RsinC=2sinC.

[∴b+c=2（sinB+sinC）]∈（[3]，2[3] ].

師：同學們，從上面計算過程來看，這兩邊之和取得最值時∠[B]的大小是多少呢？

生2：當∠[B]為[π3]時取最大值，而且此時△ABC為等邊三角形，當∠[B]接近0弧度時，就接近最小值.

師：這位同學回答很正確，我們借助幾何畫板，直觀來觀察一下.

（通過幾何畫板移動[A]點位置，觀察[b+c]的大小變化）

【設計意圖】要求學生深度學習，題目設置必須是促進式的、層次性的、階梯式的.這道例題設置了3問，層層相扣，前一問為后一問搭橋，難度層層遞進，由簡單到復雜.這道例題除了用代數(shù)的方法解之外，還要求用幾何的方法求解，利用幾何畫板演示，通過展示發(fā)現(xiàn)[A]點運動到[BC]弧的中點時達到最大，從而直觀地解釋代數(shù)方法，揭示問題的本質，為知識遷移打下基礎.

例2? ?如圖4，在[△ABC]中，角[A，B，C]所對的邊分別為a， b， c，

A[=π3，a=3，]則[△ABC]面積的最大值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

生3：BC邊不變，當A點到BC邊上的距離達到最大值時面積最大，且A在半徑固定的外接圓上運動，面積達到最大值時[△]ABC恰好為等邊三角形，

[Smax=34（3）2=334]

變式? ?在[△ABC]中，角[A， B， C]所對的邊分別為[a， b， c， AB=23，C=2π3，]求[△]ABC面積的最大值（如圖5）.

生4：由畫圖可知，當C點在圓上轉到離AB距離最大時面積達到最大，此時AB=AC，高h就為C 到AB的距離，所以[Smax=12ABh=3].

【設計意圖】通過對問題本質的認識，將上題的求周長問題改為求面積問題，讓學生進入一個看似新的環(huán)境，促使學生對內容的有機整合，讓知識之間建立聯(lián)系，以達到記憶深刻及能夠遷移應用.變式將角度變?yōu)殁g角，通過改變一個小條件，檢測學生對上述方法的掌握，從而達到靈活運用幾何方法的目的. 必要時還可引導學生進一步理解，使之達到拓展水平.

三、問題拓展? ?知識遷移

授魚還是授漁，數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識轉化為能力的橋梁[2].所以我們要授之以漁，就必須滲透數(shù)學思想方法，讓學生領悟，進而能夠達到融會貫通，舉一反三之功效，這是進入深度學習的前提條件.筆者在本節(jié)課中，有意識地滲透數(shù)學思想方法，在例題中用圖形來解釋代數(shù)問題，體現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想.另外在解決問題的過程中，將不熟悉問題轉化為熟悉問題，這又體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想方法.正是有了這些思想方法的滲透，才使得知識遷移成為可能.

例3? ?如圖6，在銳角[△ABC]中，角[A， B， C]所對的邊分別為[a， b， c， B=π3，c=1，]

（1）求角[C]的取值范圍;

（2）求[sinAsinC]的取值范圍;

（3）求[△ABC]面積的取值范圍.

生5：（1）[π6

（2） [sinAsinC=sin （2π3-C）sinC=32tanC+12∈（12，2）];

（3） [S =12acsinB = 12 asinB =34sinAsinC]

[∈（38，32）].

生6：第（3）問，[S=34a]，當越接近C角的最小值時，[a]邊會越大.當越接近C角的最大值時，[a]邊會越小，所以面積的取值范圍為[（38，32）].

【設計意圖】將問題條件由已知邊及其對角遷移到已知一邊及其鄰角，求面積的最大值.學生通過前面的鋪墊，已經(jīng)具備解決該問題的方法，學生要解決這個新的問題需要將前面的知識和方法遷移過來，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，從而達到深度學習的最高認知水平.

四、總結提升? ?優(yōu)化建構

深度學習著重學習過程的反思.所以一堂完整的課，總結是必不可少的.通過總結，可以使自身的知識建構得以圓滿.

師：請同學們對本堂課的學習內容及解決問題策略進行總結.

生7：這節(jié)課主要針對的是三角形中的范圍問題，并用幾何法和代數(shù)法兩種方法，從中我領悟到數(shù)形結合的解題策略和轉化與化歸的解題策略.

【設計意圖】通過總結加深對方法的理解，同時也引導學生對知識建構反思，從而養(yǎng)成反思、調整、改造的良好習慣.

本堂課教學結構設計中的各板塊聯(lián)系緊密，先喚起本堂課所用到的舊知，再交代研究問題的背景，然后再對常見的定外接圓求角和邊的范圍問題求解，最后過渡到已知一角及鄰邊的不熟悉問題求解，實現(xiàn)知識的遷移.學生從熟悉問題向不熟悉問題探索，思維也逐步向高階思維發(fā)展.發(fā)展學生的高階思維，有助于實現(xiàn)深度學習.同樣，深度學習也有助于高階思維的發(fā)展.另外，教學提倡深度學習，要深挖教材內容的內涵，找出知識間的聯(lián)系以及包含的數(shù)學思想方法，而且還需要根據(jù)學生的實際情況來安排內容.

參考文獻：

[1]黃加衛(wèi).例析基于核心素養(yǎng)的“深度學習”[J].數(shù)學通訊，2020（9）：12-16.

[2]游璐璠.“授魚”還是“授漁”[J].福建中學數(shù)學，2017（15）：107.