直覺正態(tài)模糊數(shù)Choquet 積分算子及其決策應(yīng)用

常娟，杜迎雪，劉衛(wèi)鋒

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南鄭州, 450046）

0 引言

多屬性決策方法（multi-attribute decision method,MADM）可用于解決工程、經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域中的諸多問題。通常決策屬性指標(biāo)體系應(yīng)具有獨(dú)立性、完備性和代表性，但在實(shí)際問題中，屬性指標(biāo)體系的獨(dú)立性常常難以滿足。例如，若用價(jià)格、性能和售后3個(gè)屬性指標(biāo)選擇設(shè)備，一般來說，性能和售后好的設(shè)備價(jià)格高，即屬性間的權(quán)重不滿足可加性，若用加權(quán)算術(shù)平均算子（WA）對(duì)屬性信息集結(jié)，則屬性間的關(guān)聯(lián)可抵消各屬性的獨(dú)立貢獻(xiàn)[1]。因此，對(duì)屬性間存在關(guān)聯(lián)的MADM 問題的研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。1974 年，SUGENO[2]首次提出模糊測度的概念，MARICHAL[3]通過對(duì)模糊測度的研究，提出屬性間的關(guān)聯(lián)均可用模糊測度度量。而基于模糊測度的Choquet 積分[4-5]可以靈活地體現(xiàn)輸入變量間的相互關(guān)聯(lián)情況。因此，利用模糊測度和Choquet積分解決屬性間有關(guān)聯(lián)的MADM 問題，這一方法廣受關(guān)注。其中文獻(xiàn)[1,6-7]研究了在實(shí)數(shù)情況下屬性信息有關(guān)聯(lián)的MADM 方法，并用于解決實(shí)際問題。隨后研究者們相繼開展了對(duì)屬性間具有關(guān)聯(lián)性的模糊MADM 問題研究。其中，高巖等[8]利用Choquet 積分構(gòu)造了非線性規(guī)劃模型，提出一種直覺模糊MADM 方 法；XU[9]和TAN 等[10-11]基 于Choquet 積分的直覺模糊數(shù)和區(qū)間直覺模糊數(shù)構(gòu)造了關(guān)聯(lián)信息集成算子，并研究這些算子的性質(zhì)，TAN 等[11]提出了基于Choquet 積分的逼近理想解排序（technique for order preferences by similarity to an ideal solution,TOPSIS）法，用于解決區(qū)間直覺模糊信息的MADM 問題；曲國華等[12]則結(jié)合模糊測度、Choquet 積分和Shapley 值，提出了改進(jìn)的直覺模糊TOPSIS 法；王堅(jiān)強(qiáng) 等[13]、萬樹平 等[14]研究基 于Choquet 積分的直覺三角模糊數(shù)的決策方法和集成算子，并分別給出了利用優(yōu)化模型確定模糊測度的方法；陶長琪等[15]、周曉輝等[16]分別提出了基于Choquet 積分的直覺模糊數(shù)、區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)信息集成算子，并給出了具體的決策方法。

考慮現(xiàn)實(shí)生活中大量隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布，1996 年，YANG 等[17]定義了正態(tài)模糊數(shù)，指出正態(tài)模糊數(shù)在刻畫模糊信息時(shí)更接近人類思維，也更為準(zhǔn)確[18]。在模糊MADM 問題中，可以借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，給出正態(tài)模糊數(shù)形式的屬性信息。然而，單純用正態(tài)模糊數(shù)表示屬性值，則暗含決策者對(duì)這一信息是完全認(rèn)可的，無法反映決策者對(duì)這一信息的信任程度和猶豫程度。而直覺模糊集的隸屬度、非隸屬度和猶豫度可細(xì)致刻畫決策者的支持、反對(duì)和中立三種態(tài)度。因此，結(jié)合直覺模糊集的思想，王堅(jiān)強(qiáng)等[19]在正態(tài)模糊數(shù)基礎(chǔ)上增加了隸屬度和非隸屬度信息，并定義了直覺正態(tài)模糊數(shù)。目前，有關(guān)直覺正態(tài)模糊數(shù)的研究成果主要有：王堅(jiān)強(qiáng)等[19-20]定義了直覺正態(tài)模糊數(shù)的運(yùn)算、距離、得分函數(shù)和精確函數(shù)，提出直覺正態(tài)模糊數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子和誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)平均算子；劉政敏等[21]則給出了不同于文獻(xiàn)[19]的直覺正態(tài)模糊數(shù)的運(yùn)算法則，定義了直覺正態(tài)模糊數(shù)的期望值，并提出了準(zhǔn)則間具有優(yōu)先關(guān)系的直覺正態(tài)模糊數(shù)集成算子；常娟等[22]提出了權(quán)重由集結(jié)數(shù)據(jù)確定的直覺正態(tài)模糊數(shù)冪均算子；文獻(xiàn)[23-24]則定義了區(qū)間直覺正態(tài)模糊數(shù)的運(yùn)算，并給出了區(qū)間直覺正態(tài)模糊數(shù)的一些集成算子，如有序加權(quán)幾何平均算子、連續(xù)有序加權(quán)幾何平均算子、誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子和誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子。

上述關(guān)于直覺正態(tài)模糊數(shù)的集成算子均是基于屬性間相互獨(dú)立的情形下展開的討論，而在實(shí)際決策問題中，屬性間往往是相互關(guān)聯(lián)的。因此，研究屬性間的關(guān)聯(lián)性且屬性值為直覺正態(tài)模糊數(shù)的MADM 問題，具有重要的理論和實(shí)際意義。為此，在文獻(xiàn)[22]定義的直覺正態(tài)模糊數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)上,利用模糊測度λ，將Choquet 積分用于直覺正態(tài)模糊數(shù)，構(gòu)建直覺正態(tài)模糊數(shù)Choquet 積分平均（INFCA）算子和直覺正態(tài)模糊數(shù)Choquet 積分幾何（INFCG）算子，詳細(xì)探討其性質(zhì)和特殊形式。此外，通過構(gòu)建線性規(guī)劃模型，提出一種確定各屬性子集模糊測度λ的方法，進(jìn)而給出基于直覺正態(tài)模糊Choquet 積分算子的MADM 方法。最后，通過實(shí)例驗(yàn)證該方法的可行性和有效性。

1 相關(guān)概念

1.1 直覺正態(tài)模糊數(shù)

若正態(tài) 模糊數(shù)=(a,σ),則由定 義2，得E()=a,D()=。在實(shí)際問題中，可借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法得到正態(tài)模糊數(shù)形式的屬性信息。例如，對(duì)某一實(shí)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行100 次觀測，經(jīng)計(jì)算,樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.669 0 和0.059 5，即a=0.669 0，=0.059 5，σ=0.084 1,則可用正態(tài)模糊數(shù)(0.669 0,0.084 1)表示該參數(shù)的觀測值。通過對(duì)正態(tài)模糊數(shù)添加隸屬度和非隸屬度，王堅(jiān)強(qiáng)等[19]提出了直覺正態(tài)模糊數(shù)。

定義3[19]設(shè)(a,σ)∈,稱A=〈(a,σ),μA,νA〉為直覺正態(tài)模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)分別為

1.2 模糊測度和Choquet 積分

定義7[2]設(shè)P(X)為有限集X的冪集,映射ψ:P(X)→[0,1]滿足條件：

（1）ψ(?)=0,ψ(X)=1;

（2）若X1，X2∈P(X)，X1?X2，則ψ(X1)≤ψ(X2)，稱ψ為X上的模糊測度。

為提高模糊測度計(jì)算的可行性，SUGENO 又提出了λ模糊測度。

定義8[2]給定λ∈(-1,∞),P(X)為有限集X的冪集，設(shè)映射gλ:P(X)→[0,1]滿足條件：

定義9[5]若f為定義在X={x1,x2,…,xn}上的非負(fù)函數(shù)，ψ為X上的模糊測度，則f關(guān) 于ψ的 離散Choquet 積分為

2 直覺正態(tài)模糊數(shù)Choquet 積分算子

基于模糊測度的Choquet 積分可以體現(xiàn)輸入信息間的關(guān)聯(lián)情況，鑒于此，為解決屬性間關(guān)聯(lián)的直覺正態(tài)模糊數(shù)MADM 問題，根據(jù)直覺正態(tài)模糊數(shù)的運(yùn)算法則和Choquet 積分的定義，構(gòu)造直覺正態(tài)模糊數(shù)Choquet 積分算子。

2.1 INFCA 算子

定義10設(shè)X={x1,x2,…,xn},定義在X上的直覺正 態(tài)模糊數(shù)組Ai=〈(ai,σi),μi,νi〉(i=1,2,…,n),ψ為X上的模 糊測度,Ai關(guān) 于ψ的離散Choquet 積分為

則稱INFCA 為直覺正態(tài)模糊數(shù)Choquet 積分平均算子，簡稱INFCA 算子。其中下標(biāo)(i)為1,2,…,n的置換，滿 足A(1)≤A(2)≤…≤A(n),X(i)={x(i),x(i+1),…,x(n)},且X(n+1)=?。

定理1設(shè)定義在X上的直覺正態(tài)模糊數(shù)Ai=〈(ai,σi),μi,νi〉,i=1,2,…,n,ψ為X上的模糊測度，則INFCA(A1,A2,…,An)∈Ω,且INFCA(A1,A2,…,An)=

INFCA 算子的基本特點(diǎn)是：對(duì)直覺正態(tài)模糊數(shù)A1,A2,…,An按升序排列后進(jìn)行加權(quán)關(guān)聯(lián)集成，將屬性子集的模糊測度差ψ(X(i))-ψ(X(i+1))作為集成時(shí)的位置權(quán)重，其與Ai無關(guān)。

INFCA 算子具有以下性質(zhì)：

定 理 2設(shè)一組 正態(tài)模糊數(shù)Ai=〈(ai,σi),μi,νi〉,i=1,2,…,n,ψ為X上的模糊測度。其具有以下性質(zhì)

當(dāng)X上的模糊測度ψ比較特殊時(shí)，INFCA 算子具有以下特殊形式：

（1）若對(duì)任意Y∈P(X),且Y≠?，有ψ(Y)=1,則INFCA(A1,A2,…,An)=max {Ai};

（2）若對(duì)任意Y∈P(X),且Y≠X，有ψ(Y)=0,則INFCA(A1,A2,…,An)=min {Ai};

（3）若對(duì)任 意Y∈P(X),有ψ(Y)=,則

此時(shí)，INFCA 算子即為直覺正態(tài)模糊數(shù)加權(quán)平均（INFWA）算子；

（4）設(shè)(w1,w2,…,wn)為INFOWA 算子的權(quán)重向量，Y∈P(X),且|Y|為Y 中的元素個(gè)數(shù)，若對(duì)任意Y∈P(X),ψ(Y)=,有

此時(shí)，INFCA 算子即為直覺正態(tài)模糊數(shù)有序加權(quán)平均（INFOWA）算子。

2.2 INFCG 算子

定義11設(shè)X={x1,x2,…,xn},定義在X上的直覺正 態(tài)模糊 數(shù)Ai=〈(ai,σi),μi,νi〉,i=1,2,…,n,ψ為X上的模 糊測度,Ai關(guān) 于ψ的離散Choquet 積分：

則稱INFCG 為直覺正態(tài)模糊數(shù)Choquet 積分幾何算子，簡稱INFCG 算子。其中下標(biāo)(i)為1,2,…,n的置換，滿 足A(1)≤A(2)≤…≤A(n),X(i)={x(i),x(i+1),…,x(n)},且X(n+1)=?。

定理3設(shè)定義在X上的直覺正態(tài)模糊數(shù)Ai=〈(ai,σi),μi,νi〉,i=1,2,…,n,ψ為X上的模糊測度，則INFCG(A1,A2,…,An)∈Ω,且

同理，當(dāng)X上的模糊測度ψ比較特殊時(shí)，INFCG算子具有以下特殊形式：

（1）若對(duì)任意Y∈P(X),且Y≠?，有ψ(Y)=1,則INFCG(A1,A2,…,An)=max {Ai};

（2）若對(duì)任意Y∈P(X),且Y≠X，有ψ(Y)=0,則INFCG(A1,A2,…,An)=min {Ai};

（3）若對(duì)任 意Y∈P(X),有ψ(Y)=,則

INFCG(A1,A2,…,An)=,

此時(shí)，INFCG 算子即為直覺正態(tài)模糊數(shù)加權(quán)幾何平均（INFWG）算子。

（4）設(shè)(w1,w2,…,wn)為INFOWG 算子的權(quán)重向量，Y∈P(X),且|Y|為Y 中元素的個(gè)數(shù)，若對(duì)任意Y∈P(X),ψ(Y)=,有

此時(shí)，INFCG 算子即為直覺正態(tài)模糊數(shù)有序加權(quán)幾何（INFOWG）算子。

3 決策應(yīng)用

通過求解以上優(yōu)化模型可得各屬性指標(biāo)的λ模糊測度gi,i=1,2,…,n,再利用1+λ=確定參數(shù)λ的值，從而由定義8 可計(jì)算各屬性子集的λ模糊測度。

以下為基于INFCA（或INFCG）算子的直覺正態(tài)模糊數(shù)多屬性決策方法的具體步驟：

步驟1確定直覺正態(tài)模糊數(shù)決策矩陣(Aij)m×n。

步驟2規(guī)范化決策矩陣[19]。

步驟3計(jì)算各屬性指標(biāo)的λ模糊測度,以確定各屬性子集的λ模糊測度。

步驟4利用INFCA（或INFCG）算子對(duì)各方案的屬性值進(jìn)行集結(jié)，得到綜合屬性值。

步驟5利用定義6 對(duì)各方案的綜合屬性值從大到小進(jìn)行排序，得到最優(yōu)方案。

例1某制造公司在選擇供應(yīng)商時(shí)，有4 個(gè)考核指標(biāo)：供貨能力(u1)、交易能力(u2)、售后服務(wù)(u3)、企業(yè)實(shí)力(u4)，均為效益型指標(biāo)，顯然，u1，u2，u4這3 個(gè)指標(biāo)之間存在冗余關(guān)聯(lián)。設(shè)gλ(ui)=wi,i=1,2,3,4，表示各屬性指標(biāo)的重要程度，經(jīng)專家評(píng)定，滿足以下條件：0.1≤w1≤0.3,0.2≤w2≤0.4,0.3≤w3≤0.4,0.2 ≤w4≤0.4,0.3 ≤w1+w2≤0.4?，F(xiàn)有4個(gè)供應(yīng)商A1,A2,A3,A4,邀請(qǐng)多位相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜?，?duì)各供應(yīng)商進(jìn)行實(shí)地考察，并對(duì)各指標(biāo)的滿意度進(jìn)行打分（10 分制）。經(jīng)計(jì)算,供應(yīng)商A1在供貨能力u1下所得平均分為3，標(biāo)準(zhǔn)差為0.282 8，由定義2,打分結(jié)果可用正態(tài)模糊數(shù)（3,0.4）表示，考慮專家對(duì)此結(jié)果的認(rèn)可程度，對(duì)每位專家對(duì)正態(tài)模糊數(shù)（3,0.4）的接受程度再進(jìn)行投票，若接受比例為0.7，不接受比例為0.2，則A1在u1下的指標(biāo)值最終可通過直覺正態(tài)模糊數(shù)〈(3,0.4),0.7,0.2〉表示。類似地，可得到其他各項(xiàng)指標(biāo)值，具體如表1 所示。最后篩選出最優(yōu)供應(yīng)商。

步驟1規(guī)范化決策矩陣，如表2 所示。

表1 直覺正態(tài)模糊數(shù)決策矩陣Table 1 Intuitive normal fuzzy numbers decision matrix

表2 直覺正態(tài)模糊數(shù)規(guī)范化決策矩陣Table 2 Intuitive normal fuzzy numbers normalized decision matrix

步驟2計(jì)算各屬性子集的模糊測度。

首先，通過線性規(guī)劃模型：

步驟3利用INFCA 算子對(duì)規(guī)范化后各方案的屬性值進(jìn)行集結(jié)：

步驟4計(jì)算以上各方案綜合指標(biāo)值的得分函數(shù),分別得到0.317 0,0.523 2,0.375 9,0.726 8,則各供應(yīng)商的排序結(jié)果為A4?A2?A3?A1,最優(yōu)供應(yīng)商為A4。

文獻(xiàn)[19，22]在不考慮屬性關(guān)聯(lián)情況下分別利用TOPSIS 法和冪均算子法（λ=2），得到的排序結(jié)果均為A4?A2?A1?A3，與本文方法得到的最優(yōu)供應(yīng)商為A4一致。表1 的數(shù)據(jù)也表明，A4的各項(xiàng)指標(biāo)值占絕對(duì)優(yōu)勢，決策結(jié)果是合理的，但A1,A3的排序發(fā)生了變化?？梢?，考慮指標(biāo)間存在關(guān)聯(lián)性這一實(shí)際情況，確實(shí)會(huì)對(duì)排序結(jié)果產(chǎn)生影響。

4 結(jié)語

針對(duì)屬性間存在關(guān)聯(lián)性這一實(shí)際情況，筆者利用模糊測度和Choquet 積分，構(gòu)造了INFCA 算子和INFCG 算子，經(jīng)研究，這些算子具備較好的性質(zhì)且具有一些特殊形式。在具體的多屬性決策問題中，如何確定各屬性子集的模糊測度，本文也給出了具體方法。實(shí)例結(jié)果表明，本文的決策方法是可行和有效的,符合直覺正態(tài)模糊信息的決策問題屬性間的關(guān)聯(lián)性，是對(duì)現(xiàn)有的直覺正態(tài)模糊理論成果的補(bǔ)充和完善。