級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散問(wèn)題

李紅巖

（唐山學(xué)院基礎(chǔ)部，河北 唐山 063000）

18世紀(jì)，關(guān)于級(jí)數(shù)的研究還沒(méi)有形成完整的體系，級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散問(wèn)題并沒(méi)有引起數(shù)學(xué)家的重視。

牛頓、萊布尼茲以及拉格朗日和歐拉都把級(jí)數(shù)看成是多項(xiàng)式的代數(shù)形式。一開(kāi)始，他們可能并沒(méi)意識(shí)到，求和不僅僅是有限項(xiàng)的和，也可以推廣到無(wú)限多項(xiàng)的和，因此，他們并沒(méi)有完全重視無(wú)窮級(jí)數(shù)帶給他們的問(wèn)題。然而，研究工作中出現(xiàn)的關(guān)于無(wú)窮多項(xiàng)和的問(wèn)題讓他們不得不提出新的研究方向。最有意思的是，如何解決這類(lèi)問(wèn)題，以及在其他問(wèn)題中出現(xiàn)的相關(guān)困惑。

實(shí)際上，在17世紀(jì)就已經(jīng)有人觀(guān)察到了收斂與發(fā)散的不同，同樣是英國(guó)的數(shù)學(xué)家布龍克爾在研究反比例函數(shù)在第一象限下的面積和y=lnx兩者之間的關(guān)系時(shí)，利用幾何級(jí)數(shù)，證明了ln2和這兩個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性。牛頓和格雷戈里用級(jí)數(shù)的和來(lái)完善對(duì)數(shù)表、積分表及其他函數(shù)表。通過(guò)大量的計(jì)算，他們發(fā)現(xiàn)有些級(jí)數(shù)的和可能存在也可能不存在。而“收斂”和“發(fā)散”這兩個(gè)概念，格雷戈里早在1668年就提出過(guò)，但是他并沒(méi)有把這兩個(gè)概念加以深化和發(fā)展。而牛頓也認(rèn)識(shí)到，關(guān)于級(jí)數(shù)的斂散性的問(wèn)題，在相關(guān)研究中是必須要考慮的，他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)變量x取很小的值時(shí)，冪級(jí)數(shù)是收斂的，而當(dāng)x取某些值時(shí)，冪級(jí)數(shù)的和可能是無(wú)窮大量。

1713年，萊布尼茲在寫(xiě)給約翰·伯努利的信中第一次提到了現(xiàn)在已經(jīng)成為定理的萊布尼茲判別法：一個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)，若其符號(hào)交替變化，每一項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)減少并趨于零，則這個(gè)級(jí)數(shù)一定收斂。1742年，麥克勞林在他的著作《流數(shù)論》中提到：若一個(gè)流量可以表示為收斂的級(jí)數(shù)，那么它一定不能用一個(gè)代數(shù)項(xiàng)表示。麥克勞林還提出，一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)，它的項(xiàng)一定是單調(diào)遞減的，并且小于任意的小正數(shù)，所以級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)的和幾乎等于這個(gè)級(jí)數(shù)的和。同樣在他的這本著作中，麥克勞林給出了用積分判斷級(jí)數(shù)是否收斂的判別法：級(jí)數(shù)∑nf(n)收斂的充要條件是有界，其中f(x)在積分范圍a≤x≤∞上有界且保持符號(hào)不變。

尼古拉·伯努利在1712年和1713年寫(xiě)給萊布尼茲的信中也曾經(jīng)提到過(guò)級(jí)數(shù)收斂性的某些想法和見(jiàn)解，他說(shuō)：當(dāng)級(jí)數(shù)中的x小于等于-1，且n是一個(gè)分?jǐn)?shù)（分母為偶數(shù)）時(shí)，級(jí)數(shù)的和不存在。這說(shuō)明，級(jí)數(shù)是否發(fā)散并不是決定級(jí)數(shù)的和不存在的唯一條件。他同時(shí)還指出。當(dāng)都是發(fā)散的，但是第一個(gè)級(jí)數(shù)的和是一個(gè)實(shí)數(shù)，而第二個(gè)級(jí)數(shù)的和卻是一個(gè)虛數(shù)，所以，級(jí)數(shù)的和存在與否，是不能由級(jí)數(shù)發(fā)散來(lái)決定的。盡管他得出了這一結(jié)論，但是尼古拉·伯努利并沒(méi)有給出級(jí)數(shù)收斂的確切定義。萊布尼茲在回信中提出了“收縮”的概念，他同意伯努利的觀(guān)點(diǎn)，即不收縮的級(jí)數(shù)的和可以不存在。

在同一時(shí)期，歐拉也看到了發(fā)散級(jí)數(shù)在運(yùn)算中的特殊情況，但是關(guān)于級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念，他們都沒(méi)有給出清晰的結(jié)論，但是歐拉也意識(shí)到，對(duì)于收斂的級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的項(xiàng)必須單調(diào)遞減并趨于零。30年后，在與尼古拉·伯努利的通信中，歐拉關(guān)于級(jí)數(shù)的某些結(jié)論遭到了質(zhì)疑，尼古拉·伯努利指出，通過(guò)確實(shí)可以得到但是并沒(méi)有對(duì)x的一般級(jí)數(shù)的斂散性給予證明，而且他還質(zhì)疑歐拉，利用一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)怎么可能得出一個(gè)數(shù)量或者函數(shù)的精確值，因?yàn)橛囗?xiàng)被忽略掉了。

歐拉如何回復(fù)伯努利我們已經(jīng)不得而知了，但是他在后來(lái)給哥德巴赫的信中，引用了尼古拉·伯努利的理論，他說(shuō)+1-2+6-24+120-720+…是沒(méi)有和的，他同時(shí)也指出，盡管這個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和不存在，但是這些發(fā)散級(jí)數(shù)都有一個(gè)確切的“值”。這個(gè)“值”就是由級(jí)數(shù)而得到的代數(shù)表達(dá)式的值。他在1743年寫(xiě)給伯努利的回信中說(shuō)：盡管對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)和的問(wèn)題存疑，但是關(guān)于級(jí)數(shù)和的定義，并沒(méi)有出現(xiàn)失誤。伯努利回應(yīng)道：按照這個(gè)理論，兩個(gè)不一樣的函數(shù)可能展開(kāi)成同一個(gè)表達(dá)式，由此可以得出結(jié)論，和并不唯一，顯然這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，但是伯努利提不出具體的例子。

拉格朗日在他的早期著作中也提到了收斂與發(fā)散的不同，他說(shuō)，當(dāng)一個(gè)級(jí)數(shù)的第n項(xiàng)無(wú)限趨近于零是，這個(gè)級(jí)數(shù)就等于一個(gè)數(shù)值。到十八世紀(jì)末，他在研究泰勒級(jí)數(shù)時(shí)，給出了我們今天一個(gè)非常重要的公式，也就是泰勒定理，即這個(gè)就是我們常常提到的拉格朗日余項(xiàng)。他指出研究無(wú)窮泰勒級(jí)數(shù)，如果不考慮級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，是不正確的，但是他同樣沒(méi)有給出級(jí)數(shù)收斂的概念，也沒(méi)有指出無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性與余項(xiàng)之間的關(guān)系。級(jí)數(shù)的斂散性的研究通過(guò)柯西的研究，形成了一個(gè)初步結(jié)論，即要想得到數(shù)值或者函數(shù)的無(wú)窮收斂級(jí)數(shù)展開(kāi)式，必須滿(mǎn)足Rn→0。

后來(lái)的達(dá)朗貝爾也討論過(guò)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的關(guān)系，在18世紀(jì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究工作中，劍橋大學(xué)的盧卡斯教授也在級(jí)數(shù)的問(wèn)題上提出過(guò)自己的觀(guān)點(diǎn)?？偠灾跓o(wú)窮級(jí)數(shù)的研究方面，形式上的觀(guān)點(diǎn)占了主要位置，都沒(méi)有從實(shí)質(zhì)上去討論級(jí)數(shù)斂散性的問(wèn)題，直到19世紀(jì)，才形成了關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)很有意義的觀(guān)點(diǎn)，并被后人加以驗(yàn)證和承認(rèn)。