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    小學數(shù)學教學中學生數(shù)學思維的培養(yǎng)策略漫談

    2020-12-07 13:09:16韓亞飛
    魅力中國 2020年8期
    關鍵詞:算術加減法運算

    韓亞飛

    (河北省定州市東阜才小學,河北 定州 073000)

    事實上,即使就最為初等的數(shù)學內容而言,我們也可清楚地看到數(shù)學的抽象特點,而這就已包括了由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)學”的重要過渡。

    也正由于數(shù)學的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實情景,這就為相應的“純數(shù)學研究”提供了現(xiàn)實的可能性。例如,就以上所提及的加減法運算而言,由于其中涉及三個不同的量(兩個加數(shù)與它們的和,或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差),因此,從純數(shù)學的角度去分析,我們完全可以提出這樣的問題,即如何依據(jù)其中的任意兩個量去求取第三個量。

    綜上可見,即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言,就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學思維的一些重要特點,特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實意義與純數(shù)學研究這兩者之間所存在的辯證關系。當然,從理論的角度看,我們在此又應考慮這樣的問題,即應當如何去認識所說的純數(shù)學研究的意義。特別是,我們是否應當明確肯定由“日常數(shù)學”過渡到“學校數(shù)學”的必要性,或是應當唯一地堅持立足于現(xiàn)實生活。

    我們還應明確肯定數(shù)學知識向現(xiàn)實生活“復歸”的重要性。這正如著名數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾所指出的:“數(shù)學的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進行計數(shù),也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進行度量。……盡管運算(等)所涉及的方面十分豐富,但又始終是同一個運算──這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們容易忘記其所涉及的數(shù)以及他所面對的文字題中的算術問題的來源。但是,為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性,在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實。”

    總的來說,這就應當被看成“數(shù)學化”這一思維方式的完整表述,即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實原型抽象出相應的數(shù)學概念或問題,而且也包括了對于數(shù)量關系的純數(shù)學研究,以及由數(shù)學知識向現(xiàn)實生活的“復歸”。另外,相對于具體知識內容的學習而言,我們應當更加注意如何幫助學生很好地去掌握“數(shù)學化”的思想,我們應當從這樣的角度去理解“情境設置”與“純數(shù)學研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的:“數(shù)學化……是一條保證實現(xiàn)數(shù)學整體結構的廣闊途徑……情境和模型,問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的,但它們都應該服從于總的方法。”

    一、凝聚:算術思維的基本形式

    由以下關于算術思維基本形式的分析可以看出,思維的分析相對于具體知識內容的教學而言并非某種外加的成分,而是有著重要的指導意義。

    具體地說,這正是現(xiàn)代關于數(shù)學思維研究的一項重要成果,即指明了所謂的“凝聚”,也即由“過程”向“對象”的轉化構成了算術以及代數(shù)思維的基本形式,這也就是說,在數(shù)學特別是算術和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的,但最終卻又轉化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質,也可以此為直接對象去施行進一步的運算。

    例如,加減法在最初都是作為一種過程得到引進的,即代表了這樣的“輸入-輸出”過程:由兩個加數(shù)(被減數(shù)與減數(shù))我們就可求得相應的和(差);然而,隨著學習的深入,這些運算又逐漸獲得了新的意義:它們已不再僅僅被看成一個過程,而且也被認為是一個特定的數(shù)學對象,我們可具體地去指明它們所具有的各種性質,如交換律、結合律等,從而,就其心理表征而言,就已經歷了一個“凝聚”的過程,即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數(shù)學對象。再如,有很多教師認為,分數(shù)應當定義為“兩個整數(shù)相除的值”而不是“兩個整數(shù)的比”,這事實上也可被看成包括了由過程向對象的轉變,這就是說,就分數(shù)的掌握而言我們不應停留于整數(shù)的除法這樣一種運算,而應將其直接看成一種數(shù),我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

    二、互補與整合:數(shù)學思維的一個重要特征

    以上關于“過程-對象性思維”的論述顯然已從一個側面表明了互補與整合這一思維形式對于數(shù)學的特殊重要性。以下再以有理數(shù)的學習為例對此作出進一步的說明。

    首先,我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。

    具體地說,與加減法一樣,有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋,如部分與整體的關系,商,算子或函數(shù),度量,等等;但是,正如人們所已普遍認識到了的,就有理數(shù)的理解而言,關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋,更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的;而應對有理數(shù)的各種解釋(或者說,相應的心理建構)很好地加以整合,也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側面,并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉換。

    其次,我們應清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關系。

    眾所周知,大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征:“由于學生生活背景和思考角度不同,所使用的方法必然是多樣的,教師應當尊重學生的想法,鼓勵學生獨立思考,提倡計算方法的多樣化?!碑斎?,在大力提倡解題策略多樣化的同時,我們還應明確肯定思維優(yōu)化的必要性,這就是說,我們不應停留于對于不同方法在數(shù)量上的片面追求,而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法,包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然,后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數(shù)學思維的一個重要特點。

    綜上可見,即使是小學數(shù)學的教學內容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質,因此,在教學中我們應作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”這一重要目標。

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