積分概念教學(xué)中的若干思考

譚莉

（武漢商學(xué)院，湖北 武漢 430005）

一、引言

高等數(shù)學(xué)是理、工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，也是很多其他專(zhuān)業(yè)的必修課。高等數(shù)學(xué)一向以其高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性著稱(chēng)，高等數(shù)學(xué)主要的研究對(duì)象是變量，相對(duì)于研究常量和勻變量的初等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)的難度大大提升了，其中尤其以一些全新概念的出現(xiàn)讓學(xué)生感覺(jué)困難重重。

數(shù)學(xué)概念是指數(shù)學(xué)符號(hào)代表的、經(jīng)過(guò)抽象概括的具有共同屬性的數(shù)學(xué)對(duì)象、關(guān)系和性質(zhì)。由于數(shù)學(xué)概念是抽象思維的產(chǎn)物，所以它具有辯證性、客觀性、合理性等特點(diǎn)；同時(shí)數(shù)學(xué)概念也具有抽象和具體的雙重性，數(shù)學(xué)概念相互之間也具有邏輯聯(lián)系性。而且高等數(shù)學(xué)的概念基本上都是以運(yùn)動(dòng)的面貌出現(xiàn)的，是動(dòng)態(tài)的產(chǎn)物。高等數(shù)學(xué)中的概念有很多，例如極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等，這其中的很多概念都是貫穿于整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的，其中積分的概念更是貫穿始終，從一元函數(shù)的不定積分到定積分，再到多元函數(shù)的二重積分、三重積分、曲線(xiàn)積分、曲面積分，積分的概念和思想在整個(gè)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占了很大的比例。在積分概念的講解中應(yīng)該采取什么樣的方式和手段才能更好地建立概念之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地掌握這個(gè)重要的內(nèi)容是本文主要的研究?jī)?nèi)容。

二、積分概念講解中應(yīng)該注意的問(wèn)題和采取的方法

積分概念的教學(xué)要注重建立積分概念的過(guò)程，我認(rèn)為在積分概念的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

（一）講好積分概念的實(shí)際背景

高等數(shù)學(xué)中的很多概念都是為解決實(shí)際問(wèn)題而產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，有著良好的物理背景或幾何背景，所以在概念引入時(shí)利用這些資源，就可以更好地引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中理解并掌握概念，進(jìn)而能夠用所學(xué)習(xí)的概念解決新的問(wèn)題。

積分是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實(shí)際問(wèn)題?，F(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材中一般有兩個(gè)實(shí)際背景，一個(gè)是曲邊梯形的面積，一個(gè)是變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程。進(jìn)行積分概念的教學(xué)時(shí)，我們需要學(xué)生在已知曲線(xiàn)方程的情況下，設(shè)法求出以此曲線(xiàn)為一條曲邊的某個(gè)曲邊梯形的面積。面對(duì)這樣一個(gè)問(wèn)題，我一般首先引導(dǎo)學(xué)生和以往學(xué)習(xí)過(guò)的面積問(wèn)題建立聯(lián)系，將已有的知識(shí)體系和新的內(nèi)容鏈接起來(lái)。學(xué)生們都知道規(guī)則圖形的面積的獲得方式，面對(duì)復(fù)雜圖形，他們也能夠想到用切割的方式來(lái)將曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積和。這里我們會(huì)遇到第一個(gè)困難，那就是即使對(duì)曲邊梯形采取切割手段也不能夠把它全部轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，因此需要引導(dǎo)學(xué)生利用微分的幾何意義考慮小范圍的“以直代曲”。在對(duì)曲邊梯形分割之后，在小范圍內(nèi)將小曲邊梯形近似看作小矩形，這個(gè)過(guò)程中使用了高等數(shù)學(xué)中一個(gè)常見(jiàn)的處理問(wèn)題的方式—近似代替，這個(gè)方法在引出導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)曾經(jīng)用過(guò)，為了獲得瞬時(shí)速度通常會(huì)取一較小的時(shí)間段，求出在一個(gè)較小時(shí)間段內(nèi)的平均速度，用平均速度作為瞬時(shí)速度的近似值。這個(gè)方法在積分概念的講解中再次出現(xiàn)，也給了同學(xué)們啟示，和導(dǎo)數(shù)概念中類(lèi)似，獲得近似值后，分析當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)會(huì)有什么樣的效果，使學(xué)生自己意識(shí)到通過(guò)對(duì)分割出的各個(gè)小曲邊梯形的近似面積和取極限可以得到曲邊梯形面積的精確值。同理，我們引導(dǎo)學(xué)生求出變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程。然后總結(jié)一下這兩個(gè)不同的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)發(fā)現(xiàn)他們有很多的共同特點(diǎn)，對(duì)這些共同特點(diǎn)加以抽象定積分的概念便水到渠成。這樣的處理過(guò)程降低了概念講解的難度，同時(shí)也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程，有助于學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的提升。

（二）數(shù)形結(jié)合，建立積分概念的幾何意義和物理意義

盡管抽象性是數(shù)學(xué)概念的突出特點(diǎn)，但是直觀性在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中也占有重要地位。在日常的教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)直觀力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，因?yàn)橹庇^有助于概念的理解和掌握。介紹了定積分的概念之后，為了避免學(xué)生把定積分的定義僅停留于機(jī)械記憶上，需引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)使用的曲邊梯形的面積這個(gè)實(shí)例，由易到難逐步尋找到定積分的幾何意義，幫助學(xué)生理解概念，讓學(xué)生能夠從直觀上把握定積分所表達(dá)的內(nèi)容。在老師的引導(dǎo)下學(xué)生完全可以將變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程也用幾何的方式進(jìn)行表達(dá)，學(xué)生把定積分的幾何意義理解清楚了才能夠進(jìn)行知識(shí)遷移進(jìn)而用這樣的方法去理解二重積分的幾何意義。對(duì)于幾何意義不好展示的三重積分和曲線(xiàn)曲面積分，可以考慮使用物理意義幫助學(xué)生理解概念。

（三）把握積分概念的本質(zhì)

由以上的討論可以看出，借助于直觀的幾何意義，能很好地幫助學(xué)生促進(jìn)概念由抽象到具體的轉(zhuǎn)化。但是，想要正確而全面地理解和掌握概念，我們就一定要透過(guò)概念的形式揭示出積分概念的內(nèi)在本質(zhì)，從而使其成為非常透明的東西，這樣也有助于學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中很好地進(jìn)行知識(shí)遷移。就定積分概念而言，我們?cè)诮虒W(xué)中必須適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生跳出狹義的圈子，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，定積分與真實(shí)現(xiàn)象之間有著一般和特殊的關(guān)系，作為抽象思維的產(chǎn)物的定積分具有普遍的意義，它所反映的不是某一種特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類(lèi)事物或現(xiàn)象在量的方面的共同特征。除了曲邊梯形的面積，變速直線(xiàn)的路程以外，它還可以表示曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積、變力對(duì)物體做的功等，事實(shí)上，定積分的本質(zhì)就是無(wú)限細(xì)分和無(wú)限求和，它實(shí)際上表達(dá)的是一個(gè)乘積。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生再遇到和乘積有關(guān)的量，如果不是均勻變化的，定積分都有類(lèi)似的意義。理解了這一點(diǎn)學(xué)生在后面學(xué)習(xí)定積分的應(yīng)用中就能更好地理解和運(yùn)用相關(guān)的方法，也能夠更深刻地體會(huì)二重積分、三重積分以及曲線(xiàn)曲面積分的定義。理解了積分的本質(zhì)，學(xué)生就能理解為什么二重積分、曲線(xiàn)曲面積分也可以用類(lèi)似定積分的過(guò)程來(lái)解決。

（四）注重積分概念體系的建立

數(shù)學(xué)中的概念始終是高校教師授課的難點(diǎn)，往往讓學(xué)生感覺(jué)枯燥，難懂。但是概念不是孤立的，在實(shí)際教學(xué)工作中幫助學(xué)生理清概念之間的聯(lián)系，既可以達(dá)到更好地理解新概念的目標(biāo)，同時(shí)也有助于建立整個(gè)概念體系。筆者認(rèn)為一個(gè)概念體系的建立對(duì)于學(xué)生把握所學(xué)課程有著至關(guān)重要的意義。從定積分到重積分、曲線(xiàn)積分、曲面積分，這些積分概念本質(zhì)上有很多類(lèi)似的地方，教學(xué)過(guò)程中教師可以前后聯(lián)系，將整個(gè)積分概念當(dāng)作一個(gè)完整體系進(jìn)行介紹，這樣對(duì)重積分、曲線(xiàn)積分、曲面積分的概念講解難度就會(huì)下降，學(xué)生在學(xué)習(xí)中需重點(diǎn)把握這些積分概念中的不同之處。通?？梢允褂妙?lèi)比的方法建立概念間的聯(lián)系、異同。依靠類(lèi)比與聯(lián)想，可以幫助學(xué)生從二維空間進(jìn)入三維空間直至更高維空間，從有形進(jìn)入無(wú)形，從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入虛擬世界。

（五）將積分概念的發(fā)展史融入概念的講解中

在目前的高等數(shù)學(xué)教材中，微分內(nèi)容的學(xué)習(xí)是在積分內(nèi)容之前的。但實(shí)際上在歷史發(fā)展的過(guò)程中，積分思想的出現(xiàn)可以追溯到公元前5 世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)，積分思想的起源要遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于微分思想。現(xiàn)代研究者認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生主體主動(dòng)利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)去構(gòu)建的過(guò)程，在這個(gè)建構(gòu)過(guò)程中，應(yīng)深入到概念形成過(guò)程的內(nèi)部，對(duì)數(shù)學(xué)概念本身獨(dú)有的基本發(fā)展特征做細(xì)致的認(rèn)知分析。因此在定積分概念的教學(xué)中可以借助數(shù)學(xué)史來(lái)設(shè)計(jì)定積分的概念教學(xué)。教學(xué)開(kāi)始之前可以介紹微積分的發(fā)展史，著重介紹積分思想的發(fā)展過(guò)程，通過(guò)這個(gè)工作可以讓學(xué)生對(duì)積分概念的形成歷史有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。再根據(jù)老師設(shè)置的相關(guān)實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生逐步把握積分的思想本質(zhì)，接下來(lái)基于這個(gè)構(gòu)建過(guò)程就可以水到渠成地抽象概括出定積分的概念。整個(gè)教學(xué)過(guò)程形象而具體，能夠很好地加深學(xué)生對(duì)積分概念的理解。

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，也是一種創(chuàng)造性活動(dòng)。在積分教學(xué)的過(guò)程中，教師要多思考，善于利用各種方式和手段揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)概念的理解，建立完整的概念體系，幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念。