轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下的慣性力

王磊 張?zhí)旌?/p>

摘? ?要：慣性力是由于參考系本身相對(duì)于慣性參考系做加速運(yùn)動(dòng)所引起的力，慣性力因無施力物體而實(shí)際上并不存在，所以可以用是否存在慣性力來區(qū)別非慣性參考系和慣性參考系。在非慣性參考系中牛頓運(yùn)動(dòng)定律是不成立的，但在引入慣性力后，對(duì)非慣性參考系來講，牛頓運(yùn)動(dòng)定律在形式上就“仍然”可以成立。在平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，質(zhì)點(diǎn)可能受到了三種慣性力。將這三種慣性力引入平面轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性系中，我們可以在平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律來處理相關(guān)問題。

關(guān)鍵詞：慣性力;平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系;離心力;慣性切向力;科氏力

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2020）11-0055-4

1? ? 慣性力的由來

慣性是物理學(xué)中最基本的概念之一，也是學(xué)習(xí)物理學(xué)最早遇到的概念之一。由于牛頓運(yùn)動(dòng)定律只在慣性參考系中成立，因此在經(jīng)典物理學(xué)課程中都對(duì)慣性系與非慣性系、牛頓力與慣性力加以區(qū)分。慣性力實(shí)際上并不存在，因?yàn)閼T性力實(shí)際上是非慣性系下物體具有慣性而產(chǎn)生的力，這種力雖然能被測(cè)量和感知，但因慣性力找不到施力物體，并且當(dāng)轉(zhuǎn)換慣性系研究時(shí)，物體的慣性力消失，所以普遍認(rèn)為慣性力是假想力、虛擬力、不存在的力。我們亦可以用慣性力的存在來判斷參考系是非慣性系。該概念的提出是因?yàn)榉菓T性系中，牛頓運(yùn)動(dòng)定律并不適用。但是為了思維上的方便，可以假想在這個(gè)非慣性系中，除了相互作用所引起的力之外還受到一種由于非慣性系而引起的力——慣性力[1]。本文對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的慣性力做一些討論。

2? ? 轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下三種慣性力的理論推導(dǎo)

設(shè)平面xy（圖1）以變化角速度 繞垂直于自身的軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，在這個(gè)平面上取坐標(biāo)系O-xy，它的原點(diǎn)和靜止坐標(biāo)系O-ζη的原點(diǎn)O重合， 、 分別為x軸和y軸上的單位矢量， 為z軸上的單位矢量，則 =ω [2]。P點(diǎn)為xy平面上一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)在O-xy坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)為（x，y），則P點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)系O-xy的位置向量為 =x +y 。

O-xy坐標(biāo)系的單位矢量 、 在靜止坐標(biāo)系O-ζη下對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有（圖2）：

= × =? =ω

= × =-? =-ω

P點(diǎn)相對(duì)靜止坐標(biāo)系O-ζη的速度 有：

= = =? +x +? +y =（ -ωy） +（ +ωx）

進(jìn)一步整理可得：

=（? +? ）+（-ωy +ωx ）

其中，? 為P點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系x方向的分速度，? 為P點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系y方向的分速度。? =? +? ，? 為P點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系O-xy的合速度。-ωy 為參考系O-xy相對(duì)于參考系O-ζη旋轉(zhuǎn)給P點(diǎn)帶來的x方向的牽連速度，ωx 為參考系O-xy相對(duì)于參考系O-ζη旋轉(zhuǎn)給P點(diǎn)帶來的y方向的牽連速度。? =-ωy +ωx ，? 為參考系O-xy相對(duì)于參考系O-ζη旋轉(zhuǎn)給P點(diǎn)帶來的合牽連速度。有 =? +? 。P點(diǎn)對(duì)靜止坐標(biāo)系O-ζη的加速度 有：

= = =（ - y- ω） +（ -ωy）ω +（ + x+ ω） +（ +ωx）（-ω ）

進(jìn)一步整理可得：

=（? +? ）-ω2（x +y ）-2ω（? -? ）- （y -x ）

令 '=（? +? ）， '為質(zhì)點(diǎn)P在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系O-xy下的相對(duì)加速度;令? =ω2（x +y ）=ω2 ，? 為參考系O-xy相對(duì)于參考系O-ζη旋轉(zhuǎn)給P點(diǎn)帶來的慣性離心加速度;令? =2ω（? -? ）=2 '× ，? 為參考系O-xy相對(duì)于參考系O-ζη旋轉(zhuǎn)給P點(diǎn)帶來的科里奧利偏轉(zhuǎn)加速度;令? = （y -x ）= × ，? 為參考系O-xy相對(duì)于參考系O-ζη旋轉(zhuǎn)角速度發(fā)生變化時(shí)給P點(diǎn)帶來的切向加速度。

當(dāng)我們轉(zhuǎn)換以O(shè)-xy為靜止參考系時(shí)有：

'= +? +? +

結(jié)合牛頓第二定律有：

m '=m +m? +m? +m

即： '= +? +? +

在轉(zhuǎn)換以O(shè)-xy為參考系下研究物體的運(yùn)動(dòng)需要引入三個(gè)慣性力：離心力、科里奧利力和慣性切向力[3]。 為物體在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系O-xy下真實(shí)受到的力，? 、? 、? 為轉(zhuǎn)動(dòng)參考系O-xy為質(zhì)點(diǎn)帶來的虛擬力， '為物體在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系O-xy下的實(shí)際觀測(cè)力。

3? ? 幾種慣性力在物理問題中的實(shí)際應(yīng)用

例1 長(zhǎng)度分別為l1和l2的不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛著質(zhì)量都是m的兩個(gè)小球（圖3），它們處于靜止?fàn)顟B(tài)，中間的小球m1突然受到水平方向的沖擊，瞬間獲得水平向右的速度v0，求此瞬間連接m2的繩上的拉力T。

解析 m1在繩l1的束縛下繞懸掛點(diǎn)O做圓周運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)參考系（圖4）。在大地參考系下m1獲得初速度v0瞬間，該轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的角速度ω= ，轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下m2在該瞬間以向左速度v2=

ω（l1+l2）繞m1做圓周運(yùn)動(dòng)，m2所需向心力F =m2 ，轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下m2受到慣性力有慣性離心力向下F =m2ω2（l1+l2）、科里奧利力向上F =2m2ω2（l1+l2），在豎直方向上對(duì)m2應(yīng)用牛頓第二定律有T-m2g-F +F =F （因只考慮豎直方向的受力，故水平方向的切向慣性力未予以考慮），代入各式可解得T=m （g+ + ）。

例2 半徑為R的圓盤在水平面上以恒定的角速度ω繞其中軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其直徑方向有凹槽（圖5），將一質(zhì)量為m的光滑小球置于轉(zhuǎn)盤凹槽中間位置（即轉(zhuǎn)盤圓心處）后給予微小擾動(dòng)，小球沿凹槽向圓盤邊緣運(yùn)動(dòng)（凹槽對(duì)小球有束縛作用，只能沿凹槽運(yùn)動(dòng)）。

問題1：求小球離開圓盤時(shí)的速度。

解析 小球離開圓盤邊緣時(shí)，在切向上與圓盤邊緣的速度相同，有vx=ωR，在徑向上小球獲得背向圓盤圓心的徑向速度vy。轉(zhuǎn)換以圓盤為轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，小球在慣性離心力的作用下沿凹槽做離心運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球加速度為a，速度為v，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至距離圓心y處時(shí)有a=ω2y，此處形成了加速度與位移成正比的特殊物理模型。因 = ，有 = ，整理可得：vdv=ω2ydy[4]，積分可得：v=ωy，所以vy=ωR?；氐降孛鎱⒖枷担∏螂x開圓盤的速度為 = ωR。

通過這道題的計(jì)算還可以得出這樣一個(gè)有趣的結(jié)論：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤上任一點(diǎn)的線速度與該轉(zhuǎn)盤參考系下某質(zhì)點(diǎn)由靜止從轉(zhuǎn)盤中心經(jīng)慣性離心力加速到該點(diǎn)所獲得的速度大小相同。

問題2：當(dāng)小球距盤中心距離為r時(shí)，突然使圓盤以角加速度a勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)（圖6），求此時(shí)圓盤凹槽側(cè)壁給小球的支持力N。

解析 以圓盤為參考系，小球受到慣性科里奧利力F =2mωr×ω垂直運(yùn)動(dòng)方向向右，由于圓盤減速旋轉(zhuǎn)而給小球帶來切向慣性力F =mr×α垂直運(yùn)動(dòng)方向向左。在豎直方向上重力和支持力平衡，小球光滑無摩擦力，側(cè)壁對(duì)小球存在支持力N，在圓盤參考系下[3]：

垂直半徑方向有：N+F =F

得：N=2mω2r-mrα

例3 某國(guó)際空間站是一個(gè)圍繞其中軸旋轉(zhuǎn)、半徑為R的大轉(zhuǎn)輪，空間站中宇航員生活于轉(zhuǎn)輪的內(nèi)側(cè)邊緣處，用空間站旋轉(zhuǎn)帶來的慣性力模擬地球引力（圖7），不考慮空間站自身質(zhì)量帶來的引力影響。

問題1：一根長(zhǎng)為l的細(xì)線，一端連接空間站轉(zhuǎn)軸O，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球相對(duì)實(shí)驗(yàn)室以速度v勻速旋轉(zhuǎn)（圖8），方向與空間站轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，求細(xì)線拉力T。

轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下小球所需向心力F =m ，轉(zhuǎn)動(dòng)參考系帶來的慣性離心力F =mω2l（方向背離圓心），轉(zhuǎn)動(dòng)參考系帶來的慣性科里奧利力F =2mv×ω（方向指向圓心）。轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下對(duì)小球應(yīng)用牛頓第二定律有：

T+2mv×ω-mω2l=m

得：T=mω2l+m -2mv×ω

問題2：空間站以多大的角速度旋轉(zhuǎn)，才能讓宇航員感受到與地球相同的重力加速度g。

解 設(shè)空間站旋轉(zhuǎn)角速度為ω0時(shí)，以空間站為參考系空間站邊緣的離心加速度為ω? R，用該離心加速度模擬地球加速度有ω? R=g，得ω0= 。

總結(jié)：在以轉(zhuǎn)動(dòng)物體為參考系應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律時(shí)需要引入慣性力，如果轉(zhuǎn)動(dòng)參考系為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)其靜止的物體需要引入離心力，相對(duì)其運(yùn)動(dòng)的物體除離心力之外還需要引入科里奧利力，如果轉(zhuǎn)動(dòng)參考系為變速轉(zhuǎn)動(dòng)則還需引入慣性切向力。引入幾種慣性力后，我們可以像在慣性系中一樣處理轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。

參考文獻(xiàn)：

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[2]王剛志，郭肖勇，吳澤華，等.電磁力與慣性力的相似性研究[J].物理與工程，2018，28（3）：84-85.

[3]江昌龍.慣性力的分類及其在解題中的應(yīng)用[J].黃山學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，12（3）：123-125.

[4]程軍，韓玉龍.慣性力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題中的運(yùn)用[J].物理通報(bào)，2019（S1）：4-6.

（欄目編輯? ? 羅琬華）