雙激勵(lì)信號(hào)驅(qū)動(dòng)下矩形波導(dǎo)內(nèi)電場(chǎng)特性研究

向少華， 向 成， 程雪穎

（懷化學(xué)院1.電氣與信息工程學(xué)院；2.武陵山片區(qū)生態(tài)農(nóng)業(yè)智能控制技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南懷化 418008）

1 引言

矩形金屬波導(dǎo)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、機(jī)械強(qiáng)度大、抗干擾能力強(qiáng)和輻射損耗低等優(yōu)點(diǎn)深受關(guān)注，它的電磁特性被廣泛地研究[1-3].目前，它作為傳輸線和構(gòu)成微波元件的基本單元已應(yīng)用于大功率微波系統(tǒng)中.亞波長(zhǎng)金屬波導(dǎo)能顯著地產(chǎn)生電磁增強(qiáng)效應(yīng)[4，5].同時(shí)，矩形金屬波導(dǎo)是《電磁場(chǎng)與電磁波》課程中分離變量法求解電磁場(chǎng)特性最為經(jīng)典的例題[6，7].借助計(jì)算機(jī)分析軟件，能形象直觀地展示波導(dǎo)內(nèi)電場(chǎng)與磁場(chǎng)的分布情況，進(jìn)而了解電磁場(chǎng)的基本特性.據(jù)我們所知，在研究波導(dǎo)電磁特性時(shí)，其外金屬壁只受到一個(gè)激勵(lì)信號(hào)的驅(qū)動(dòng)[6-8].多激勵(lì)信號(hào)驅(qū)動(dòng)下的波導(dǎo)電磁特性研究至今鮮有報(bào)道.

在本論文中我們研究一個(gè)雙激勵(lì)信號(hào)下矩形波導(dǎo)模型.波導(dǎo)內(nèi)是一個(gè)無源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程，而外壁加有兩個(gè)激勵(lì)信號(hào)，故邊值問題為兩個(gè)奇次和兩個(gè)非奇次的邊界條件.直接用分離變量法求解有一定的困難.為了化解非奇次邊界問題，根據(jù)電位疊加原理，我們將電位進(jìn)行拆分，使之滿足一個(gè)非奇次邊界條件和一個(gè)奇次邊界條件，最終獲得其電位函數(shù)的解析表達(dá)式.對(duì)于波導(dǎo)內(nèi)的電磁波，在靜態(tài)場(chǎng)的基礎(chǔ)上乘以波動(dòng)因子，得到電場(chǎng)的解.根據(jù)麥克斯韋電磁理論，得到磁場(chǎng)的解，進(jìn)而就可以分析激勵(lì)信號(hào)下波導(dǎo)管內(nèi)電磁場(chǎng)的電磁特性.因此，本文僅分析波導(dǎo)內(nèi)靜電場(chǎng)的基本特性，討論外部激勵(lì)信號(hào)幅度、極性等和波導(dǎo)細(xì)裂等因素對(duì)等勢(shì)位和電場(chǎng)強(qiáng)度分布的影響.

2 矩形波導(dǎo)橫截面內(nèi)電場(chǎng)模型理論

有一個(gè)z方向無限長(zhǎng)的矩形波導(dǎo)，其側(cè)壁接地，底部和頂部加有一個(gè)激勵(lì)信號(hào)V1s（x）與V2s（x）.為保證它們與側(cè)壁絕緣，它們之間留有非常小的間隙.波導(dǎo)橫截面的寬邊尺寸為a，窄邊尺寸為b，如圖1所示.波導(dǎo)橫截面內(nèi)電位在x-y直角坐標(biāo)系下滿足拉普拉斯方程

圖1 矩形波導(dǎo)模型

設(shè) Φ（x，y）=X（x）Y（y），代入并整理方程（1）得：

式中k為分離常數(shù)，它的取值不同，方程的解也有不同的形式.不難求得位函數(shù)的通解是

式中A，B，C，D為待定系數(shù)，它們可由邊界條件和初始條件決定.

若按常規(guī)方法求解波導(dǎo)橫截面內(nèi)電位會(huì)碰到計(jì)算上的困難，但可根據(jù)電位疊加原理，將電位進(jìn)行分解并賦予特定的邊界，化解此問題.

于是獲得 Φ（1x，y）的表達(dá)式為：

3 理想矩形波導(dǎo)橫截面內(nèi)靜電場(chǎng)特性

根據(jù)經(jīng)典電磁理論，若已知電場(chǎng)的電位分布函數(shù)，則其電場(chǎng)強(qiáng)度是

圖2 雙恒定激勵(lì)信號(hào)下矩形波導(dǎo)橫截面內(nèi)電位分布情況及其等電位與電場(chǎng)強(qiáng)度關(guān)系

根據(jù)式（5）—（7），研究矩形波導(dǎo)在外激勵(lì)信號(hào)驅(qū)動(dòng)下，其橫截面上電位與電場(chǎng)的分布情況.注意，當(dāng)極板加入正弦激勵(lì)信號(hào)，我們認(rèn)為在一個(gè)金屬極板上要實(shí)現(xiàn)正負(fù)極性相間的分布是不可能的，因此它僅作為一個(gè)理論學(xué)術(shù)上的研討而沒有任何的實(shí)際意義.本文討論上下金屬極板接入不同極性的恒定電壓，矩形波導(dǎo)橫截面尺寸是4×3 cm的情況.模擬結(jié)果如圖2所示，其中子圖a-b對(duì)應(yīng)模擬電壓參數(shù)是V1（x）=V2（x）=6V，子圖c-d對(duì)應(yīng)模擬電壓參數(shù)是V1（x）=6V，V2（x）=-6V.圖2（b）和（d）中虛線代表等位線，帶箭頭的實(shí)線代表電場(chǎng)線.由圖2（a）和（c）可以看出，在雙驅(qū)動(dòng)信號(hào)的作用下，其電位展示了豐富的分布結(jié)構(gòu).若上下極板接入正恒定電壓，則電位在槽的寬邊方向呈現(xiàn)“拱門”形狀，即兩邊電位低，中間處電位高；在窄邊方向呈現(xiàn)“馬鞍”狀，兩邊電位高，中間處電位低.當(dāng)接入極性相反的驅(qū)動(dòng)信號(hào)時(shí)，電位由上極到下極板依次單調(diào)遞減.這種現(xiàn)象是電位疊加原理和電場(chǎng)唯一性定理的集中體現(xiàn).此外，可以由圖 2（b）和（d）看到，矩形金屬槽橫截面內(nèi)電場(chǎng)與平行板電容器內(nèi)的電場(chǎng)不同.由于波導(dǎo)側(cè)壁接地，因此電場(chǎng)線從正極性的金屬板出發(fā)，終止于兩側(cè)壁或負(fù)極性金屬板.它為一個(gè)非均勻電場(chǎng).若兩極板接入相同極性的外激勵(lì)信號(hào)，靠近管壁處電場(chǎng)強(qiáng)度大，中心區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度??；若接入極性相反的外部激勵(lì)信號(hào)，橫截面中心處域電場(chǎng)強(qiáng)度大.這個(gè)可用偶極子模型解釋[8].

4 帶細(xì)縫的矩形波導(dǎo)靜電場(chǎng)特性

考慮一個(gè)有實(shí)際應(yīng)用意義的模型，即假設(shè)在圖1矩形金屬槽的上極板中心處有一條細(xì)小的無限長(zhǎng)縫.縫的兩邊分別接入幅度不同的電壓U1和U2，其它三邊接地.在此情況下，金屬槽的邊界條件是和按照第2部分的解題方法，不難求得電位的表達(dá)式是：

圖3 雙激勵(lì)信號(hào)下帶有狹縫的矩形波導(dǎo)橫截面內(nèi)等電位和電位與電場(chǎng)強(qiáng)度分布

其中系數(shù)gn是

由式（9）可以看出，當(dāng)無狹縫和U1=U2時(shí)，它自動(dòng)地恢復(fù)為式（5）.已知電位函數(shù)式，我們就可以研究帶有縫隙的矩形波導(dǎo)橫截面內(nèi)電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的分布情況.

圖3是運(yùn)用Matlab軟件分別畫出的矩形波導(dǎo)橫截面上電位函數(shù)和電場(chǎng)線、磁場(chǎng)線的分布情況，其中波導(dǎo)長(zhǎng)度為4 cm，寬度為3 cm，子圖（a）和（d）對(duì)應(yīng)的模擬參數(shù)是縫的左右邊電壓為6 V，子圖（b）和（e）對(duì)應(yīng)的是縫的左邊電壓為 6 V，右邊電壓為 12 V，子圖（c）和（f）對(duì)應(yīng)的是縫的左邊電壓為-6 V，右邊電壓為12 V.當(dāng)左右兩邊電壓相等時(shí)，電位與電勢(shì)分布具有對(duì)稱性.但是當(dāng)兩邊電壓不等時(shí)，狹縫對(duì)電位和電場(chǎng)分布的影響非常顯著，尤其是縫兩邊接入不同極性的外部激勵(lì)信號(hào)，電位和電場(chǎng)強(qiáng)度表現(xiàn)出更加無序性和無規(guī)律性.若不借助繪圖軟件，很難把握電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的整體感，也無法想象橫截面內(nèi)靜電場(chǎng)的基本特性.

5 結(jié)論

對(duì)于較為復(fù)雜的波導(dǎo)系統(tǒng)，其內(nèi)靜電場(chǎng)理論深?yuàn)W，數(shù)學(xué)公式復(fù)雜，現(xiàn)象理解難度大，空間分布抽象.本文結(jié)合Matlab軟件，利用電位疊加原理和分離變量法，研究了雙激勵(lì)信號(hào)驅(qū)動(dòng)下矩形波導(dǎo)橫截面內(nèi)靜電場(chǎng)問題以及細(xì)縫對(duì)波導(dǎo)靜電場(chǎng)的影響.發(fā)現(xiàn)了不同極性的激勵(lì)信號(hào)均能顯著改變橫截面內(nèi)靜電場(chǎng)電位和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，特別是波導(dǎo)的裂縫嚴(yán)重惡化了電位和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，呈現(xiàn)了無序化狀態(tài).本文所得的結(jié)果對(duì)于波導(dǎo)的實(shí)際工程應(yīng)用和電磁理論的學(xué)習(xí)具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值.