完美和幻方的定義及其構(gòu)造方法

張 婧,劉興祥,施 釗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

幻方最早記載于春秋時(shí)期的《大戴禮》；南宋時(shí)期，楊輝在《續(xù)古摘奇算法》中編出3～10階幻方.針對(duì)幻方問題的研究,業(yè)界學(xué)者進(jìn)行了諸多探討研究.幻方是一類特殊的矩陣，因此，可以用研究矩陣的方法研究幻方.劉興祥等[1]給出幻方的矩陣化等價(jià)定義，在文獻(xiàn)[2-3]中將幻方與拉丁方結(jié)合，分別將幻方分解為拉丁方，并給出了構(gòu)造偶數(shù)階同心拉丁方的方法，使幻方的定義規(guī)范化，拓展了拉丁方與幻方的聯(lián)系，但是并未考慮到具有更強(qiáng)幻性的完美和幻方.何敏梅等[4-6]研究了雙偶數(shù)階幻方的構(gòu)造方法，分別給出雙偶數(shù)(4k)階連元幻方、始元幻方及拉丁方的構(gòu)造方法.使雙偶數(shù)階幻方構(gòu)造體系更加完整.但奇數(shù)階及單偶數(shù)階幻方的構(gòu)造還有待完善.郭萍等[7]將始元行和及列和幻方分為行奇列奇、行奇列偶、行偶列奇、行偶列偶4類，并給出構(gòu)造方法.詹森[8]利用兩個(gè)準(zhǔn)幻方構(gòu)造k2階完美幻方.王正元[9]利用新定義的矩陣乘法運(yùn)算構(gòu)造完美幻方.曹小琴[10]用二進(jìn)制構(gòu)造2n+2階完美幻方，這些構(gòu)造方法便于研究者構(gòu)造k2階、m×n階及2n+2完美幻方，但這僅能構(gòu)造這幾類完美幻方，太過單一，有局限性.徐博文等[11]是幻方理論在HEVC熵編碼加密方案的應(yīng)用.高治源[12]介紹了幻方的應(yīng)用前景，顯示幻方的理論化研究是有意義的且很有必要.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出4條有關(guān)幻方的定義，包含廣義上和幻方的定義及始元和幻方、連元和幻方及拉丁和幻方的定義.

定義1[1]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n,m,n∈N*,若矩陣A滿足以下條件:

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階和幻方,幻和記為S.

定義2[1]設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{1,2,…,n2},n∈N*,若矩陣A滿足以下條件:

則稱矩陣A=(aij)n×n為Z上的n階始元和幻方,幻和記為S.

定義3[1]設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{k+1,k+2,…,k+n2},n∈N*,若矩陣A滿足以下條件:

則稱矩陣A=(aij)n×n為Z上的n階連元和幻方,幻和記為S.

定義4[5]設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈S,n∈N*,其中S={x1,x2,…,xn}，?i,j∈{1,2,…,n}，有i≠j,則ai≠aj,若矩陣A滿足以下條件:

① ?i,j,k∈{1,2,…,n},當(dāng)j≠k時(shí)，aij≠aik; ② ?i,j,k∈{1,2,…,n},當(dāng)i≠k時(shí)，aij≠akj; ③ ?i,j∈{1,2,…,n},當(dāng)i≠j時(shí)，aii≠ajj; ④ ?i,j∈{1,2,…,n},當(dāng)i≠j時(shí)，ai(n+1-i)≠aj(n+1-j).

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階拉丁和幻方,幻和記為S.

2 主要結(jié)論

幻方的研究已成體系，但完美幻方還需深入研究.那么類比幻方的研究，歸納總結(jié)出完美和幻方及完美始元和幻方、完美連元和幻方及完美拉丁和幻方的定義并推理出用兩個(gè)奇數(shù)(2n+1,n∈N+)階完美拉丁方構(gòu)造完美和幻方的新方法.

定義5 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈Zn×n，n∈N*，q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

則稱矩陣A=(aij)n×n為Z上的n階完美和幻方,幻和記為S.

定義6 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{1,2，…，n2}，n∈N*，?u∈{0,1,…,n-1}，記p≡i+u(modn),q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

則稱矩陣A=(aij)n×n為Z上的n階始元完美和幻方,幻和記為S.

定義7 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{k+1,k+2,…,k+n2}，n∈N*，?u∈{0,1,…,n-1}，記p≡i+u(modn),q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階連元完美和幻方,幻和記為S.

定義8 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈S,n∈N*,其中S={x1,x2,…,xn}，?i,j∈{1,2,…,n},有i≠j,則ai≠aj,?u∈{0,1,…,n-1},記p≡i+u(modn),q≡n+1-u-i(modn),若矩陣A滿足以下條件：

① ?i,j,k∈{1,2,…,n},當(dāng)j≠k時(shí)，aij≠aik； ② ?i,j,k∈{1,2,…,n},當(dāng)i≠k時(shí)，aij≠akj； ③ ?i,j∈{1,2,…,n},當(dāng)i≠j時(shí)，aip≠ajp； ④ ?i,j∈{1,2,…,n},當(dāng)i≠j時(shí)，aiq≠ajq.

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階完美拉丁和幻方,幻和記為S.

則:

首先證明矩陣A的行和、列和、主副對(duì)角線和及其與主副對(duì)角線平行的線上的2k+1個(gè)元素的和相等.

根據(jù)矩陣A中元素的構(gòu)造知矩陣A的每行、每列、及與主對(duì)角線、副對(duì)角線平行的2k+1個(gè)元素都各不相同且為0～2k,2k+1個(gè)整數(shù)的全排列,且和是2k2+k,則矩陣A為完美幻方.

再證明矩陣B的行和、列和、主副對(duì)角線和及其與主副對(duì)角線平行的線上的2k+1個(gè)元素和相等.

根據(jù)矩陣B中元素的構(gòu)造知矩陣B的各行、各列及與主對(duì)角線、副對(duì)角線平行的2k+1個(gè)元素1～(2k+1),2k+1個(gè)正整數(shù)的全排列,行和為(2k+1)·(k+1)=2k2+3k+1,則矩陣B為完美幻方.

最后證明矩陣C為始元完美和幻方.

根據(jù)矩陣A和矩陣B都是完美幻方,則矩陣C=(2k+1)·A+B,則矩陣C是幻和為4k3+6k2+4k+1的完美和幻方,再證矩陣C為始元完美和幻方,及證明矩陣C中的元素兩兩互不相同,根據(jù)矩陣A和矩陣B的構(gòu)造,發(fā)現(xiàn)矩陣C中的元素是1～(2k+1)2,(2k+1)2個(gè)元素的全排列,則矩陣C中的元素兩兩互不相同的,則矩陣C為始元完美和幻方.

3 算例

舉例利用兩個(gè)5階完美拉丁和幻方A及B構(gòu)造出5階完美和幻方C，以便理解上述定理.已知：

矩陣A為幻和為10的完美拉丁和幻方,矩陣B為幻和為15的完美拉丁和幻方,矩陣C為幻和為65的完美和幻方.