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    混沌時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間脈沖同步

    2020-12-05 06:53:58陳亞英姚鳳麒
    關(guān)鍵詞:增益脈沖驅(qū)動(dòng)

    陳亞英,姚鳳麒

    (安徽工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院,安徽 馬鞍山 243032)

    目前關(guān)于系統(tǒng)同步的研究大多數(shù)都集中在漸近同步方面[1-5],即要求耦合系統(tǒng)的狀態(tài)在無(wú)限時(shí)間內(nèi)相同.與漸近同步不同,有限時(shí)間同步是指當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)在某一范圍內(nèi)時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)在一定的時(shí)間內(nèi)不超過(guò)某一預(yù)先給定的界限[6-11].在實(shí)際的工程應(yīng)用中,人們除了關(guān)注耦合系統(tǒng)在無(wú)限時(shí)間內(nèi)的漸近同步外,更感興趣的是在給定時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)是否能夠滿足一定的暫態(tài)性能.近年來(lái),有限時(shí)間同步吸引了大量的學(xué)者研究[6-13].例如,Ali M等[6]討論了帶Markovian復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問(wèn)題;Mei J等[10]針對(duì)參數(shù)不匹配的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)研究了有限時(shí)間同步問(wèn)題;Wu K N等[12]針對(duì)脈沖隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題展開研究;Bao H等[13]研究了兩個(gè)不同時(shí)滯混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題.

    然而,對(duì)于混沌系統(tǒng)而言,即使兩個(gè)混沌系統(tǒng)是相同的,只要初始條件有細(xì)微的差異,這兩個(gè)系統(tǒng)就不會(huì)達(dá)到同步.在實(shí)際生活中,初始條件恰恰是不能完全確定的,這就使得混沌同步的研究變得極為重要.自從Pecora等[14-15]于20世紀(jì)90年代提出了驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步方法實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)混沌系統(tǒng)的同步,自此以后混沌同步成為工程應(yīng)用領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[13,16-20].隨著對(duì)混沌系統(tǒng)控制的深入研究,脈沖控制同步法作為一種用來(lái)控制混沌的新方法,已經(jīng)被很多學(xué)者證實(shí)是非常有效的.它相對(duì)于連續(xù)控制方法性能更好、成本更低且易于實(shí)施[1-2,6].在實(shí)際系統(tǒng)中,從脈沖對(duì)系統(tǒng)同步性能的影響來(lái)說(shuō),可以分為去同步脈沖和同步脈沖.在現(xiàn)有的研究文獻(xiàn)中,大部分假設(shè)它們是分開發(fā)生的[4,12].由于在實(shí)際系統(tǒng)中,不同的時(shí)刻受到不同的脈沖擾動(dòng),可能導(dǎo)致它們同時(shí)存在.因此,同時(shí)考慮去同步脈沖和同步脈沖構(gòu)成的混合脈沖具有重要研究意義[1,21-22].例如,Wong W K等[1]研究了具有混合脈沖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題.在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中同時(shí)考慮去同步脈沖和同步脈沖,建立了統(tǒng)一處理去同步脈沖和同步脈沖的框架.

    基于以上討論,受Wong W K等[1]研究的啟發(fā),擬針對(duì)參數(shù)一致的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)混沌系統(tǒng)有限時(shí)間脈沖同步問(wèn)題展開研究.與Wong W K等人的研究不同,本文設(shè)計(jì)了一種混合脈沖控制器包含線性反饋部分和脈沖控制部分,其中反饋控制增益可以抵消不利脈沖帶來(lái)的影響;并且本文考慮的是混沌系統(tǒng)有限時(shí)間脈沖同步問(wèn)題.首先,在系統(tǒng)模型中同時(shí)考慮了去同步脈沖和同步脈沖,設(shè)計(jì)了一種合適的混合脈沖控制器;其次,通過(guò)選擇合適的Lyapunov函數(shù),利用有限時(shí)穩(wěn)定性理論、比較引理和平均脈沖區(qū)間法,給出了系統(tǒng)有限時(shí)間同步的充分條件;最后,給出一個(gè)數(shù)值算例表明了理論結(jié)果的有效性.

    1 系統(tǒng)描述及準(zhǔn)備

    考慮如下具有時(shí)變時(shí)滯的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng):

    (1)

    其中:x(t)∈n表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量;A,B,D∈n×n為已知常數(shù)矩陣;C=(cij)n×n1=(c1,c2,c3,…,cn1);cj(j=1,2,…,n1)是C的第j列;τ(t)為時(shí)變時(shí)滯,且滿足0≤τ(t)≤τ;非線性函數(shù)n.

    以式(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),則相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)形式如下:

    (2)

    這里,y(t)∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量;u(t)是控制輸入.

    (3)

    這里,脈沖序列{tk}(k∈)滿足0

    (4)

    這里,g(CTe(t),x(t))=f(CTy(t))-f(CTx(t)),假設(shè)e(t)在t=tk處是左連續(xù)的.為了簡(jiǎn)化,認(rèn)為e(t)在t0=0處是連續(xù)的.

    注1 文獻(xiàn)[23]通過(guò)設(shè)計(jì)混合脈沖控制器研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步問(wèn)題,然而所考慮的脈沖增益在不同的時(shí)刻是不變的.本文所設(shè)計(jì)的控制器脈沖增益在不同的時(shí)刻是不同的.其中包括反饋控制部分和脈沖控制部分,可以通過(guò)調(diào)整反饋控制增益H的大小來(lái)使同步條件成立.因此,本文設(shè)計(jì)的混合脈沖控制器(3)更具有適用性.

    注2 當(dāng)脈沖強(qiáng)度hk>1時(shí),脈沖效應(yīng)是抑制同步的,即去同步脈沖;當(dāng)脈沖強(qiáng)度hk<1時(shí),脈沖效應(yīng)是促進(jìn)同步的,即同步脈沖.特別地,當(dāng)hk=1時(shí)是非活動(dòng)脈沖,非活動(dòng)脈沖對(duì)系統(tǒng)的同步既無(wú)危害又無(wú)益處.因此本文主要研究去同步脈沖和同步脈沖對(duì)系統(tǒng)同步的影響.

    誤差系統(tǒng)(4)的初始條件定義為:e(s)=φ(s),-τ≤s≤0.

    (5)

    這里,φ(·)∈C([-τ,0],n).

    在介紹主要結(jié)果之前,先介紹如下主要假設(shè)、引理和定義.

    假設(shè)1 假設(shè)fi(·)屬于一個(gè)扇區(qū)[0,l],即fi(ξ)(fi(ξ)-lξ)≤0.則:

    因此可以接著推出:

    (6)

    假設(shè)2 假設(shè)去同步脈沖和同步脈沖的脈沖強(qiáng)度分別從有限集{μ1,μ2,…,μN(yùn)}和{v1,v2,…,vM}中取值,滿足μi>1,0

    (7)

    則脈沖強(qiáng)度為μi的去同步脈沖的平均脈沖區(qū)間不小于εi,脈沖強(qiáng)度為vj的同步脈沖的平均脈沖區(qū)間不大于ρj.

    注3 在文獻(xiàn)[4,12,24]中,研究者對(duì)去同步脈沖和同步脈沖是分開考慮的.本文同時(shí)考慮去同步脈沖和同步脈沖構(gòu)成的混合脈沖.因此,本文所構(gòu)建的系統(tǒng)模型更具有普遍性.

    2 主要結(jié)果

    在本節(jié)中將推出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)有限時(shí)間脈沖同步的充分條件.利用Lyapunov函數(shù)法可建立如下定理.

    (8)

    |eaταR-a|T+eaταRτ≤lnm2-lnRm1.

    (9)

    證明選擇李雅普諾夫函數(shù):V(t)=eT(t)e(t).

    首先,當(dāng)t∈(tk-1,tk](k=1,2,…)時(shí),沿著誤差系統(tǒng)(4)對(duì)V(t)求導(dǎo):

    (10)

    由引理2和式(6)可知,存在正數(shù)α,β使得:

    (11)

    (12)

    將式(11)、(12)代入式(10),可得:

    (13)

    (14)

    對(duì)于任意ε>0,令v(t)是如下脈沖時(shí)滯系統(tǒng)的唯一解:

    (15)

    從引理1可知V(t)≤v(t),對(duì)?t≥0.根據(jù)參數(shù)變易法,v(t)可以表示為:

    (16)

    (17)

    (18)

    由定義1和式(18)可得:

    (19)

    從式(16)和式(19),可以推出:

    (20)

    令U(t)=eatv(t),則:

    (21)

    令ε→0,由引理3可以推出:

    (22)

    再由條件(9),立即可得:V(t)≤v(t)≤Rm1elnc2-lnRc1=m2,t∈[0,T].

    (23)

    即:

    ‖e(t)‖2≤m2,t∈[0,T].

    (24)

    即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)是關(guān)于(m1,m2,T)有限時(shí)間同步的.

    證畢.

    注4 當(dāng)脈沖效應(yīng)抑制同步時(shí),為了保證同步,則要求脈沖之間的時(shí)間間隔不能太小.在以往的研究結(jié)果中,大多采用tk-tk-1≥ε,通過(guò)調(diào)整ε的值來(lái)保證去同步脈沖發(fā)生的不頻繁.本文同時(shí)考慮去同步脈沖和同步脈沖,即使去同步脈沖頻繁發(fā)生,可以增大ρj使同步脈沖頻繁發(fā)生來(lái)抵消去同步脈沖的影響,驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)仍能同步.

    注5 對(duì)于大多數(shù)的脈沖信號(hào),脈沖發(fā)生的時(shí)間間隔不是相等的即它不是均勻分布的.倘若脈沖區(qū)間的上界比較大,下界比較小,在文獻(xiàn)[3,12,16]中,作者采用脈沖間隔的上下界來(lái)表示脈沖發(fā)生的頻率可能導(dǎo)致所得的結(jié)果具有一定的保守性.

    當(dāng)混合脈沖控制器考慮的是時(shí)不變脈沖時(shí),即在不同的時(shí)刻脈沖強(qiáng)度是不變的.此時(shí)μi≡μ1,εi≡ε1,vj≡v1,ρj≡ρ1,其中i=1,2,…N,j=1,2,…M,滿足μ1>1,0

    (25)

    |eaταR-a|T+eaταRτ≤lnm2-lnRm1.

    (26)

    3 數(shù)值算例

    對(duì)于本文研究的混沌系統(tǒng)有限時(shí)間脈沖同步問(wèn)題,將用一個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性.

    考慮將如下蔡氏電路作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[16]:

    (27)

    (28)

    (29)

    將采用脈沖控制器(3)來(lái)實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(28)和響應(yīng)系統(tǒng)(29)的有限時(shí)間同步,定義e(t)=y(t)-x(t)為驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差,得到如下誤差系統(tǒng):

    (30)

    圖1 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(28)圖2 響應(yīng)系統(tǒng)(29)Fig.1 Drive system(28) Fig.2 Response system(29)

    圖3 脈沖序列圖4 誤差系統(tǒng)軌跡(30) Fig.3 Impulse sequence Fig.4 The trajectory of error system(30)

    圖5 脈沖間隔為ρ1=0.2時(shí)的脈沖序列圖6 脈沖間隔為ρ1=0.2時(shí)的誤差系統(tǒng)軌跡(30)

    4 結(jié)論

    通過(guò)設(shè)計(jì)混合脈沖控制器研究了混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間脈沖同步問(wèn)題.在系統(tǒng)模型中,同時(shí)考慮去同步脈沖和同步脈沖構(gòu)成的混合脈沖,因此更具有普遍性.并且本文所設(shè)計(jì)混合脈沖控制器包括線性反饋部分和脈沖控制部分,可以通過(guò)調(diào)節(jié)反饋控制增益來(lái)使系統(tǒng)達(dá)到有限時(shí)間同步.最后通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性.本文考慮的是參數(shù)一致的混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間脈沖同步問(wèn)題.然而,在實(shí)際系統(tǒng)中很難做到參數(shù)完全一致.因此,在今后的研究中,將深入研究參數(shù)不匹配對(duì)混沌系統(tǒng)的影響.

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