列車荷載下土體時(shí)程反應(yīng)的Ritz向量疊加法

付相球, 潘旦光,2, 柳 藝

(1.北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院,北京 100083; 2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092; 3.中鐵十六局集團(tuán)有限公司,北京 100018)

0 引 言

文獻(xiàn)[7]對北京地鐵八王墳車輛段平臺及平臺上建筑物進(jìn)行計(jì)算和分析,采用直接積分法計(jì)算了建筑物上各點(diǎn)在地鐵列車振動荷載下的位移反應(yīng)時(shí)程;文獻(xiàn)[8]對比分析了采用振型疊加法和直接積分法計(jì)算軌道交通引起的環(huán)境振動問題,結(jié)果表明直接積分法具有更高的計(jì)算效率。這是由于振型疊加法計(jì)算時(shí),應(yīng)使所采用最高振型的頻率大于振動輸入頻率主要范圍的最大值,一般認(rèn)為應(yīng)達(dá)到其2倍[9],而土體固有頻率超過100 Hz通常需要幾千階甚至更多的模態(tài),模態(tài)分析的計(jì)算時(shí)間將非常長。但事實(shí)上,振型疊加法計(jì)算中存在大量的無效模態(tài),因而影響了計(jì)算效率。為避免無效模態(tài)的影響,文獻(xiàn)[10]提出Ritz向量疊加法,該法兼具振型疊加法將耦合方程解耦為單自由度方程的優(yōu)點(diǎn),同時(shí)考慮到外力荷載的空間分布;文獻(xiàn)[11-12]分別應(yīng)用Ritz向量疊加法分析機(jī)械結(jié)構(gòu)及橋梁地震反應(yīng),分析結(jié)果表明Ritz向量疊加法具有很高的計(jì)算效率。

但Ritz向量疊加法的計(jì)算精度與Ritz向量個(gè)數(shù)有關(guān),存在模態(tài)截?cái)嗾`差,因此,在進(jìn)行分析前,需要判斷多少階Ritz向量參與計(jì)算。文獻(xiàn)[13]分析比較了地震反應(yīng)中的模態(tài)截?cái)喾椒?但列車荷載與地震荷載形式及卓越頻率均存在差異;文獻(xiàn)[14]提出基于荷載參與系數(shù)的模態(tài)截?cái)嘀笜?biāo);文獻(xiàn)[15-16]給出了基于外荷載空間分布的Ritz向量截?cái)嘀笜?biāo)。對于軌道交通引起的環(huán)境振動這類計(jì)算模型很大的問題,關(guān)于模態(tài)截?cái)嘀笜?biāo)的選擇,以及Ritz向量疊加法的計(jì)算效率需進(jìn)一步研究。為此,本文采用二維分析方法,首先分析了不同Ritz向量截?cái)嘀笜?biāo)的截?cái)嗾`差與時(shí)程反應(yīng)峰值誤差隨Ritz向量階數(shù)的變化規(guī)律,討論不同模態(tài)截?cái)嘀笜?biāo)的合理性;然后對比分析了振型疊加法和直接積分法的計(jì)算效率,通過不同激振頻率下的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了研究結(jié)論的適用性,所得結(jié)果可供類似分析參考。

1 模態(tài)截?cái)嘀笜?biāo)

實(shí)際列車荷載引起的振動經(jīng)鋼軌、道床傳播至周圍土體,為了簡化分析,以土體為分析對象,把經(jīng)由鐵軌和路基傳至下方土體表面的荷載作為列車荷載,即列車-軌道-道床系統(tǒng)整體作為外力激勵(lì),列車荷載作用下的土體動力反應(yīng)可簡化為二維土體單點(diǎn)激勵(lì)的分析模型[17],此時(shí),N個(gè)自由度的土體結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程為:

(1)

(2)

(3)

通常,Ritz向量疊加法采用少數(shù)低階Ritz向量進(jìn)行計(jì)算,即可得到滿足計(jì)算精度要求的結(jié)果,因此計(jì)算效率高,但由此存在截?cái)嗾`差。為使截?cái)嗾`差控制在合理的范圍內(nèi),需要截取足夠的Ritz向量個(gè)數(shù)n。因此,在應(yīng)用Ritz向量疊加法計(jì)算時(shí),需要提前判斷n的取值,目前常用的截?cái)喾椒╗14-16]可以歸納為基于動力貢獻(xiàn)和基于外力分布2種。

1.1 基于動力貢獻(xiàn)截?cái)喾椒?/h3>

基于動力貢獻(xiàn)Ritz向量截?cái)喾椒俣?1)式、(3)式左邊只有動力項(xiàng),只有慣性力抵抗外部荷載,即

(4)

(5)

其中,M為對角矩陣。由(4)式可以得到單位荷載作用下擬加速度的精確解,由(5)式可以得到單位荷載作用下擬加速度的近似解,由此得到基于動力貢獻(xiàn)的Ritz向量截?cái)嗾`差指標(biāo)[14]可以表示為:

(6)

1.2 基于外力分布截?cái)喾椒?/h3>

根據(jù)遞推迭代得到的Ritz向量矩陣Γ,外力荷載的空間分布向量S′可以表示為:

(7)

其中,aj為展開式系數(shù);M1/2為M對角元素的平方根矩陣。當(dāng)n=N時(shí)S′即為S;僅保留n個(gè)Ritz向量時(shí),相當(dāng)于計(jì)算結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時(shí)只考慮了荷載的部分影響。

文獻(xiàn)[15]中定義的激振力截?cái)嗾`差指標(biāo)為:

(8)

文獻(xiàn)[16]中提出的基于外荷載空間分布的截?cái)嗾`差指標(biāo)定義為:

(9)

2 模態(tài)截?cái)喾椒ǖ挠绊?/h2>

2.1 算例模型

二維均勻土體計(jì)算模型如圖1所示,根據(jù)文獻(xiàn)[4]結(jié)果,土體研究區(qū)域取寬50 m、深20 m的范圍,橫向邊界只約束寬度方向,底面邊界剛性約束,土體為對稱模型,取1/2土體進(jìn)行分析。

圖1 二維均勻土體模型

線彈性范圍內(nèi),列車荷載可采用Fourier變換分解為一系列簡諧函數(shù)的和[18],因此,本文將列車荷載簡化為簡諧函數(shù),即

P(t)=SAsin(2πft)

(10)

其中,A為列車峰值荷載;f為激振頻率。

土體采用二維平面單元離散,有限元模型單元?jiǎng)澐秩鐖D2所示。

圖2 有限元模型單元?jiǎng)澐?/p>

單元的長度控制要求為:

土體密度取2 000 kg/m3,彈性模量取200 GPa,泊松比取0.35,則土體的剪切波速vs≈200 m/s。當(dāng)f取為主要的激振頻率50 Hz時(shí),λmin=4 m,則l≤(0.5～1.0) m即可滿足要求。因此,圖2中有限元模型的單元長度均不超過1.0 m,靠近激勵(lì)點(diǎn)單元?jiǎng)澐旨用?模型共包含2 376個(gè)節(jié)點(diǎn),4 550個(gè)自由度。

因?yàn)榱熊囘\(yùn)行產(chǎn)生的環(huán)境振動中,表面波占主要地位,所以計(jì)算模型主要分析土體表面1#到6#點(diǎn)的位移反應(yīng),其中1#～6#點(diǎn)距離荷載施加點(diǎn)水平距離依次為0、2、4、6、8、10 m,1#～6#點(diǎn)的豎向位移分別定義為體系的第1個(gè)到第6個(gè)自由度。

2.2 Ritz向量疊加法計(jì)算結(jié)果及截?cái)嗾`差分析

基于簡化的二維土體模型,考慮所有N個(gè)Ritz向量疊加,得到2個(gè)荷載周期內(nèi)1#～6#點(diǎn)位移時(shí)程反應(yīng)的精確解,如圖3所示。從圖3可以看出,列車荷載在土體表面衰減很快,距離激勵(lì)位置1#點(diǎn)水平距離為10 m的6#點(diǎn)峰值位移衰減到1#點(diǎn)的5%左右,進(jìn)一步驗(yàn)證了土域范圍取值合理。

圖3 1#～6#點(diǎn)位移時(shí)程反應(yīng)曲線

(11)

則1#～6#點(diǎn)豎向位移時(shí)程反應(yīng)峰值誤差分別記為e1、e2、e3、e4、e5、e6。

各自由度誤差和截?cái)嘀笜?biāo)小于5%時(shí),n的取值見表1所列。

表1 誤差控制在5%以內(nèi)時(shí)n的取值

不同自由度的位移反應(yīng)峰值誤差e1～e6以及基于動力貢獻(xiàn)的截?cái)嗾`差D和外力分布的截?cái)嗾`差λ隨Ritz向量個(gè)數(shù)n的變化如圖4所示。

圖4 Ritz向量截?cái)嗾`差

從圖4和表1可以看出:① 1#～6#點(diǎn)峰值位移反應(yīng)誤差ei在前幾個(gè)Ritz向量下存在起伏,整體趨勢隨著n增加而減小,超過65個(gè)Ritz向量后峰值位移反應(yīng)誤差均低于5%且很快收斂至接近于0;② Ritz向量截?cái)嗾`差低于5%時(shí),選取的模態(tài)階數(shù)依據(jù)D為126階,依據(jù)λ為2 600階,其截?cái)嗾`差均大于峰值位移反應(yīng)誤差,但基于λ選取的n比實(shí)際所需的多出太多,增加了大量多余的計(jì)算量,而基于D截取的n略大于實(shí)際所需的向量數(shù)目,適合作為列車荷載下Ritz向量疊加法進(jìn)行模態(tài)截?cái)嗟囊罁?jù)。

3 不同算法計(jì)算效率對比

為了對比不同方法的計(jì)算效率,對圖2的計(jì)算模型,分別應(yīng)用Ritz向量疊加法、振型疊加法和直接積分法進(jìn)行計(jì)算。

對于振型疊加法,考慮常阻尼比,通過計(jì)算得到不同模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)n下1#～6#點(diǎn)豎向峰值位移誤差ej,如圖5所示。

圖5 振型疊加法截?cái)嗾`差

從圖5可以看出,當(dāng)計(jì)算超過4 000階模態(tài)時(shí),e1～e6都在5%以內(nèi),因此,振型疊加法可以取4 000階模態(tài)進(jìn)行時(shí)程反應(yīng)分析。

對于直接積分法,考慮經(jīng)典瑞利阻尼矩陣,根據(jù)文獻(xiàn)[8]直接積分法計(jì)算軌道交通振動的結(jié)論,可以取第1階固有頻率和荷載頻率計(jì)算瑞利阻尼系數(shù)。

Ritz向量疊加法按D<5%時(shí)計(jì)算,即計(jì)算126個(gè)Ritz向量。精確解為采用Ritz向量疊加法計(jì)算全部N個(gè)Ritz向量的分析結(jié)果。

1#點(diǎn)3種方法計(jì)算結(jié)果與精確解在1個(gè)荷載周期內(nèi)位移時(shí)程反應(yīng)如圖6所示,1#～6#點(diǎn)峰值位移結(jié)果如圖7所示。

從圖6、圖7可以看出,3種方法計(jì)算結(jié)果接近,均可滿足計(jì)算精度要求。

圖6 1#點(diǎn)位移時(shí)程反應(yīng)

圖7 1#～6#點(diǎn)峰值位移

3種方法在相同軟硬件環(huán)境下的計(jì)算時(shí)間見表2所列。

從表2可以看出，對于本文算例模型,Ritz向量疊加法僅需12 s,計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)小于其他2種方法,其計(jì)算效率明顯高于其他2種方法;振型疊加法計(jì)算效率最低,直接積分法計(jì)算效率居中。

表2 3種方法計(jì)算耗時(shí)對比

4 不同激振頻率計(jì)算結(jié)果

地鐵荷載頻率成分復(fù)雜,真實(shí)地鐵荷載是不同頻率成分的疊加,主要頻率范圍在30～80 Hz之間,為了驗(yàn)證上述研究結(jié)論在列車荷載主要頻率范圍內(nèi)的適用性,對比分析(10)式中f為10、30、50、70、90 Hz下的計(jì)算結(jié)果。其中,D和λ與荷載頻率無關(guān),f不同取值下結(jié)果和50 Hz情況相同。ej控制在5%以內(nèi)時(shí)，n的取值見表3所列。

從表3可以看出,隨著f增大,n增加,但均略小于基于D截取的126個(gè)Ritz向量個(gè)數(shù),基于λ選取的Ritz向量個(gè)數(shù)仍比實(shí)際所需的多出太多,因此在列車荷載頻率范圍內(nèi),D適合作為模態(tài)截?cái)嗟囊罁?jù)。

表3 ej控制在5%以內(nèi)時(shí)n的取值

Ritz向量疊加法與直接積分法的計(jì)算效率和f無關(guān),不同f下計(jì)算耗時(shí)也與50 Hz一致,振型疊加法的計(jì)算耗時(shí)隨f的變化結(jié)果見表4所列。

從表2、表4可以看出,地鐵荷載頻率范圍內(nèi),不同f對振型疊加法計(jì)算效率影響不大,Ritz向量疊加法計(jì)算效率仍然明顯高于其他2種方法。

表4 不同f下振型疊加法計(jì)算耗時(shí)

5 結(jié) 論

本文研究Ritz向量疊加法在軌道交通引起土體振動中的應(yīng)用及相應(yīng)的Ritz向量截?cái)鄦栴},首先分析模態(tài)截?cái)嘀笜?biāo)和土層峰值位移反應(yīng)誤差隨向量階數(shù)的變化規(guī)律,討論不同模態(tài)截?cái)嘀笜?biāo)的合理性,然后對比分析了Ritz向量疊加法、振型疊加法及直接積分法3種方法的計(jì)算效率,最后通過不同激振頻率下的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了研究結(jié)論的適用性。

(1) 基于動力貢獻(xiàn)的截?cái)嘀笜?biāo)與Ritz向量截?cái)嗾`差的變化規(guī)律相同,且由截?cái)嘀笜?biāo)所得向量數(shù)目略大于實(shí)際所需的向量,適合作為Ritz向量截?cái)嗟囊罁?jù)。

(2) 在計(jì)算精度基本相同的情況下,振型疊加法的計(jì)算耗時(shí)最長、直接積分法次之,Ritz向量疊加法最短。