環(huán)Fpk+uFpk上的(1-u)-循環(huán)碼

張秋紅, 朱士信

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

一直以來(lái),環(huán)上的線性碼和循環(huán)碼被人們加以定義和廣泛研究。文獻(xiàn)[1]證明了通過(guò)Gray映射能夠由環(huán)Z4上的線性碼得到好的非線性二元碼,該環(huán)上的負(fù)循環(huán)碼在文獻(xiàn)[2]中有詳細(xì)的描述。文獻(xiàn)[3]則通過(guò)布爾函數(shù)討論了環(huán)Z2k上碼的性質(zhì),而在文獻(xiàn)[4]中進(jìn)一步研究了環(huán)Zpk+1上(1-pk)-循環(huán)碼,得到了環(huán)Zpk+1上循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)及其Gray像的關(guān)系,文獻(xiàn)[5]用另一種證明方法給出了環(huán)Zpm上循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)。近幾年,多項(xiàng)式剩余類(lèi)環(huán)上的線性碼也引起了人們的興趣。關(guān)于多項(xiàng)式剩余類(lèi)環(huán)上循環(huán)碼的性質(zhì)在文獻(xiàn)[6-9]中有較詳細(xì)的介紹。

環(huán)上循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)是編碼理論很重要的組成部分,因此,研究環(huán)上循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)是很有意義的。本文定義了剩余類(lèi)環(huán)R=Fpk+uFpk上(1-u)-循環(huán)碼,通過(guò)一個(gè)從R[x]/〈xn-1〉到R[x]/〈xn-(1-u)〉的同構(gòu)映射,討論了(1-u)-循環(huán)碼的結(jié)構(gòu),給出了其生成多項(xiàng)式及其碼字的個(gè)數(shù)。特別地,在p=2時(shí),給出了其對(duì)偶碼的生成多項(xiàng)式和自對(duì)偶碼存在的一個(gè)充要條件。需要特別指出的是,本文出現(xiàn)的p為素?cái)?shù),且(n,p)=1。

1 預(yù)備知識(shí)

通常情況下,多項(xiàng)式剩余類(lèi)環(huán)指Fp[u]/〈w(u)k+1〉,其中k>1,p是任意素?cái)?shù),而w(u)是Fp上次數(shù)為m≥1的不可約多項(xiàng)式。有限鏈環(huán)Fpk+uFpk是指Fpk[u]/〈u2〉。本文考慮的即為有限環(huán)Fpk+uFpk,記R=Fpk+uFpk,其極大理想為uR,剩余域?yàn)镕pk。

對(duì)?x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn),定義點(diǎn)積x·y=x1y1+x2y2+…+xnyn。

定義1 設(shè)v是Rn→Rn的映射,v(a0,a1,…,an-1)=((1-u)an-1,a0,a1,…,an-2),則稱(chēng)v是Rn上(1-u)-循環(huán)變換。

定義2 設(shè)v是Rn上(1-u)-循環(huán)變換,若Rn的加法子群C滿足?c∈C,v(c)=c,則稱(chēng)C是環(huán)R上(1-u)-循環(huán)碼。

定義3 令C⊥={u∈Rn,u·v=0,對(duì)?v∈C},則稱(chēng)C⊥為C的對(duì)偶碼。

定義4設(shè)f(x)、g(x)∈R[x],若f(x)·g(x)=xn-(1-u),則稱(chēng)g(x)為f(x)的零化多項(xiàng)式。

2 環(huán)R上(1-u)-循環(huán)碼

引理1[4]環(huán)R上長(zhǎng)為n的線性碼C是(1-u)-循環(huán)碼當(dāng)且僅當(dāng)P(C)是R[x]/〈xn-(1-u)〉的理想。

當(dāng)(n,p)=1時(shí),存在n1∈{0,1,…,p-1},使得n·n1=1(modp),令β=1+n1u∈R,則對(duì)任意i∈Z,有βi=1+in1u∈R,特別地,βn=1+u∈R,且β-n=1-u∈R。由此,作映射u滿足:

u:R[x]/〈xn-1〉→R[x]/

〈xn-(1-u)〉r(x)→r(βx)，

顯然,u是一個(gè)同構(gòu)映射,且I是R[x]/〈xn-1〉的理想當(dāng)且僅當(dāng)u(I)是R[x]/〈xn-(1-u)〉的理想。

為了方便,記Rn=R[x]/〈xn-1〉,則環(huán)Rn是主理想環(huán)[1]。

定理1 (1) 環(huán)R[x]/〈xn-(1-u)〉為主理想環(huán)。

(2) 設(shè)C是R上長(zhǎng)為n的(1-u)-循環(huán)碼,則xn-1在環(huán)Fpk上的素分解為：

xn-1=A(x)B(x)C(x)。

令P(C)=〈A1(x)B1(x),uA1(x)C1(x)〉,

其中

A1(x)=β-deg A(x)A(βx)；

B1(x)=β-deg B(x)B(βx)；

C1(x)=β-deg C(x)C(βx)；

β=1+n1u。

則P(C)由A1(x)(B1(x)+u)生成。

(3)C的基數(shù)為p2kdeg C1(x)+kdeg B1(x)。

為了方便，本文將多項(xiàng)式A(x)簡(jiǎn)記為A。

證明(1)Rn=R[x]/〈xn-1〉是主理想環(huán),映射u為同構(gòu)映射,因此環(huán)R[x]/〈xn-(1-u)〉為主理想環(huán)。

(2) 由A、B、C兩兩互素可得A1、B1、C1兩兩互素,由P(C)=〈A1B1,uA1C1〉得到A1B1、uA1B1、uA1B1∈P(C),又B1、C1互素,uA1∈P(C),因此,G=A1(B1+u)∈P(C),故〈G〉?P(C);反之,在環(huán)R[x]/〈xn-(1-u)〉中,A1(x)·B1(x)·C1(x)=xn-(1-u),uA1C1=(G-A1·B1)C1=GC1(mod(xn-1)),故uA1C1∈〈G〉,又uG=uA1·B1∈〈G〉,uA1∈〈G〉,則A1·B1=G-uA1∈〈G〉,P(C)?〈G〉,因此P(C)=〈G〉=〈A1(B1+u)〉。

(3) 由P(C)=〈A1(B1+u)〉,可得：

|P(C)|=p2k(n-deg A1-deg B1)pk(n-deg A1-deg C1)=

p2kdeg C1(x)+kdeg B1(x)。

3 F2k+uF2k上(1-u)-循環(huán)碼的對(duì)偶碼

引理3 設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)為n的(1-u)-循環(huán)碼,則C⊥是(1+u)-循環(huán)碼。

證明設(shè)(a0,a1,…,an)∈C⊥,對(duì)?(c0,c1,…,cn-1)∈C,則有：

((1-u)c1,(1-u)c2,…,(1-u)cn-1,c0)∈C,

(a0,…,an-1)·((1-u)c1,(1-u)c2,…,(1-u)cn-1,c0)=(1-u)c1a0+(1-u)c2a1+…+(1-u)cn-1an-2+c0an-1=0。

如果兩邊同時(shí)乘以1+u,可得：

c1a0+c2a1+…+cn-1an-2+(1+u)c0an-1=0,

那么((1+u)an-1,a0,a1,…,an-2)∈C⊥,因此C⊥為(1+u)-循環(huán)碼。

(1)C⊥是(1-u)-循環(huán)碼,且P(C⊥)=〈C2B2,uC2A2〉,P(C⊥)由C2(B2+u)生成。

(2)C⊥的基數(shù)為22kdeg A2+kdeg B2。

證明(1)可分別由引理2和定理1直接得出。

(2)由引理3,C⊥為F2k+uF2k上(1+u)-循環(huán)碼,又〈A1〉⊥=〈B2C2〉,且P(C)=〈A1B1,uA1C1〉?〈A1〉,因此,〈A1〉⊥?C⊥,即〈C2B2〉?C⊥。類(lèi)似地,〈uC2A2〉?〈C2〉=〈A1B1〉⊥,〈uC2A2〉?〈uA1C1〉⊥,則〈uC2A2〉?〈A1B1〉⊥∩〈uA1C1〉⊥=C⊥,故〈C2B2,uC2A2〉?C⊥。又|〈C2B2,uC2A2〉|=22kdeg A2+kdeg B2,|C|=22kdeg C1+kdeg B1,|C||C⊥|=|R|n,|C⊥|=22kdeg A1+kdeg B1,degA2=degA1degB2=degB1,由此可得|〈C2B2,uC2A2〉|=|C⊥|,因此P(C⊥)=〈C2B2,uC2A2〉。

類(lèi)似定理1的證明，可得P(C⊥)是由C2(B2+u)生成的。

證明當(dāng)C為自對(duì)偶碼時(shí),P(C)=P(C⊥),C⊥的生成多項(xiàng)式P(C)是C的生成多項(xiàng)式的零化多項(xiàng)式的互反多項(xiàng)式,且P(C)·P(C⊥)=0。

例1 在環(huán)F4+uF4上,設(shè)C是該環(huán)上長(zhǎng)為7的(1-u)-循環(huán)碼,x7-(1+u)=(x-(1+u))(x3+(1+u)x2+1+u)(x3+x+1+u)。

令A(yù)1=(x3+(1+u)x2+1+u)，B1=(x-(1+u)),C1=(x3+x+1+u),P(C)=〈A1B1,uA1C1〉,則由定理3知,C為自對(duì)偶碼,且P(C⊥)=〈C2B2,uC2A2〉,|C|=|C⊥|=4622。

4 結(jié) 論

本文給出了環(huán)Fpk+uFpk上(1-u)-循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式和碼的基數(shù)，以及環(huán)F2k+uF2k上(1+u)-循環(huán)碼的對(duì)偶碼的多項(xiàng)式及其自對(duì)偶的條件,關(guān)于剩余類(lèi)環(huán)Fpk+uFpk+…+uk-1Fpk上線性碼的更多研究必將極大地豐富有限環(huán)上的編碼理論的發(fā)展。