磁-腔量子電動力學(xué)系統(tǒng)中壓縮驅(qū)動導(dǎo)致的兩體與三體糾纏*

周英 謝雙媛 許靜平

1) (同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院， 先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200092)

2) (臺州學(xué)院電子與信息工程學(xué)院， 臺州 318000)

本文提出了一種通過壓縮驅(qū)動放置一個YIG 小球的腔量子電動力學(xué)(QED)系統(tǒng)產(chǎn)生兩體和三體糾纏的理論方案. 微波腔場與鐵磁共振(FMR)模和靜磁(MS)模的強(qiáng)耦合導(dǎo)致腔內(nèi)光子、FMR 模和MS 模之間互相產(chǎn)生糾纏. 穩(wěn)態(tài)情況下， 腔內(nèi)光子、FMR 模和MS 模之間可以產(chǎn)生三體糾纏， 其三體糾纏的最小剩余共生糾纏度隨非線性增益的增加而增大. 進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)， 該三體糾纏與MS 模式的耗散系數(shù)有關(guān)， 最小剩余共生糾纏隨MS 模耗散系數(shù)的減小而增大. 同時還發(fā)現(xiàn)， 壓縮驅(qū)動導(dǎo)致的三體糾纏對溫度不敏感， 具有很好的魯棒性. 結(jié)果表明磁-腔QED 系統(tǒng)是研究宏觀量子現(xiàn)象的一個強(qiáng)有力平臺.

1 引 言

強(qiáng)耦合與超強(qiáng)耦合是腔量子電動力學(xué)(cavity quantum electrodynamics， 腔QED)的研究熱點(diǎn)，其可以在單粒子水平上研究光與粒子之間的相互作用[1]， 在量子信息科學(xué)、量子計(jì)量等方面具有廣闊的應(yīng)用前景[2-4]. 基于強(qiáng)耦合與超強(qiáng)耦合的腔QED 系統(tǒng)， 人們可以產(chǎn)生非經(jīng)典光源[5，6]、超靈敏探測和控制[7]、超輻射現(xiàn)象[8，9]以及光子阻塞效應(yīng)[10-12]等. 近年來， 釔鐵石榴石(yttrium iron garnets， YIG)材料因出色的亞鐵磁性質(zhì)而備受關(guān)注.YIG 材料的居里溫度為559 K， 因此， 其在低溫[13-15]和室溫[16]下皆呈現(xiàn)出鐵磁性. 同時， YIG 材料不僅具有較高的自旋密度(約為2.1 × 1022cm—3)， 而且自旋之間存在較強(qiáng)的交換相互作用， 這使得集體自旋激發(fā)具有較低的耗散率(約為1 MHz). 已有研究表明， YIG 小球中波矢為零的Kittel 模[17]可與微波腔光子實(shí)現(xiàn)強(qiáng)耦合[13-16，18，19]和超強(qiáng)耦合[20，21]， 從而導(dǎo)致腔磁極化子. 由于腔內(nèi)光子與YIG小球之間的強(qiáng)耦合使不同載體之間的信息傳遞成為可能， 故而促發(fā)了一系列有趣的研究， 例如： 雙穩(wěn)態(tài)[22]、腔自旋電子學(xué)[18，23]、磁暗態(tài)模[24]、以及磁誘導(dǎo)透明[25]等. 同時， 可磁控的慢光[26]以及Kittel模與單個超導(dǎo)比特(qubit)之間的耦合[27]也正在深入研究.

有關(guān)YIG 材料糾纏的研究是近幾年一個重要的研究方向. Li 等[28]在放置一個YIG 小球的諧振腔磁力機(jī)械系統(tǒng)中， 由磁場直接驅(qū)動YIG 小球， 腔內(nèi)光子和磁子通過磁偶極相互作用耦合， 磁子和聲子則是通過磁致伸縮相互作用耦合. 在穩(wěn)態(tài)情況下， 該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了腔內(nèi)光子、磁子和聲子的三體糾纏. 同時， 他們還發(fā)現(xiàn)， 在腔中放置兩個YIG 小球時， 也可利用YIG 小球內(nèi)磁子和聲子之間磁致伸縮提供的非線性作用， 實(shí)現(xiàn)兩個YIG 小球內(nèi)磁子間的糾纏[29]. 之后， Zhang 等[30]提出， 磁晶各向異性產(chǎn)生的Kerr 非線性作用可以替代YIG 小球因磁致伸縮而產(chǎn)生的非線性效應(yīng). 當(dāng)采用藍(lán)失諧的微波場驅(qū)動磁-腔QED 系統(tǒng)時， 可以實(shí)現(xiàn)兩個相同YIG 小球內(nèi)磁子間的糾纏. Nair 和Agarwal[31]則提出， 即使磁-腔QED 系統(tǒng)沒有任何非線性， 采用壓縮真空場[32，33]注入的方式， 同樣可以產(chǎn)生非線性效應(yīng)， 使兩個相同的YIG 小球內(nèi)磁子之間產(chǎn)生很大的糾纏.

本文考慮放置一個YIG 小球的磁-腔QED 系統(tǒng)， 以腔內(nèi)光子、鐵磁共振(ferromagnetic resonance， FMR)模和靜磁(magnetostatic， MS)模作為研究對象， 采用泵浦光注入系統(tǒng)， 利用參量下轉(zhuǎn)換使系統(tǒng)產(chǎn)生非線性， 從而使腔模壓縮， 探討產(chǎn)生糾纏的理論方案. 在該方案中， YIG 小球的集體自旋激發(fā)(FMR 模)， 及其頻率附近的MS 模[19，34]同時與腔內(nèi)光子產(chǎn)生強(qiáng)耦合. 通過光參量放大過程壓縮驅(qū)動腔模， 使腔內(nèi)光子、FMR 模和MS 模之間互相產(chǎn)生糾纏. 在一定的參數(shù)范圍內(nèi)， 它們還可以產(chǎn)生三體糾纏. 進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)， 糾纏的強(qiáng)弱與光參量放大的非線性增益系數(shù)和MS 模的耗散系數(shù)有關(guān)， 同時， 壓縮驅(qū)動導(dǎo)致三體糾纏對溫度不敏感，具有很好的魯棒性.

2 理論模型

本文采用文獻(xiàn)[19]的微波腔. 在微波腔中產(chǎn)生TE102模式， 為了使YIG 小球與微波腔場之間產(chǎn)生強(qiáng)耦合， 將YIG 小球放置在矩形微波腔短邊(y方向)的中心處(如圖1(a)所示). 這是因?yàn)門E102模式在這個位置具有較強(qiáng)的微波磁場， 且與微波腔短邊平行. 同時， 外加一個x方向的靜磁場， 則該靜磁場與YIG 小球處的微波磁場垂直. 調(diào)節(jié)靜磁場可使YIG 小球中的磁子與微波腔的TE102模式共振. YIG 小球內(nèi)大量自旋的集體運(yùn)動表現(xiàn)為鐵磁共振模(FMR 模)， 在FMR 模共振頻率附近還存在另一種集體自旋激發(fā)的模式， 即為靜磁模(MS模)[19]. FMR 模和MS 模都是集體自旋激發(fā)的長波模式， 其中FMR 模是均勻磁化的Kittel 模[13-16]，而MS 模則是非均勻磁化模， 其磁化情況與樣本尺寸有關(guān).

根據(jù)腔量子電動力學(xué)理論， 該系統(tǒng)的哈密頓量可寫為

圖1 (a) 磁-腔QED 系統(tǒng)示意圖. YIG 小球位于腔中短邊中心處， 該處微波腔的TE102 模式的磁場沿y 軸方向， 靜磁場沿x 軸方向； (b) 利用Comsol 模擬微波腔TE102 的網(wǎng)格劃分示意圖； (c) 微波腔TE102 模式的磁場方向和磁場強(qiáng)度Fig. 1. (a) Schematic diagram of a magnetic-cavity QED system. A YIG sphere is located at the center of one short edge in the cavity， where magnetic field of microwave cavity mode TE102 is along y-axis direction， and static magnetic field is along x-axis direction； (b) schematic diagram of grid of microwave cavity mode TE102 by Comsol simulation； (c) magnetic field direction and magnetic field intensity of the microwave cavity mode TE102.

這里ωc表示腔模的頻率，a(a?) 表示腔模中微波光子的湮滅(產(chǎn)生)算符，g為朗德g因子，μB為玻爾磁子，和B(MS)分別表示YIG 小球所處位置FMR 模和MS 模的有效磁場. FMR 模的集體自旋算符， MS模的集體自旋算符其中為FMR 模和MS 模的升降算符. 利用Holstein-Primakoff 變換[35]可以將磁子的集體自旋算符用磁子湮滅(產(chǎn)生)算符表示， 即

其中為FMR(MS)模的總自旋數(shù)，為FMR 模的湮滅(產(chǎn)生)算符，為MS 模的湮滅(產(chǎn)生)算符. 對于低激發(fā)情況，可以得到以 及令分別表示FMR 和MS模的角頻率表示腔內(nèi)光子與FMR(MS)模的耦合強(qiáng)度. 利用旋波近似， 哈密頓量(1)式可以寫成

考慮一束角頻率為ω0、拉比頻率為εp的微波場沿x方向入射. 另一束角頻率為 2ω0的泵浦場沿y方向驅(qū)動一塊二階非線性晶體， 利用二階非線性過程產(chǎn)生壓縮的腔模， 其光參量放大的非線性增益系數(shù)為Ω. 此時， 系統(tǒng)的總哈密頓量可寫成

這里腔模中的光子、FMR 模和MS 模的湮滅(產(chǎn) 生)算符滿 足對微波場頻率ω0作旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換， 系統(tǒng)的哈密頓量可簡化為

其中，Δc=ωc?ω0為腔模的失諧量，Δm1=ωm1?ω0為FMR 模的失諧量，Δm2=ωm2?ω0為MS 模的失諧量.

根據(jù)量子朗之萬方法， 可以得到一組算符的耦合方程組：

這里κa, κ1和κ2分別為微波腔、FMR 模和MS模的損耗，則表示輸入的熱噪聲，其平均值為零， 并且具有如下關(guān)系[36]：

線性化方程組(5)式—(7)式， 即將算符寫成O=〈O〉+δO(O=a,m1,m2)， 可以得到算符期望值的方程組：

下標(biāo)Re 表示實(shí)部， Im 表示虛部. 通過求解上述方程組， 可以得到穩(wěn)態(tài)期望值如下：

采用22 mK 時的實(shí)驗(yàn)參數(shù)[19]，=10.306 GHz，κa/2π=2.4 MHz，κ1/2π=1.3 MHz ，κ2/2π=3.3 MHz，g1/2π=7.5 MHz ，g2/2π=8.3 MHz ，ωm1/2π=10.306 GHz，ωm2/2π=10.265 GHz . 其中表明腔內(nèi)光子 與FMR模和MS 模之間的耦合為強(qiáng)耦合. 對磁-腔QED 系統(tǒng)注入一束拉比頻率εp=γ(γ/2π= 1.0 MHz) 的微波光場和另一束非線性增益Ω=1.5γ的泵浦光， 系統(tǒng)的平均光子數(shù)、FMR 模的平均磁子數(shù)和MS 模的平均磁子數(shù)如圖2 所示. 顯然， 在Δc≈0 ，Δm1≈20γ附近， 微波腔內(nèi)平均光子數(shù)、FMR 模和MS 模的平均磁子數(shù)出現(xiàn)極大值， 其物理原因可以通過分析(14)式的極值點(diǎn)獲得. 取P=0 且忽略所有耗散項(xiàng)， 可以得到(14)式的極值點(diǎn)位于Δc=0 ， 且當(dāng)g1=g2，Δm1=?Δm2， 即Δm1≈(ωm1?ωm2)/2≈20γ時， 驅(qū)動場與磁-腔QED 系統(tǒng)的耦合最強(qiáng)， 從而可以觀察到較多的光子數(shù)和磁子數(shù).

3 磁-腔QED 系統(tǒng)中的兩體糾纏

這里研究該系統(tǒng)中的兩體糾纏. 忽略二階漲落項(xiàng)， 腔內(nèi)光子和兩個磁模的正交漲落項(xiàng)可由下式給出：因此， 描述系統(tǒng)正交漲落項(xiàng)的線性朗之萬方程(δX,δY,δx1,δy1,δx2,δy2)可以寫成：

圖2 (a) 平均光子數(shù)、(b) FMR 模的平均磁子數(shù)和 (c) MS模的平均磁子數(shù)隨失諧量 Δ m1 和 Δ c 的變化關(guān)系， 其中γ/2π=1.0 MHz . 取 ε p =γ ， Ω =1.5γ ， 其他參數(shù)已在正文中給出Fig. 2. (a) Average photon number， (b) FMR mode average magnon number， and (c) MS mode average magnon number versus detunings Δ m1 and Δ c ， where， γ/2π=1.0 MHz . We take ε p =γ ， Ω =1.5γ . Other parameters are given in the text.

以高斯噪聲為例， 系統(tǒng)量子漲落的穩(wěn)態(tài)是連續(xù)變量的三模高斯態(tài)， 可以用6 × 6 的協(xié)方差矩陣V來描述， 定義為Vij=〈fi(t)fj(t′)+fj(t′)fi(t)〉/2(i,j=1,2,··· ,6).

一般地， 協(xié)方差矩陣V滿足Lyapunov 方程[37，38]，即

對于兩體糾纏， 負(fù)值度EN[39，40]定義為

這里，為協(xié)方差矩陣的最小辛矩陣特征值，是辛矩陣，其中，P1|2=diag(1,?1,1,1) ，V4是三體系統(tǒng)中任意兩體子系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣.EN ＞0表示系統(tǒng)存在兩體糾纏.

利用(20)式計(jì)算了腔內(nèi)光子-FMR 模， 腔內(nèi)光子-MS 模和FMR 模-MS 模之間的兩體糾纏， 分別用Eam1，Eam2和Em1m2表示. 圖3(a)—圖3(c)分別表示Eam1，Eam2和Em1m2隨失諧量Δm1和Δc的變化關(guān)系， 系統(tǒng)參數(shù)與圖2 一致. 顯然， 腔內(nèi)光子、FRM 模和MS 模之間均產(chǎn)生兩兩糾纏(Eij始終大于零，i,j=a,m1,m2). 比較圖3(a)和圖3(b)可知，Eam1與Eam2幾乎關(guān)于點(diǎn)(Δc≈0，Δm1≈20γ)對稱. 當(dāng)驅(qū)動光和FMR 模共振， 和MS 模非共振時(即Δm1=0 )， 光子和FMR 模的糾纏最大. 當(dāng)驅(qū)動光和MS 模共振， 和FMR 模非共振時(即Δm1≈40γ)， 光子和MS 模的糾纏最大. 同時，Eam1的最大值略大于Eam2的最大值， 這是因?yàn)镕MR 模的耗散系數(shù)略小于MS 模的耗散系數(shù). 如圖3(c)所示， 在Δc≈0，Δm1≈20γ附近， FMR 模-MS 模糾纏的負(fù)值度Em1m2出現(xiàn)極大值， 這是因?yàn)榇藭rΔm1≈(ωm1?ωm2)/2≈20γ， FMR 模與MS 模具有相同的激發(fā)強(qiáng)度， 非線性效應(yīng)最強(qiáng)， 從而導(dǎo)致該處負(fù)值度較大.

除了失諧量， 非線性增益系數(shù)也影響兩體糾纏. 取Δm1=23γ，Δc=?2.5γ， 腔內(nèi)光子、FMR模和MS 模之間的兩體糾纏如圖3(d)所示， 其中橫坐標(biāo)為非線性增益系數(shù)Ω. 當(dāng)Ω=0 時(即只有線性驅(qū)動光)， 腔內(nèi)光子、FMR 模和MS 模之間的兩體糾纏度皆為零， 表明在沒有非線性效應(yīng)時， 系統(tǒng)不會產(chǎn)生兩體糾纏. 利用參量下轉(zhuǎn)換提供的非線性壓縮驅(qū)動腔模產(chǎn)生糾纏， 這與利用壓縮真空場[31]和磁晶各向異性的Kerr 材料[30]中的非線性產(chǎn)生糾纏的做法類似. 如圖3(d)所示， 兩體糾纏的負(fù)值度Eij隨非線性增益系數(shù)Ω的增加而增大.

4 磁-腔QED 系統(tǒng)中的三體糾纏

最后， 考慮該磁-腔QED 系統(tǒng)的三體糾纏. 度量三體糾纏的最小剩余共生糾纏[41，42]滿足：

圖3 兩體糾纏的負(fù)值度 (a) E am1 ， (b) E am2 和(c) E m1m2 隨失諧 量 Δ m1 和 Δ c 的變化關(guān)系. 其中 ε p =γ ， Ω =1.5γ . (d)負(fù)值度 E am1 (實(shí)線)、 E am2 (虛線)和 E m1m2 (點(diǎn)劃線)隨非線性增益 Ω 的變化. 其中 ε p =γ ， Δ c =?2.5γ ， Δ m1 =23γ . 其他參數(shù)與圖2 一致Fig. 3. Density plot of logarithmic negativity related to bipartite entanglement (a) E am1 ， (b) E am2 and (c) E m1m2 versus detunings Δm1 and Δ c ， where ε p =γ ， Ω =1.5γ . (d) Logarithmic negativity E am1 (solid)， E am2 (dashed)， and E m1m2 (dot-dashed) versus the nonlinear gain coefficient Ω ， we take ε p =γ ， Δ c =?2.5γ and Δ m1 =23γ . The other parameters are the same as in Fig.2.

圖4 (a) 不同非線性增益情況下， 三體糾纏的最小剩余共生糾纏 隨失諧量 Δ m1 的變化關(guān)系； (b) 最小剩余共生糾纏隨溫度T 的變化， 其中 ε p =γ ， Δ c =?2.5γ . 虛線、實(shí)線、點(diǎn)線和點(diǎn)劃線分別對應(yīng)非線 性相互作用強(qiáng)度 Ω =1.65γ ， Ω =1.5γ ，Ω =1.0γ 和 Ω =0.5γ 的情況. 在圖4(b)中， 取 Δ m1 =23γ ， 其他參數(shù)與圖2 一致Fig. 4. (a) Tripartite entanglement in terms of the minimum residual contangle versus detuning Δ m1 ； (b) robust against temperature of the minimum residual contangle Where ε p =γ ， Δ c =?2.5γ . The dashed line， solid line， dotted line， and dash-dot line indicate nonlinear interaction strength Ω =1.65γ ， Ω =1.5γ ， Ω =1.0γ ， and Ω =0.5γ ， respectively. At the same time， we take Δ m1 =23γ for Fig. 4 (b). The other parameters are the same as in Fig. 2.

取Δc=?2.5γ， 圖4(a)給出了三體糾纏的最小剩余共生糾纏隨失諧量Δm1的變化關(guān)系. 顯然， 當(dāng)Ω=0 時，=0 ， 系統(tǒng)不存在三 體糾纏.當(dāng)Ω＞0 時，＞0 ， 非線性效應(yīng)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)三體糾纏， 且在Δm1≈20γ附近存在極大值，表示具有最強(qiáng)的三體糾纏度. 這是因?yàn)樵撎庲?qū)動場與磁-腔QED 系統(tǒng)的耦合最強(qiáng)， 非線性效應(yīng)也最強(qiáng)， 從而激發(fā)了最大的三體糾纏. 隨著非線性增益Ω的增加， 最小剩余共生糾纏的極大值也隨之變大. 取Δm1=23γ， 圖4(b)給出了三體糾纏隨溫度T的變化關(guān)系. 顯然， 最小剩余共生糾纏對溫度不敏感， 具有很好的魯棒性. 同時發(fā)現(xiàn)， 非線性增益Ω越大， 三體糾纏的魯棒性越好. 當(dāng)Ω=1.5γ時，的溫度魯棒性可達(dá)到200 mK.同時還注意到， 在非線性增益系數(shù)Ω=0 時， 系統(tǒng)沒有非線性， 所以沒有糾纏. 當(dāng)Ω＞0 時， 非線性效應(yīng)導(dǎo)致三體糾纏的產(chǎn)生. 同時， 非線性導(dǎo)致的量子擾動和溫度導(dǎo)致的量子擾動相互干涉， 從而導(dǎo)致圖4(b)中出現(xiàn)一個小峰. 并且當(dāng)T很小的時候，Ω導(dǎo)致的三體糾纏占主導(dǎo)， 當(dāng)溫度增大到一定程度后， 熱擾動使三體糾纏度變小. 所以圖4(b)中最小剩余共生糾纏隨溫度的變化不是單調(diào)減小， 并且在溫度增大到一定程度后才出現(xiàn)顯著下降.

除了非線性激發(fā)強(qiáng)度， MS 模的耗散系數(shù)也是影響三體糾纏的重要因素之一. 如圖5 所示， 減小MS 模的耗散系數(shù)， 系統(tǒng)的最小剩余共生糾纏增大， 從而可以獲得更大的三體糾纏.

圖5 三體糾纏的最小剩余共生糾纏 隨失諧量Δm1和耗散系數(shù) κ 2的變化關(guān)系； 設(shè)定 ε p =γ ， Ω =1.5γ ，Δc =?2.5γ ， 從左到右， κ 2 所取的數(shù)值分別為 1 .7γ ， 2 .1γ ，2.5γ ， 2 .9γ 以及 3 .3γ . 其他參數(shù)與圖2 一 致Fig. 5. Tripartite entanglement in terms of the minimum residual contangle versus detuning Δ m1 and dissipation rates κ 2 ， setting ε p =γ ， Ω =1.5γ and Δ c =?2.5γ ，the lines denote 1 .7γ ， 2 .1γ ， 2 .5γ ， 2 .9γ , and 3 .3γ forκ2 from left to right. The other parameters are the same as in Fig. 2.

5 結(jié) 論

本文提出一種利用新的非線性機(jī)制在磁-腔QED 系統(tǒng)中產(chǎn)生兩體和三體糾纏的理論方案. 該磁-腔QED 系統(tǒng)中只含有一個YIG 小球， 腔內(nèi)光子耦合YIG 小球中集體自旋激發(fā)的FMR 模和MS 模， 通過注入泵浦光， 利用參量下轉(zhuǎn)換使系統(tǒng)產(chǎn)生非線性， 從而壓縮驅(qū)動腔模， 使系統(tǒng)產(chǎn)生糾纏.采用實(shí)驗(yàn)可行的參數(shù)， 穩(wěn)態(tài)情況下， 腔內(nèi)光子、FMR模和MS 模之間互相實(shí)現(xiàn)兩體糾纏. 當(dāng)關(guān)閉泵浦光的輸入(Ω=0 )， 系統(tǒng)不產(chǎn)生糾纏. 同時， 該穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)還可以實(shí)現(xiàn)三體糾纏， 度量三體糾纏的最小剩余共生糾纏隨非線性增益的增加而增大. 進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)， 該三體糾纏與MS 模式的耗散系數(shù)有關(guān)， 減小MS 模的耗散系數(shù)， 系統(tǒng)的最小剩余共生糾纏增大， 從而可以獲得更大的三體糾纏. 研究同時得出三體糾纏對溫度不敏感， 具有很好的魯棒性.

感謝同濟(jì)大學(xué)朱成杰研究員、羊亞平教授和浙江大學(xué)李杰老師的有益討論.