共焦腔穩(wěn)定性突變的分析*

胡悅 曹鳳朝 董仁婧 郝辰悅 劉大禾 石錦衛(wèi)

(北京師范大學物理學系， 應用光學北京市重點實驗室， 北京 100875)

光學諧振腔是現(xiàn)代光學的基礎性器件. 本文從最常見的共焦腔出發(fā)， 分別從代數(shù)解析和幾何拓撲的角度解釋了其穩(wěn)定性隨參數(shù)變化而發(fā)生突變的現(xiàn)象， 給出了突變的數(shù)學原因和物理原因. 從數(shù)學的角度看， 共焦腔穩(wěn)定性突變是因為反三角余弦函數(shù)的函數(shù)值在傳統(tǒng)的定義域以外由復數(shù)向實數(shù)的突變； 從幾何拓撲的角度看， 根據(jù)光線在腔內的傳播路徑定義拓撲荷， 由于只有拓撲荷為零的腔是穩(wěn)定的， 且拓撲荷的變化是量子化的， 因此共焦腔的穩(wěn)定性發(fā)生突變. 并根據(jù)其突變原因設計由雙非穩(wěn)腔組合的耦合腔， 重新構建拓撲荷， 實現(xiàn)了新的穩(wěn)定腔， 并且在其中發(fā)現(xiàn)了單腔中沒有的新模式.

1 引 言

光學諧振腔是一類非常重要的光學元件， 在激光的產(chǎn)生[1-2]、非線性光學轉換[3-6]、光與物質相互作用[7-8]、光學傳感器[9-10]等領域都有廣泛的應用. 對光學諧振腔的穩(wěn)定性分析是其主要的研究方面， 該研究一般是從幾何光學的角度來進行的. 根據(jù)它們幾何損耗的不同可以分為穩(wěn)定腔、臨界腔和非穩(wěn)腔三類. 其中典型穩(wěn)定腔包括對稱共焦腔、滿足一定參數(shù)條件的雙凹腔、平凹腔等； 典型臨界腔包括平行平面腔、共心腔等； 典型非穩(wěn)腔包括雙凸腔、平凸腔等[1]. 由于腔的種類不同， 其幾何損耗有很大的不同， 因此它們在激光器發(fā)展的歷史上分別有著不同的用途. 比如， 調諧腔的耦合系數(shù)與損耗可以用于制作單模激光器[11-15]、高靈敏度傳感器[16-19]、單向耦合器件等[20-21].

教材中有一種常用的判斷諧振腔穩(wěn)定性的數(shù)學方法—傳播矩陣法[1]. 該方法將光線在諧振腔中的直線傳播和反射過程表示為矩陣的形式， 進而計算出光線在腔內往返n次對應的傳播矩陣Tn， 如(1) 式所示：

(1) 式中A,B,C,D,φ的表達式如(2) 式所示：

式中，R1和R2分別表示兩腔鏡的半徑，L表示腔長， 如圖1(a)所示. 若將光線表示為列向量的形式， 則在諧振腔內往返n次的光線與入射光線滿足如 (3) 式：

式中rn(1)表示往返n次(入射)的光線與軸的距離，θn(1)表 示往返n次(入射)的光線與腔軸的夾角.

因此， 若諧振腔穩(wěn)定， 需要保證矩陣Tn的每一個元素都為有限值， 進而需要保證φ為實數(shù)， 且不等于 π 的整數(shù)倍， 即保證可改寫成(4)式所示：

其中，g1=1?L/R1，g2=1?L/R2. 腔的穩(wěn)定性與g1g2的關系如表1 所示.

表1 腔的穩(wěn)定性與 g 1g2 的關系Table 1. Relationship between the stability of the cavity and the factors.

根據(jù)表1 中的關系， 分別以g1和g2為坐標軸畫出穩(wěn)定圖， 如圖1(b)所示. 圖中白色的區(qū)域表示穩(wěn)定腔， 坐標軸和雙曲線上的點表示臨界腔， 灰色的區(qū)域表示非穩(wěn)腔.

圖1 腔的穩(wěn)定性分析 (a)諧振腔的示意圖及參數(shù)，O1 和O2 代表腔鏡的球心， R1 和R2 分別表示兩腔鏡的半徑， L 表示腔長； (b)穩(wěn)定圖， 白色的區(qū)域表示穩(wěn)定腔， 坐標軸和雙曲線上的點表示臨界腔， 灰色的區(qū)域表示非穩(wěn)腔Fig. 1. Stability analysis of the cavity： (a) Schematic diagram and parameters of the resonator cavity： O1 and O2 represent the spherical center of the cavity mirror， R1 and R2 represent the radius of the two mirrors， L represents the cavity length； (b) stability diagram， the white area represents the stable cavity， the coordinate axis and the hyperbola point represents the critical cavity， and the gray area represents the unstable cavity.

值得指出的是上述關系式不適用于g1=0 且g2=0的情況， 即穩(wěn)定圖中原點的位置. 圖1(b)中原點代表對稱共焦腔， 為穩(wěn)定腔， 而非臨界腔. 而這一點的特殊性質會引起共焦腔的穩(wěn)定性在參數(shù)變化過程中發(fā)生突變. 雖然是個經(jīng)典體系的基礎問題， 但是文獻中關于這一點的研究分析還遠遠不夠. 本文將會首先闡述共焦腔穩(wěn)定性突變的含義，然后分別從解析和拓撲的角度對這個看似違背直覺的現(xiàn)象給出解釋. 隨后根據(jù)上述分析提出一種耦合的雙腔， 盡管其每個單腔都是非穩(wěn)的， 但是從拓撲學上分析發(fā)現(xiàn)， 整個雙腔是穩(wěn)定的. 最后用數(shù)值模擬驗證了這個構想， 通過分析品質因子Q值(quality factors)的變化證明了腔的穩(wěn)定性， 并發(fā)現(xiàn)了耦合雙腔中還存在單腔中不存在的新模式. 這些發(fā)現(xiàn)提出了一種新的調控微腔損耗的方法， 對新型微納激光器、片上非線性器件、非厄米光學傳感器等研究具有一定的價值.

2 共焦腔穩(wěn)定性的突變

共焦腔滿足如 (5) 式所示的關系：

將 (5) 式用g1和g2表示， 可以得到如 (6) 式所示的關系：

對于非共焦腔(不考慮含有平面鏡的腔)：

當時， 滿足(8) 式關系：

將 ΔL分別取0， 0.15L和—0.25L， 即R1+R2=2L，R1+R2=2.3L和R1+R2=1.5L三種腔在穩(wěn)定圖上對應的曲線畫出， 如圖2 所示. 圖中實線表示共焦腔， 但線上的g1=1 且g2=1 的點表示平行平面腔， 不符合共焦腔和非共焦腔的概念， 在圖中用紅色圓圈除去. 虛線表示滿足R1+R2=2.3L的非共焦腔， 點劃線表示滿足R1+R2=1.5L的非共焦腔.

從圖2 中可以看出： 在g1連續(xù)增大的過程中，非共焦腔從非穩(wěn)腔變化到穩(wěn)定腔的過程中必須經(jīng)過臨界腔； 而共焦腔的穩(wěn)定性變化不經(jīng)過臨界腔，直接從非穩(wěn)腔變化為穩(wěn)定腔， 再到非穩(wěn)腔. 這一穩(wěn)定性突變過程看似違反物理上的連續(xù)性， 下面將會從解析和拓撲兩個角度對其給出解釋.

圖2 共焦腔和幾種非共焦腔對應的曲線， 實線表示共焦腔， 虛線表示滿足 R 1+R2 =2.3L 的非共焦腔， 點劃線表示滿足 R 1+R2 =1.5L 的非共焦腔(紅色圓圈除外)Fig. 2. Stability curves corresponding to the confocal cavity and non-confocal cavities. The solid line represents the confocal cavity， the dotted line represents the non-confocal cavity satisfying R 1+R2 =2.3L ， and the dash dot line represents the non-confocal cavity satisfyingR1+R2 =1.5L .(except for the red circle).

3 共焦腔穩(wěn)定性突變的解析分析

考慮一個腔長仍為L的非對稱共焦腔， 它的兩個腔鏡的半徑分別為R1=L+ΔR和R2=L ?ΔR，其中 ΔR ?L， 是一個數(shù)學小量， 它在穩(wěn)定圖上對應的點在實線上原點附近的鄰域內， 從穩(wěn)定圖上看屬于非穩(wěn)腔. 現(xiàn)在需要計算這個共焦腔的傳播矩陣Tn， 從而找出穩(wěn)定性突變的解析原因.

為了計算矩陣Tn的元素， 首先需要計算參數(shù)φ.將R1和R2的值代入(2)式的第5 式， 可以求出φ如 (9) 式所示：

用φ+(2k+1)π 替換上式中的φ可得：

其中，k為整數(shù)， 即k=0,±1,±2,···. 將 (10) 式的余弦函數(shù)用指數(shù)函數(shù)展開， 可得：

整理可以得到一元二次方程：

可求解φ：

從 (13) 式可以看出，φ的實部不唯一. 按照上述方法對反三角余弦函數(shù)的定義域進行延拓， 可以發(fā)現(xiàn)， 在傳統(tǒng)定義域以外的反三角余弦函數(shù)的值是實部為π 的奇數(shù)倍的復數(shù). 從后續(xù)計算中可以發(fā)現(xiàn)，φ的實部以及虛部的符號不影響計算結果， 因此為了簡化計算， 規(guī)定：

即取φ的實部為?π ， 虛部為并將的值記作b， 滿足b≥0 .

將矩陣Tn中的 sinφ和 sinnφ展開成指數(shù)函數(shù)，再將φ的值代入， 可得：

從 (15) 式中可以看出， 若將 cos(nπ) 替換成cos[(2k+1)nπ] ， 再將b替換成?b， 結果不受影響，因此上述為簡化計算而做出的規(guī)定是合理的.

當光線往返次數(shù)足夠大， 即n→∞時， 對于非對稱共焦腔(b＞0 )， 可省略分子上的 e xp(?nb) ，將上式簡化為

同理可得：

將(16)式、(17)式代入矩陣Tn的表達式中，得到這個非對稱共焦腔的傳播矩陣， 如 (18) 式所示：

從 (18) 式中可以看出，Tn的每一項都含有exp(nb) 項， 且對于非對稱共焦腔，b＞0 ， 因此當n →∞時，Tn發(fā)散. 但是對于對稱共焦腔， ΔR=0 ，因此φ=π 為實數(shù)， 上述計算不成立. 根據(jù)洛必達法則可以知道：

將 (19) 式、(20) 式代入Tn的表達式， 可以得到對稱共焦腔的傳播矩陣. 當光線往返次數(shù)為奇數(shù)次時：

當光線往返次數(shù)為偶數(shù)次時：

因此， 對稱共焦腔的傳播矩陣不發(fā)散， 從而驗證了對稱共焦腔為穩(wěn)定腔.

綜合分析非對稱共焦腔和對稱共焦腔的傳播矩陣， 可以發(fā)現(xiàn)， 導致共焦腔穩(wěn)定性突變的解析原因是在傳統(tǒng)定義域的邊界， 反三角函數(shù)值由復數(shù)突變?yōu)閷崝?shù).

4 共焦腔穩(wěn)定性突變的拓撲分析

下面， 我們從幾何光線拓撲性質的角度重新理解這個問題. 根據(jù) (3) 式可以知道， 往返偶數(shù)次和奇數(shù)次出射的光線分別是入射光線自身和一條與它關于光軸對稱的光線， 在對稱共焦腔內形成穩(wěn)定的模式分布.

畫出一束平行于光軸的入射光在對稱共焦腔和非對稱共焦腔中傳播的路徑， 如圖3 所示. 從幾何光學的角度， 觀察它在腔內的傳播路徑， 并根據(jù)閉合回路的數(shù)量及方向定義拓撲荷， 記作TC(topological charge). 下文將闡述本文對共焦腔的拓撲荷的定義： 規(guī)定按照右手螺旋定則， 方向向外的回路記作l(loop) = +1， 向內的回路l= -1； 按照圖1 的腔鏡配置， 定義入射光的方向d(direction)，由曲率半徑大的腔鏡射向曲率半徑小的腔鏡d= +1，由曲率半徑小的腔鏡射向曲率半徑大的腔鏡d=-1， 則腔的拓撲荷的定義為各回路的l與d的乘積之和：

圖3 對稱和非對稱共焦腔的拓撲荷分析 光線在 (a)穩(wěn)定圖上第二象限的非對稱共焦腔( R 1 ＜R2 )； (b)對稱共焦腔； (c)第四象限的非對稱共焦腔( R 1 ＞R2 )內的傳播路徑圖Fig. 3. Topological charge analysis of symmetric and asymmetric confocal cavities. The propagation path diagram of light in：(a) the asymmetric confocal cavity in the second quadrant ( R 1 ＜R2 )； (b) the symmetric confocal cavity； (c) the asymmetric confocal cavity in the fourth quadrant ( R 1 ＞R2 ).

將圖3 中左、右兩面腔鏡的半徑分別記作R1，R2， 則圖3(a)，3(b)，3(c)分別為穩(wěn)定圖上第二象限的非對稱共焦腔(R1＜R2)、對稱共焦腔和第四象限的非對稱共焦腔(R1＞R2)內的光線傳播路徑圖， 其中圖3(a)與圖3(c)互為鏡像. 圖中已經(jīng)標出每一個回路對應的拓撲荷. 圖3(a)的非對稱共焦腔內不能形成穩(wěn)定的模式， 對于圖中給定的光線只能有一個閉合回路， 且根據(jù)我們的規(guī)定和圖示的入射方式， TC = -1； 圖3(c)的非對稱共焦腔與上圖互為鏡像， 二者在穩(wěn)定圖上對應的點分別位于二、四象限， 且關于一三象限的角平分線對稱， 以同樣的方式向圖6(c)所示的腔鏡上入射一束光，也只能形成一個閉合回路， 且TC = + 1. 還可以按照另一種方式理解， 即圖3(c)相當于圖3(a)的時間反演， 自然拓撲荷的絕對值相等， 符號相反.圖3(b)為對稱共焦腔， 其內部有穩(wěn)定的模式， 可以形成方向相反的兩個回路， 因此任意光線的TC = 0.

從穩(wěn)定圖上看， 三個共焦腔對應的點分別位于實線上第二象限、原點和第四象限， 可以據(jù)此判斷，位于第二象限的所有非對稱共焦腔拓撲荷都為-1， 第四象限的非對稱共焦腔拓撲荷均為+1. 因此， 當g1從負數(shù)連續(xù)增大， 并經(jīng)過原點時， 拓撲荷從-1 變?yōu)? 再變?yōu)?1. 只有拓撲荷為零的腔內才可能形成閉合回路， 從而是穩(wěn)定的， 而拓撲荷等于+1 和?1 的腔都是非穩(wěn)的. 由于拓撲荷的變化只能是量子化的， 不是連續(xù)的， 因此共焦腔的穩(wěn)定性發(fā)生突變.

此外， 上述分析也說明了穩(wěn)定腔的拓撲荷為零， 非穩(wěn)腔的拓撲荷不為零； 而且， 拓撲荷為零的腔一定是穩(wěn)定腔. 如果把拓撲荷分別為-1 和+1的兩個非穩(wěn)腔組合在一起， 可以形成總拓撲荷為零的穩(wěn)定的耦合腔， 如圖4(a)所示. 這個新的穩(wěn)定腔是兩個非穩(wěn)定腔耦合形成的， 因此其腔模不同于原來的非穩(wěn)定腔， 為驗證兩個非對稱共焦腔組合后的耦合腔的穩(wěn)定性， 利用時域有限差分法(finite difference time domain method， FDTD) 分別對如圖3(b)、圖3(c)及圖4(a)中所示的對稱共焦腔、非對稱共焦腔及耦合腔進行了電場模擬. 模擬采用的為置于腔內的偶極子光源， 波長為400—700 nm， 偏振方向平行于y方向， 對稱共焦腔、非對稱共焦腔腔長皆為2 μm， 耦合腔由兩個非對稱共焦腔組成， 中間腔鏡的間距設為零. 圖4(b)中紅色虛線所示為拓撲數(shù)為零的對稱共焦腔內存在的模式， 綠色虛線所示為非對稱共焦腔內存在的模式， 藍線實線所示為耦合腔內存在的模式. 通過模擬對比， 在偶極子光源激發(fā)下， 對稱共焦腔內可以穩(wěn)定存在四個模式. 由于拓撲數(shù)為零的耦合腔為腔長相同的非對稱共焦腔組成， 因此耦合腔內同樣存在可以與對稱共焦腔匹配的模式. 而非對稱共焦腔的光譜雖然也有四個模式， 但其半寬明顯增大，Q值降低， 表明由于腔鏡的不對稱性， 損耗明顯增大.圖中序號1， 2， 3， 4 分別表示對稱共焦腔、非對稱共焦腔及耦合腔中同時支持的模式.

圖4 總拓撲荷為零的穩(wěn)定的耦合腔 (a)耦合腔示意圖；(b)對稱共焦腔、耦合腔內的模式Fig. 4. Stable coupling cavitys with a total topological charge of zero： (a) Schematic diagram of the coupling cavity； (b) symmetrical confocal cavity and the mode in the coupling cavity.

表2 中分別列出了對稱共焦腔、非對稱共焦腔及耦合腔內支持的模式的Q值. 通過對比， 對稱共焦腔內模式可以穩(wěn)定存在， 半寬較窄， 只有 1 nm左右，Q值恢復到對稱共焦腔的水平. 而非對稱共焦腔內雖然也存在四個模式， 但損耗明顯在增大，Q值降低數(shù)十倍.而將參數(shù)相同的兩個非對稱共焦腔組成耦合腔后， 腔內模式再次趨于穩(wěn)定. 因此如果把拓撲荷分別為—1 和+1 的兩個非穩(wěn)腔組合在一起， 可以形成總拓撲荷為零的穩(wěn)定的耦合腔. 顯然， 如果逐漸地減小第二個腔的尺寸， 第一個腔中泄露的模式未必能全部被第二個腔束縛， 換句話說， 不是第一個腔泄露的每一道幾何光線的拓撲荷都可以被第二個腔中和. 因此， 耦合腔給出了一個連續(xù)調節(jié)腔損耗的方法.

表2 對稱、非對稱共焦腔及耦合腔內模式的Q 值Table 2. Q factor of modes in symmetric， asymmetric and coupled confocal cavities.

圖5 模式1 和模式4 的相位 (a)對稱共焦腔內模式1 的相位分布； (b)耦合腔內模式1 的相位分； (c)耦合腔內模式1-1 的相位分布Fig. 5. Phase distribution of mode 1 and mode 4： (a) Phase distribution of mode 1 in a coupled cavity； (b) phase distribution of mode 1 in a coupled cavity； (c) phase distribution of mode 1-1 in a coupled cavity.

通過模擬對比對稱共焦腔及耦合腔內的模式，發(fā)現(xiàn)除了兩種腔都支持的四個模式外， 耦合腔在模式1 和模式4 旁邊還出現(xiàn)了新的模式1-1 及4-1.為進一步分析新模式出現(xiàn)的原因， 分別探究了對稱共焦腔及耦合腔內的相位分布. 圖5 所示為模式1和模式4 的相位， 其中模式1 為兩種腔都支持的模式， 模式1-1 為耦合腔內出現(xiàn)的新模式， 如圖4(b)中的藍色箭頭所示. 通過對比磁場的相位分布， 發(fā)現(xiàn)對稱共焦腔所支持的四種模式的相位分布都是關于結構反對稱分布， 而耦合腔內出現(xiàn)的新模式其相位分布為對稱分布. 根據(jù)相位分布可見， 耦合腔內出現(xiàn)的新模式是由兩個非對稱共焦腔之間的耦合形成的， 這證明了耦合的非對稱共焦腔擁有比單個腔更多的調節(jié)自由度.

5 結 論

通過對反三角函數(shù)的定義域進行延拓， 求解對稱共焦腔和非對稱共焦腔的傳播矩陣， 以及對腔內光路的拓撲分析， 分別從解析和拓撲的角度給出了共焦腔穩(wěn)定性隨參數(shù)變化而發(fā)生突變的原因. 從代數(shù)解析的角度， 共焦腔穩(wěn)定性突變是由函數(shù)的函數(shù)值在傳統(tǒng)的定義域以外由復數(shù)向實數(shù)的突變引起的； 從幾何拓撲的角度， 通過定義拓撲荷， 得到了發(fā)生突變的物理量， 找出了共焦腔的穩(wěn)定性發(fā)生突變的根本原因， 也說明了穩(wěn)定性發(fā)生突變的必然性. 同時通過時域有限差分法對共焦腔穩(wěn)定性突變的原因進行了驗證. 上述分析表明， 通過附加一個非對稱共焦腔， 我們可以重新獲得穩(wěn)定腔. 另外從圖4 可以看出， 如果微調附加腔的尺寸， 可以使得部分大角度光線依然無法形成閉合環(huán)路(拓撲荷為零)， 從而實現(xiàn)對整個腔的損耗的精細調諧， 這對于設計各類非厄米器件具有非常重要的價值.