融合重力信息的似大地水準(zhǔn)面精化模型

沈鑫，胡伍生

東南大學(xué) 交通學(xué)院,江蘇 南京 211189

0 引言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)測量精度高、效率高，在工程實(shí)踐中得到越來越廣泛的應(yīng)用。GNSS測量獲得的高程為大地高HGNSS，起算面為橢球面。橢球面與似大地水準(zhǔn)面不重合，大地高和正常高HNor之間存在高程異常ζ，計(jì)算公式為：

ζ=HGNSS-HNor。

(1)

GNSS測量獲得的HGNSS已經(jīng)具備較高精度，但工程中一般采用HNor，所以限制GNSS高程測量應(yīng)用的主要因素是高程異常ζ的精度，似大地水準(zhǔn)面的精化問題亟待解決[1-3]。

似大地水準(zhǔn)面模型有多種[4-6]，其中二次多項(xiàng)式模型簡單、擬合精度良好，應(yīng)用廣泛。本文以二次多項(xiàng)式模型為基礎(chǔ)模型，提出一種融合重力信息的多項(xiàng)式模型，并利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法提出了融合重力信息的誤差反向傳播(error back propagation，BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)比分析兩種模型的擬合精度。

1 二次多項(xiàng)式擬合模型

在常規(guī)的似大地水準(zhǔn)面模擬方法中，模型自變量為經(jīng)度和緯度，因變量是這一點(diǎn)上的ζ。文獻(xiàn)[7]對(duì)似大地水準(zhǔn)面模型的二次多項(xiàng)式擬合模型為：

ζ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2

,

(2)

式中：a0為常數(shù)項(xiàng)，a1、a2、a3、a4、a5分別為經(jīng)度、緯度及其二次項(xiàng)系數(shù)，x為經(jīng)度，y為緯度。

因?yàn)棣频淖兓c地理位置緊密相關(guān)，所以這種建模方式及參數(shù)的選取十分合理，是我國推薦采用的似大地水準(zhǔn)面擬合手段。其建模參數(shù)較少，具備多余觀測，可利用平差檢驗(yàn)粗差點(diǎn)，即具備較好的抵抗粗差的能力。這種建模方式受個(gè)別ζ的影響較小，具備擬合多種地形條件的能力。

本文中二次多項(xiàng)式模型作為對(duì)比參照的基準(zhǔn)，記作模型A。

2 融合重力信息的多項(xiàng)式模型

由于過去重力信息匱乏且精度不高，常規(guī)模型未將重力異常數(shù)據(jù)作為參數(shù)加入似大地水準(zhǔn)面擬合模型中。重力異常數(shù)據(jù)是影響似大地水準(zhǔn)面的因素之一，將其引入似大地水準(zhǔn)面精化模型中，有利于提高模型的精度[8]。

利用重力恢復(fù)與氣候試驗(yàn)(gravity recovery and climate experiment，GRACE)衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)、衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)和地面重力數(shù)據(jù)等多源數(shù)據(jù)建立地球重力場模型(earth gravitational model，EGM)2008。EGM2008的均方根誤差為±11.137 cm，EGM2008的外部檢核表明，EGM2008在全球范圍內(nèi)的誤差為±13.0 cm，在美國的誤差為±7.1 cm，在澳洲的誤差為±26.6 cm。因此可以確定EGM2008在全球具有很高的精度。

在融合重力信息的二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行似大地水準(zhǔn)面精化過程中，需要獲取每一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)位的重力異常數(shù)據(jù)，而EGM2008提供網(wǎng)格點(diǎn)上的重力異常數(shù)據(jù)，所以需對(duì)EGM2008數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)插處理。

以常規(guī)二次多項(xiàng)式模型為基礎(chǔ)，加入重力異常數(shù)據(jù)參數(shù)后得到一種融合重力信息的多項(xiàng)式模型：

ζ(x,y,g′)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2+a6g′+a7g′2

,

(3)

式中：g′為重力異常數(shù)據(jù)，a6、a7分別為重力異常數(shù)據(jù)的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)。

式(3)在式(2)的基礎(chǔ)上添加了重力異常數(shù)據(jù)的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)，獲得融合重力信息的多項(xiàng)式模型，記作模型B。

3 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的融合模型

隨著人工智能的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在模型擬合精化方面的應(yīng)用越來越廣泛[9-12]，本文即在模型B的基礎(chǔ)上，提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的融合模型。

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)BP算法

BP算法是一種基于樣本訓(xùn)練，自我學(xué)習(xí)調(diào)整的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，該模型自20世紀(jì)70年代提出以來，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，已經(jīng)被證明適用于多個(gè)領(lǐng)域。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)

由圖1可知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要由輸入層、隱含層和輸出層3部分構(gòu)成。輸入向量和輸出向量對(duì)應(yīng)常規(guī)模型中的自變量和因變量。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要訓(xùn)練建模，訓(xùn)練過程分為正向傳播過程和誤差反向傳播過程。正向傳播過程中，輸入向量經(jīng)過與權(quán)值矩陣的運(yùn)算，進(jìn)入多層隱含層，隱含層之間均由權(quán)值矩陣連接，直至所有隱含層運(yùn)算結(jié)束，得到輸出結(jié)果。輸出結(jié)果與期望輸出結(jié)果的誤差作為訓(xùn)練信號(hào)，對(duì)權(quán)值矩陣進(jìn)行逐層調(diào)整，使輸出結(jié)果的誤差變小。通過多個(gè)樣本的學(xué)習(xí)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以得到合適的權(quán)值矩陣，輸入向量經(jīng)過傳播運(yùn)算即可得到達(dá)到期望精度要求的輸出向量。這既是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程，也是建模過程。用試驗(yàn)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)成果，即可判定學(xué)習(xí)效果[13-15]。

圖2 融合重力信息的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)圖

3.2 融合模型

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的8參數(shù)融合模型如圖2所示。

圖2融合模型的輸出層參數(shù)除了代表二次多項(xiàng)式參數(shù)的x、y、x2、y2和xy外，加入了代表重力異常數(shù)據(jù)的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)g′和g′2，還加入了ζB，是由模型B計(jì)算得到的ζ估計(jì)結(jié)果。輸出參數(shù)為ζ-ζB，是模型B擬合似大地水準(zhǔn)面的殘差，記作模型C[16-19]。

在輸入層加入ζB是因?yàn)槟Ｐ虰的綜合性質(zhì)優(yōu)良，即綜合了二次多項(xiàng)式和重力信息，對(duì)模型精化有增益效果[20-23]。

輸出層參數(shù)變?yōu)闅埐钶敵鰠?shù)ζ-ζB，只是原輸出參數(shù)減去ζB即為原輸出參數(shù)高程異常。模型B可使似大地水準(zhǔn)面的擬合精度較高，即擬合殘差ζ-ζB遠(yuǎn)小于ζ。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)處理軟件在計(jì)算前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，使結(jié)果相對(duì)較小，因此預(yù)處理數(shù)據(jù)有益于模型精化[24-25]。

4 工程實(shí)例分析

4.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的來源與處理

試驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于某地區(qū)，原始數(shù)據(jù)包含經(jīng)度、緯度，重力異常數(shù)據(jù)由EGM2008地球重力場數(shù)據(jù)內(nèi)插計(jì)算獲得，如圖3所示。

圖3 工程實(shí)例點(diǎn)位分布圖

工程中共有62個(gè)點(diǎn)位。試驗(yàn)地區(qū)經(jīng)度跨度為0.853°，緯度跨度為1.221°，工程面積接近10 000 km2，其成果可供市級(jí)似大地水準(zhǔn)面精化參考。為保護(hù)數(shù)據(jù)源，已對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加密處理，但不影響分析結(jié)果。

為確保試驗(yàn)有效性，首先篩選原始數(shù)據(jù)。試驗(yàn)中利用中誤差判斷數(shù)據(jù)質(zhì)量，各點(diǎn)位ζ均為已知，故得到中誤差

(4)

式中：Δi為真誤差，即模型估計(jì)值與實(shí)測ζ之差；n為參與建模的點(diǎn)位個(gè)數(shù)。

用本試驗(yàn)的全部數(shù)據(jù)建立模型A，得到全部點(diǎn)位ζ的擬合結(jié)果，計(jì)算m，剔除點(diǎn)位誤差超過3倍m的點(diǎn)。經(jīng)粗差剔除，去掉3號(hào)和19號(hào)點(diǎn)，得到60個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，均勻選取其中20個(gè)作為基準(zhǔn)點(diǎn)，用來建立不同的模型，其余40個(gè)點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)，用來比較不同模型的擬合效果。

4.2 模型建立與檢驗(yàn)

4.2.1 模型A

模型A采用Matlab軟件建模，得到基準(zhǔn)點(diǎn)與檢驗(yàn)點(diǎn)殘差如表1、2所示。

表1 模型A基準(zhǔn)點(diǎn)殘差 cm

表2 模型A檢驗(yàn)點(diǎn)殘差 cm

由表1可知：在二次多項(xiàng)式模型基準(zhǔn)點(diǎn)中， 38號(hào)點(diǎn)的殘差的絕對(duì)值最小，殘差為-0.7 cm； 8號(hào)點(diǎn)的殘差的絕對(duì)值最大，殘差為-25.9 cm，m=12.6 cm。

由表2可知:在二次多項(xiàng)式模型檢驗(yàn)點(diǎn)中，13號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最小，為0.8 cm；45號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最大，殘差為-23.7 cm，m=11.7 cm。

4.2.2 模型B

模型B采用Matlab軟件建模，得到基準(zhǔn)點(diǎn)與檢驗(yàn)點(diǎn)殘差如表3、4所示。

由表3可知:在融合重力信息多項(xiàng)式模型基準(zhǔn)點(diǎn)中，52號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最小，殘差為0.3 cm；50號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最大，殘差為7.6 cm，m=3.8 cm。由表4可知：在融合重力信息多項(xiàng)式模型檢驗(yàn)點(diǎn)中，18號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最小，為0.2 cm；41號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最大，殘差為-15.7 cm，m=4.3 cm。

4.2.3 模型C

模型C采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)處理軟件建模，在輸入文件中，輸入層參數(shù)為x、y、x2、xy、y2、g′、g′2、ζB，輸出層參數(shù)為ζ-ζB。

表3 模型B基準(zhǔn)點(diǎn)殘差 cm

表4 模型B檢驗(yàn)點(diǎn)殘差 cm

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的隨機(jī)性質(zhì)(連接權(quán)值矩陣的隨機(jī)初始化)決定每一次的學(xué)習(xí)結(jié)果在一定范圍內(nèi)波動(dòng)。所以評(píng)價(jià)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)效果時(shí)，不僅要估計(jì)其擬合精度，也要考慮其穩(wěn)定性，在參數(shù)設(shè)置相同的條件下，其多次擬合結(jié)果之間的差別應(yīng)較小。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)處理軟件設(shè)置了多項(xiàng)可調(diào)參數(shù)，根據(jù)參數(shù)意義和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬試驗(yàn)表現(xiàn)進(jìn)行具體調(diào)節(jié)，應(yīng)用相同的基準(zhǔn)點(diǎn)和檢驗(yàn)點(diǎn)數(shù)據(jù)，在進(jìn)行了約100次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬試驗(yàn)后，得到最優(yōu)設(shè)置參數(shù)如表5所示。

表5 模型C最優(yōu)設(shè)置參數(shù)

以表5的最優(yōu)設(shè)置參數(shù)進(jìn)行10次試驗(yàn)，其擬合結(jié)果如表6所示。

表6 模型C的試驗(yàn)結(jié)果cm

由表6可知：10次試驗(yàn)的基準(zhǔn)點(diǎn)平均中誤差為1.7 cm，檢驗(yàn)點(diǎn)平均中誤差為3.9 cm，因?yàn)闄z驗(yàn)點(diǎn)平均中誤差與第10次試驗(yàn)十分接近，而檢驗(yàn)點(diǎn)中誤差是評(píng)價(jià)似大地水準(zhǔn)面精化水平的重要指標(biāo)之一，故選取第10次試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為參考，模型C基準(zhǔn)點(diǎn)及檢驗(yàn)點(diǎn)的殘差如表7、8所示。

表7 模型C基準(zhǔn)點(diǎn)殘差 cm

表8 模型C檢驗(yàn)點(diǎn)殘差 cm

由表7可得：23號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最小，殘差為-0.3 cm；24號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最大，殘差為2.3 cm，m=1.7 cm。由表8可得：43號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最小，殘差為0；41號(hào)點(diǎn)殘差的絕對(duì)值最大，殘差為-15.1 cm，m=4.0 cm。

4.3 擬合效果對(duì)比分析

對(duì)比3種模型的擬合精度可知，以檢驗(yàn)點(diǎn)中誤差為準(zhǔn)，模型B的精度比模型A提升約60%，模型C的精度比模型A提升約65%，說明EGM2008數(shù)據(jù)對(duì)似大地水準(zhǔn)面的精化有明顯的提升效果，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法提升效果更好。

5 結(jié)論

1)EGM2008重力異常數(shù)據(jù)與ζ關(guān)系緊密，因此，在似大地水準(zhǔn)面的二次多項(xiàng)式擬合模型中加入EGM2008重力異常數(shù)據(jù)，能明顯提升模型的擬合效果。

2)以二次多項(xiàng)式擬合模型為基礎(chǔ)建立的2種似大地水準(zhǔn)面精化模型均有較好的擬合效果，其中應(yīng)用融合重力數(shù)據(jù)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)8參數(shù)模型的擬合精度可提升65%，應(yīng)用效果良好，有一定的推廣價(jià)值。