一類含迭代的二元均值函數(shù)

陳荔靖

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 610064)

1 引 言

均值是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，常被用來描述統(tǒng)計(jì)對象總體的一般水平或分布的集中趨勢，柯西[1]首先給出了均值函數(shù)的定義：設(shè)區(qū)間I?R，若對任意x,y∈I，函數(shù)M:I2→R滿足

min(x,y)≤M(x,y)≤max(x,y),

則稱M是I2上的均值函數(shù). 若上述不等式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y，則稱M是I2上的嚴(yán)格均值函數(shù).顯然，均值函數(shù)具有自反性，即對任意x∈I，M(x,x)=x.設(shè)K,M,N:I2→I都是均值函數(shù)，若對任意x,y∈I,M(x,y)=M(y,x)，則稱M是對稱的；若對任意x,y∈I,K滿足

K(M(x,y),N(x,y))=K(x,y),

則稱K關(guān)于(M,N)是不變的.設(shè)M2(I)是定義在區(qū)間I上的一類二元均值函數(shù)，若M,N∈M2(I)，并且對任意x,y∈I有M(x,y)=N(x,y)，則稱M,N等價.

經(jīng)典的均值函數(shù)有算術(shù)均值函數(shù)A:R2→R:

(1)

幾何均值函數(shù)G:(0,+∞)2→(0,+∞):

(2)

以及調(diào)和均值函數(shù)H:(0,+∞)2→(0,+∞):

(3)

它們都具有對稱性，且滿足G°(A,H)=G.

1930年，Kolmogoroff[2]引入了擬算術(shù)均值函數(shù)的形式定義.設(shè)區(qū)間I?R,φ:I→R連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，稱

(4)

為擬算術(shù)均值函數(shù).式(1)～(3)中的函數(shù)都是擬算術(shù)均值函數(shù)的特殊形式.此后，Hardy等[3]研究了擬算術(shù)均值函數(shù)的等價性，Matkowski[4]研究了算術(shù)均值函數(shù)關(guān)于擬算術(shù)均值函數(shù)的不變性.

當(dāng)(4)式中的等權(quán)重1/2變?yōu)椴坏葯?quán)重p∈(0,1)和1-p時，(4)式變?yōu)榧訖?quán)擬算術(shù)均值函數(shù).Daróczy[5]研究了有關(guān)該類均值函數(shù)的函數(shù)方程，在加權(quán)擬算術(shù)均值函數(shù)中的權(quán)重為權(quán)重函數(shù)時得到帶有權(quán)重函數(shù)的擬算術(shù)均值函數(shù).Jarczyk[6]研究了帶有權(quán)重函數(shù)的擬算術(shù)均值函數(shù)關(guān)于這一類均值函數(shù)的不變性.

Nf(x,y)=a1f(x)+a2f2(y)

(5)

研究了算術(shù)均值函數(shù)、擬算術(shù)均值函數(shù)關(guān)于該類均值函數(shù)的不變性.

受上述工作啟發(fā)，本文研究式(5)的推廣形式

Mf(x,y)=λ1f(x)+λ2f2(x)+

μ1f(y)+μ2f2(y)

(6)

我們首先給出Mf為均值函數(shù)的條件，進(jìn)而研究了Mf的對稱性、等價性及擬算術(shù)均值函數(shù)關(guān)于該類均值函數(shù)的不變性.

2 預(yù)備知識

[HTH][STHZ]引理2.1[HT][ST][WT] 設(shè)區(qū)間I?R,f:I→I連續(xù)，λ1,λ2,μ1,μ2∈R. 若對任意x,y∈I,Mf是均值函數(shù)，則

(i) 對任意x∈I,有

(λ1+μ1)f(x)+(λ2+μ2)f2(x)=x

(7)

并且λ1,λ2,μ1,μ2不全為0，f是單射；

(ii) 當(dāng)λ2+μ2≠0時，對任意x∈I,

(8)

若此時λ1μ2-λ2μ1=0，則對任意x,y∈I,

(9)

當(dāng)λ2+μ2=0時，對任意x,y∈I,

(10)

(iii)λ1f+λ2f2,μ1f+μ2f2均單增.

[HTK]證明[HT] (i) 由均值函數(shù)的自反性可知，對任意x∈I,(7)式成立. 若λ1,λ2,μ1,μ2全為0，則對任意x,y∈I，Mf(x,y)=0，與Mf為均值函數(shù)矛盾. 若存在x,y∈I，使得f(x)=f(y)，則f2(x)=f2(y).所以

x=Mf(x,x)=

(λ1+μ1)f(x)+(λ2+μ2)f2(x)=

(λ1+μ1)f(y)+(λ2+μ2)f2(y)=

Mf(y,y)=y.

因此f是單射.

(ii) 當(dāng)λ2+μ2≠0時，由(7)式易知,對任意x∈I，(8)式成立. 若此時λ1μ2-λ2μ1=0，將(8)式代入(6)式計(jì)算可得， 對任意x,y∈I,(9)式成立.

當(dāng)λ2+μ2=0時，由(7)式可得，對任意x∈I,(λ1+μ1)f(x)=x,故此時λ1+μ1≠0. 因此，對任意x∈I,

(10)式成立.

(iii) 由均值函數(shù)的自反性知Mf(y,y)=y， 所以對任意y∈I,

μ1f(y)+μ2f2(y)=y-λ1f(y)-λ2f2(y).

因此，

Mf(x,y)=λ1f(x)+λ2f2(x)+y-

λ1f(y)-λ2f2(y)

(11)

由均值函數(shù)的定義可知，對任意x,y∈I,

min(x,y)≤λ1f(x)+λ2f2(x)+y-λ1f(y)-

λ2f2(y)≤max(x,y)

所以λ1f+λ2f2單增. 同理可得μ1f+μ2f2單增. 證畢.

3 主要結(jié)果及證明

[HTH][STHZ]定理 3.1[HT][ST][WT] 設(shè)區(qū)間I?R,f:I→I連續(xù)，λ1,λ2,μ1,μ2∈R，則下列等價：

(i) 對任意x,y∈I,Mf是均值函數(shù)；

(ii) 對任意x∈I,(7)式成立， 且λ1f+λ2f2,μ1f+μ2f2均單增.

[HTK]證明[HT] 假設(shè)(i)成立.由引理2.1的(i)、(iii)可得，(ii)成立.

若(ii)成立，則對任意x∈I,Mf(x,x)=x，并且對任意x,y∈I有

min(x,y)=λ1f(min(x,y))+

λ2f2(min(x,y))+μ1f(min(x,y))+

μ2f2(min(x,y))≤λ1f(x)+λ2f2(x)+

μ1f(y)+μ2f2(y)≤λ1f(max(x,y))+

λ2f2(max(x,y))+μ1f(max(x,y))+

μ2f2(max(x,y))=max(x,y)

(12)

因此Mf是均值函數(shù). 證畢.

[HTH][STHZ]定理 3.2[HT][ST][WT] 設(shè)區(qū)間I?R,f:I→I連續(xù)，λ1,λ2,μ1,μ2∈R，則下列等價：

(i) 對任意x,y∈I,Mf是嚴(yán)格均值函數(shù);

(ii) 對任意x∈I,(7)式成立，λ1,λ2不全為0且μ1,μ2不全為0，λ1f+λ2f2,μ1f+μ2f2均嚴(yán)格單增.

[HTK]證明[HT] 設(shè)(i)成立.則λ1,λ2不全為0且μ1,μ2不全為0. 事實(shí)上，若λ1=λ2=0，此時必有μ1,μ2不全為0，則對任意x,y∈I,

Mf(x,y)=μ1f(y)+μ2f2(y)=

Mf(y,y)=y.

這與Mf是嚴(yán)格均值函數(shù)矛盾. 同理，若μ1=μ2=0，易推出矛盾.

若存在x,y∈I，使得

λ1f(x)+λ2f2(x)=λ1f(y)+λ2f2(y),

則由均值函數(shù)的自反性可知(11)式成立.所以此時Mf(x,y)=y. 又因Mf是嚴(yán)格均值函數(shù)，故x=y. 因而λ1f+λ2f2是單射. 同理μ1f+μ2f2也是單射. 再由定理3.1知(ii)成立.

若(ii)成立，將(12)式中“≤”替換為“<”即得證. 證畢.

[HTH][STHZ]定理 3.3[HT][ST][WT] 設(shè)區(qū)間I?R,λ1,λ2,μ1,μ2∈R,f:I→I連續(xù)， 對任意x,y∈I,Mf是均值函數(shù).Mf是對稱的當(dāng)且僅當(dāng)

(13)

[HTK]證明[HT] 必要性.若Mf是對稱的，則對任意x,y∈I,Mf(x,y)=Mf(y,x). 因此，

(λ1-μ1)f(x)+(λ2-μ2)f2(x)=

(λ1-μ1)f(y)+(λ2-μ2)f2(y).

從而存在C∈R，使得對任意x∈I,

(λ1-μ1)f(x)+(λ2-μ2)f2(x)=C

(14)

當(dāng)λ2+μ2≠0時，因?yàn)镸f是均值函數(shù)， 由引理2.1的(ii)可知，對任意x,y∈I,(8)式成立. 將(8)式代入(14)式可得

(15)

若λ1μ2-λ2μ1≠0，由(15)式可知，對任意x,y∈I,

(16)

其中

此時一定有λ2≠μ2，否則f為常數(shù)與引理2.1(i)中的f是單射矛盾.將(8)，(16)式代入(6)式計(jì)算可得(13)式成立.

若λ1μ2-λ2μ1=0，則由引理2.1的(ii)可知(9)式成立. 又由Mf對稱得λ2=μ2,所以(13)式成立.

當(dāng)λ2+μ2=0時，由引理2.1的(ii)可得,對任意x,y∈I,(10)式成立. 因此，由均值函數(shù)的自反性Mf(x,x)=x知

(17)

再由Mf具有對稱性可得

(18)

所以(13)式成立.

充分性.若(13)式成立,則顯然有Mf(x,y)=Mf(y,x). 證畢.

為討論方便，以下記

μ1f(y)+μ2f2(y)

(19)

(20)

易見Mf=Mf,Λ.

(21)

(22)

[HTK]證明[HT] 必要性. 若Mf,Λ,Mg,Λ′都是均值函數(shù)， 由均值函數(shù)的自反性可知，對任意x,y∈I,Mf,Λ(x,y)=Mg,Λ′(x,y)意味著

λ1f(x)+λ2f2(x)+y-λ1f(y)-λ2f2(y)=

故此時存在C∈R，使得對任意x∈I，(21)式成立. 同理可得存在C′∈R，使得對任意x∈I，(22)式成立. 又由于對任意x,y∈I,

Mf,Λ(x,y)-Mg,Λ′(x,y)=

(23)

因此C+C′=Mf,Λ(x,y)-Mg,Λ′(x,y)=0.

充分性.反過來，由(23)式及條件易得， 對任意x,y∈I,Mf,Λ(x,y)=Mg,Λ′(x,y). 證畢.

若由(19)，(20)式定義的Mf,Λ,Mg,Λ′都是均值函數(shù)，則

(i) 擬算術(shù)均值函數(shù)Aφ關(guān)于(Mf,Λ,Mg,Λ′)是不變的，即

Aφ°(Mf,Λ,Mg,Λ′)=Aφ

(24)

當(dāng)且僅當(dāng)對任意x,y∈I,

φ(Mf,Λ(x,y))+φ(Mg,Λ′(x,y))=

φ(x)+φ(y)

(25)

(ii) 若φ,f,g可導(dǎo)，對任意x∈I,φ′(x)≠0,Λ′=Λ，并且

Aφ°(Mf,Λ,Mg,Λ)=Aφ

(26)

則λ1,λ2不全為0且μ1,μ2不全為0，對任意x,y∈I,有

Mg,Λ(x,y)=Mf,Λ(y,x)

(27)

并且當(dāng)λ2+μ2≠0且λ1μ2-λ2μ1=0， 或當(dāng)λ2+μ2=0時， 存在k,l∈R且k≠0，使得

φ(x)=kx+l

(28)

[HTK]證明[HT] (i) 顯然成立.

(ii) 由于Λ′=Λ，則

Mg,Λ(x,y)=λ1g(x)+λ2g2(x)+

μ1g(y)+μ2g2(y)

(29)

因?yàn)?26)式成立，所以由(i)可知，

φ(Mf,Λ(x,y))+φ(Mg,Λ(x,y))=

φ(x)+φ(y)

(30)

若λ1=λ2=0，此時必有μ1,μ2不全為0.則由均值函數(shù)的自反性可知，對任意x,y∈I,

Mf,Λ(x,y)=y=Mg,Λ(x,y)

(31)

將(31)式代入(30)式可得，對任意x,y∈I,φ(x)=φ(y).則φ為常函數(shù)，與φ嚴(yán)格單調(diào)矛盾. 同理， 若μ1=μ2=0可推出矛盾. 因此λ1,λ2不全為0且μ1,μ2不全為0.

當(dāng)λ2+μ2≠0時，由引理2.1的(ii)可知， 對任意x∈I，(8)式成立，且

(32)

將(8),(32)式分別代入(19),(29)式后對x求導(dǎo)可得

(33)

對(30)式左右兩邊x求導(dǎo)可得

(34)

將(33)式代入(34)式，再令y=x，由對 任意x∈I,Mf,Λ(x,x)=Mg,Λ(x,x)=x,φ′(x)≠0可知，

(35)

若λ1μ2-λ2μ1≠0，則由(35)式可知， 存在c∈R，使得

(36)

將(32),(36)式代入(29)式計(jì)算可得

Mg,Λ(x,y)=

λ1f(y)+λ2f2(y)+μ1f(x)+μ2f2(x)=

Mf,Λ(y,x).

若λ1μ2-λ2μ1=0，由引理2.1的(ii)可知， 對任意x,y∈I,(9)式成立.所以此時Mf,Λ(x,y)=Mg,Λ(x,y)=Mf(x,y). 又由(35)式可得λ2=μ2.所以

(37)

故對任意x,y∈I,(27)式成立. 由(30)式，此時

(38)

為Jensen方程. 又因?yàn)棣者B續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，由文獻(xiàn)[9]可知， 存在k,l∈R且k≠0，使得(28)式成立.

當(dāng)λ2+μ2=0時，由引理2.1的(ii)可知(10)式成立. 所以此時Mf,Λ(x,y)=Mg,Λ(x,y)=Mf(x,y). 由(30)式，

(39)

(40)

同時對(40)式左右兩邊x求導(dǎo)可得φ′(x)=0.這與φ嚴(yán)格單調(diào)矛盾. 由文獻(xiàn)[9]知

因此(37)式成立.從而對任意x,y∈I,(27)式成立. 再由(39)式知(38)式成立. 所以存在k,l∈R且k≠0，使得(28)式成立. 證畢.