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    電-磁-彈功能梯度板中的波動瞬態(tài)響應(yīng)分析

    2020-12-03 12:03謝根全宋鑫朋
    關(guān)鍵詞:電勢瞬態(tài)梯度

    謝根全,宋鑫朋

    (湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 湘潭 411201)

    磁電多場耦合的理論研究可追溯到上世紀(jì)50年代。至今,國內(nèi)外在壓電、壓磁等功能材料結(jié)構(gòu)的材料性能和力學(xué)性質(zhì)方面進(jìn)行了一系列的研究,尤其在理論研究方面取得了重要進(jìn)展。在電-磁-彈材料結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能研究方面:KALISKI[1]推導(dǎo)出熱-電-磁-彈的波動方程;文獻(xiàn)[2-12]對壓電-壓磁層合板或功能梯度材料板和殼中波的傳播特性(彌散特性、特征波面、相速度和群速度)進(jìn)行了研究。在波動瞬態(tài)響應(yīng)方面的研究:HOU等[13],WANG等[14]推導(dǎo)并分析了多鐵空心圓柱在軸對稱平面應(yīng)變變形下的瞬態(tài)響應(yīng);DAGA等[15]應(yīng)用四節(jié)點(diǎn)Runge-Kutta法的半解析有限單元法研究了磁-電-彈三相材料組成的簡支層合圓柱殼的瞬態(tài)響應(yīng),對彈性圓柱殼和電-磁-彈耦合的圓柱殼的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較;WANG等[16]借助商業(yè)軟件Abaqus建立了多鐵復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的三維有限元模型,使用直接時間積分法對雙層多鐵復(fù)合材料中波動瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。

    求功能梯度材料中的波動響應(yīng)的混合數(shù)值法首先由LIU等[17]提出,并在板、殼結(jié)構(gòu)中的波動力學(xué)研究中得到各國廣泛應(yīng)用[18-20]?;旌蠑?shù)值法的基本思想是在材料梯度變化的方向劃分層單元,在垂直梯度方向應(yīng)用解析法。劃分單元的目的主要是對材料參數(shù)的變化進(jìn)行近似并不是對位移進(jìn)行近似,因此,其解具有很高的精度。磁電彈性功能梯度材料結(jié)構(gòu)不僅材料參數(shù)梯度變化,而且存在多場耦合。對于有些材料參數(shù)變化梯度的結(jié)構(gòu),要獲得結(jié)構(gòu)中波動瞬態(tài)響應(yīng)的解析解很困難;混合數(shù)值法比有限元法求解具有高效性,因?yàn)槠鋯卧獢?shù)遠(yuǎn)少于有限元法的單元數(shù)。對于反問題來說,因?yàn)橐磸?fù)調(diào)用正問題,正問題求解的高效性顯得尤為重要,因此用混合數(shù)值法求解具有優(yōu)越性。

    本文假設(shè)電-磁-彈(electric-magneto-elastic,EME)板材料參數(shù)在厚度方向呈二次梯度變化,應(yīng)用能量變分原理和層單元法建立板的動力學(xué)微分非常方程,用傅立葉變換、反傅立葉變換方法和模態(tài)疊加法獲得板在力激勵和電極激勵下的波動瞬態(tài)響應(yīng),研究磁電參數(shù)對電磁彈板中的波動瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

    1 理論模型

    1.1 基本方程

    如圖1所示,板厚為h的無限大電磁功能梯度材料板,在厚度方向上劃分上、中、下三個節(jié)面。

    圖1 電磁功能梯度材料板的單元模型

    設(shè)各層材料為各向異性材料,電-磁-彈材料板的本構(gòu)關(guān)系[10]為

    (1)

    式中:σ為應(yīng)力向量;C為彈性系數(shù)矩陣;ε為應(yīng)變向量;E為電場強(qiáng)度向量;H為磁場強(qiáng)度向量;D為電位移向量;B為磁感強(qiáng)度(磁流密度)向量;e,q,g,α,μ分別為壓電系數(shù)、壓磁系數(shù)、介電常數(shù)、磁電效應(yīng)系數(shù)、磁導(dǎo)率矩陣。

    壓電-壓磁-彈性板的廣義幾何方程為

    (2)

    式中:u1,u2,u3分別為x,y,z方向的彈性位移分量u,v,w;φ,ψ分別為電勢函數(shù)、磁勢函數(shù),下標(biāo)中的逗號表示求導(dǎo)(偏導(dǎo))。

    將壓電-壓磁板沿厚度方向劃分為上、中、下三個節(jié)面,板內(nèi)的位移、電勢、磁勢分別用形函數(shù)和節(jié)面位移、電勢、磁勢表示,即

    (3)

    式中:下標(biāo)k為層數(shù)編號,1為底層,3為頂層;形函數(shù)Nk(z)為

    (4)

    假設(shè)材料按二次拋物線規(guī)律

    (5)

    式中:p為彈性參數(shù);上標(biāo)u、l分別表示單元層的上層和下層。

    1.2 控制方程

    壓電-壓磁-彈性板的能量泛函為

    (6)

    式中:Fi為施加在第i節(jié)面上的力;Di3是第i節(jié)面上沿z軸向的電位移向量,Bi3是第i節(jié)面上沿z軸向的磁感強(qiáng)度向量,ρ為質(zhì)量密度。

    對能量泛函變分δΠ=0,得到

    (7)

    其中:

    (8)

    (9)

    (10)

    (11)

    式中:0為零矩陣;I為三維單位矩陣。AD為如下微分算子[11]

    (12)

    CD,QD,GD,RD,YD參照式(12)計(jì)算,其中Ai,Ci,Qi,Gi,Ri,Yi的表達(dá)式見附錄A。

    引入如下的傅里葉變換:

    (13)

    式中:kx為x方向的波數(shù);ky為y方向的波數(shù)。

    對式(7)施加傅里葉變換得

    (14)

    其中:

    (15)

    C、Q、G、Y、R參照A計(jì)算,其中Ai,Ci,Qi,Gi,Yi,Ri的表達(dá)式見附錄A。

    為了獲得力載荷激勵下的位移和靜電勢、靜磁勢響應(yīng),假設(shè)

    (16)

    為了獲得電極激勵下的位移和靜電勢、靜磁勢響應(yīng),假設(shè)

    F=0,φi=φe,Bz=0。

    (17)

    1.3 瞬態(tài)響應(yīng)分析

    對式(14)降維,可以變換為

    (18)

    式中右邊三項(xiàng)分別為力載荷、等效電極載荷和等效磁極載荷的傅里葉變換。

    (19)

    (20)

    Ks=A+CE-1Σ+QX-1Γ,

    (21)

    其中:

    X=R-TY-G-1R,

    (22)

    (23)

    Σ=R-1CT+Y-1QT,

    (24)

    E=R-1G-Y-1RT。

    (25)

    對于整數(shù)個電極和磁極激勵,假設(shè)電極、磁極反對稱分布在y軸上,電勢、磁勢的傅里葉變換分別為[21]

    (26)

    (27)

    式中:p0為靜電勢常數(shù);he為電極寬度;Ne為電極總數(shù);de為兩個電極間的距離;m0為靜磁勢常數(shù);hm為磁極寬度;Nm為磁極總數(shù);dm為兩個磁極間的距離。

    在計(jì)算時,對以下參數(shù)進(jìn)行無量綱化:

    式中:t0是剪切波橫穿板厚的時間;c0為電磁材料中剪切波的速度;ρ0,c66分別為電磁材料的密度和彈性的參考值;es=1 C/m2;gs=10-10F/m;c66=1 GPa;ρ0=1 kg/m3;f0=1 N/m2;qs=1 Vs/m2;μs=10-6Vs/Am;αs=10-12Ns/Vm。

    應(yīng)用反傅里葉變換得到位移和靜電勢、靜磁勢響應(yīng)

    (28)

    φ=E-1Σd,

    (29)

    ψ=X-1Γd。

    (30)

    2 算例與分析

    2.1 算例 施加力荷載

    板的厚度h=0.5 m,在板的上表面x=0這根線上施加一個階躍載荷F=q0δ(x)H(t),q0=1 kN,H(t)為單位階躍函數(shù)。

    傅里葉變換波數(shù)域內(nèi)的位移響應(yīng)為

    (31)

    一維反傅里葉變換得到時域內(nèi)的位移

    (32)

    圖2 電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的位移w沿x軸方向的分布

    圖3 電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的位移u沿x軸方向的分布

    圖4 功能梯度彈性板(E)和功能梯度電磁彈性板(EME)頂面位移u沿x軸方向的分布

    圖5 電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的電勢φ沿x軸方向的分布

    圖6 電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的磁勢ψ沿x軸方向的分布

    2.2 算例 施加電極激勵

    在x=0線上反對稱布置Ne=10個電極對,電極寬度he=0.01 m,電極間距de=0.05 m,靜電勢常數(shù)p0=10 V,大數(shù)α=1015。

    電極激勵的等效載荷為

    (33)

    圖7 電極激勵下,電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的位移w 沿x軸方向的分布

    圖8 電極激勵下,電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的位移u沿x軸方向的分布

    圖9 電極激勵下,電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的電勢φ沿x軸方向的分布

    圖10 電極激勵下,電-磁-彈功能梯度板頂面和底面的磁勢ψ沿x軸方向的分布

    3 結(jié)論

    應(yīng)用混合數(shù)值法研究電-磁-彈功能梯度材料板中波動瞬態(tài)響應(yīng)。分別在板的x=0直線上施加力和電極激勵,應(yīng)用混合數(shù)值法獲得了電-磁-彈功能梯度材料板的上、下表面的彈性波動響應(yīng)和電勢、磁勢響應(yīng),得出如下結(jié)論:

    (1)在力激勵下,電-磁-彈功能梯度材料板中的橫波w的波幅沿梯度增大的方向減小,在厚度方向是拉伸波。

    (2)在力激勵下,電-磁-彈功能梯度材料板中的縱波u的波幅沿梯度增大的方向減小。

    (3)在力激勵下,電-磁-彈功能梯度材料板中的電勢和磁勢的幅值沿梯度增大的方向減小。

    (4)在電極激勵下,電-磁-彈功能梯度材料板中的縱波u的波幅沿梯度增大的方向減小。

    (5)在電極激勵下,電-磁-彈功能梯度材料板中的電勢和磁勢的幅值沿梯度增大的方向減小。

    (6)在力激勵下,磁勢響應(yīng)與電勢響應(yīng)的波形相似,只是波幅大小不一樣;但在電極激勵下,磁勢響應(yīng)與電勢響應(yīng)的波形存在差異。

    附錄A

    下面各表達(dá)式中的上標(biāo)u、l分別表示單元層的上層和下層。

    只要將e改為q,Qi的表達(dá)式和Ci一樣;只要將g改為μ、α,Yi、Ri的表達(dá)式和Gi一樣。

    附錄B

    下層磁電材料參數(shù)如下:

    上層材料參數(shù)為下層的1.5倍。

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