Klein瓶的一種簡單生成方法

趙姣珍，許道云

(1.貴州民族大學人文科技學院 大數(shù)據(jù)與信息工程學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學 計算機科學與技術學院，貴州 貴陽 550025)

2020年，兩位數(shù)學家Joshua Evan Greene和Andrew Lobb解決了一個百年未解的數(shù)學難題——平面閉環(huán)上內(nèi)接矩形問題[1-2]，問題的最終解決與莫比烏斯帶和克萊因瓶嵌入到四維空間密切相關。所謂的內(nèi)接矩形問題是指：對于平面上任何簡單閉曲線(閉環(huán))，對任意給定的比值r，是否存在環(huán)上的4個點，以此形成的矩形其長寬比為r？問題于1911年提出，看似簡單，其實解決起來困難。2019年，著名華人數(shù)學家陶哲軒用積分方法證明了內(nèi)接矩形是正方形時結論成立[3]，其論文長達49頁。

早在1977年，數(shù)學家Herbert Vaughan在解決該問題時曾經(jīng)引入一種方法[2]：將矩形表示轉(zhuǎn)化為兩條“長度相等、中點重合”線段。這兩條線段就是矩形的對角線，對于一條線段AB，取中點坐標為(x,y)，線段長度為d，可以編碼AB到三維空間中的一個點(x,y,d)。Herbert Vaughan發(fā)現(xiàn)，如果在曲線上按每一對點并對其進行繪制，得到一個令人驚訝的形狀——Mobius帶。

對于一條線段AB的編碼，進一步考慮線段AB與X軸正向的夾角α。于是，平面上的一條線段AB可以編碼到四維空間中的一個點(x,y,d,α)。2019年，C.Hugelmeyer運用Mobius帶嵌入到四維空間的方法證明了至少對1/3的長寬比值，問題的結論成立[4]。

Joshua Evan Greene和Andrew Lobb再次利用Herbert Vaughan的方法，運用Mobius帶嵌入到四維辛空間，最終解決了這個百年未解的數(shù)學難題[5]，其論文一共只有6頁。當他們把證明結果發(fā)表出來時，布朗大學數(shù)學家Richard Schwartz贊嘆[2]：萬萬沒想到，解決此問題的正確方式是這樣的！

本文基于Herbert Vaughan的思路和方法，給出Klein瓶的一種簡單生成方法。

1 基本原理

基于Herbert Vaughan的思路和方法[2]，由平面上一條簡單閉曲線C(閉環(huán))和位于閉環(huán)C內(nèi)部的一條簡單曲線段L可以構成一條Mobius帶(圖1)。

圖1 環(huán)線掃描生成的Mobius帶

同一條Mobius帶，也可以認為是由曲線段沿環(huán)線掃描生成(圖2)。

圖2 曲線段掃描生成的Mobius帶

基于上述原理，由平面上一條簡單C閉環(huán)和位于閉環(huán)C內(nèi)部的另一條簡單閉環(huán)C0就可以生成一個Klein瓶。

在圖3中，將內(nèi)環(huán)C0切分為兩條有向曲線段：AB和BA。兩條有向曲線段首尾相接，按圖1中的方式，AB和BA分別與外環(huán)C生成兩條Mobius帶。以A、B兩點對應生成的環(huán)線作為兩條Mobius帶的“粘合”邊沿，從而形成一個Klein瓶。

圖3 生成Klein瓶的基本部件

2 數(shù)學描述

平面上一條連續(xù)曲線可以用如下參數(shù)方程表示：

x=x(t),y=y(t)(0≤t≤T)，

(1)

值得注意的是：用參數(shù)方程表示曲線時，以參數(shù)t從小到大(或從大到小)取值，隱示曲線段具有“方向”。

假定C為平面上一條閉環(huán)，L為位于C內(nèi)部的一條簡單曲線，其參數(shù)方程分別為

C:x=φ(t),y=ψ(t)(0≤t≤T)；

L:x=φ0(τ),y=ψ0(τ)(0≤τ≤T0)。

(2)

我們先看平面上一個閉環(huán)與環(huán)內(nèi)部一點如何形成三維空間中一條閉環(huán)。

三維閉環(huán)：對于平面上C閉環(huán)，以及環(huán)內(nèi)部任意一點P0(a,b)，如下參數(shù)方程構成三維空間一條閉環(huán)：

(3)

當函數(shù)z(t)不是一個常函數(shù)時，存在一個平面π，該閉環(huán)投影到平面π上有交點。即該閉環(huán)在三維空間是簡單封閉曲線(圖4)，當投影到某個二維空間上后，可能不再是簡單閉曲線。

圖4 閉環(huán)內(nèi)一點與閉環(huán)生成的三維閉環(huán)

Mobius帶：對于平面上C閉環(huán)，以及位于閉環(huán)C內(nèi)部的簡單曲線段

L:x=φ0(τ),y=ψ0(τ)(0≤τ≤T0)。

(4)

記簡單曲線段起始點(φ0(0),ψ0(0))為A,終止點(φ0(T0),ψ0(T0))為B。動點P(φ0(τ),ψ0(τ))從始點A開始，沿曲線C0連續(xù)變動到達終止點B。每個動點P(φ0(t),ψ0(t))與閉環(huán)C分別作三維空間一條閉環(huán)：

(5)

由此生成一條Mobius帶(圖5)。

圖5 閉環(huán)內(nèi)曲線段與閉環(huán)生成的Mobius帶

離散化曲線段L參數(shù)方程的自變量區(qū)間[0,T0]:τ0=0<τ1<…<τn=T0。產(chǎn)生曲線L上離散點P0,P1,…,Pn(Pi=(φ0(τi),ψ0(τi),0≤i≤n)。對應的三維閉環(huán)為CP0,CP1,…,CPn。生成的Mobius帶可以視為由這樣的閉環(huán)序列連續(xù)(掃描)生成。

3 Klein瓶的生成方法

如圖3所示，在平面上給定一個較大閉環(huán)C(大環(huán)), 在大環(huán)C內(nèi)部給定另一個較小閉環(huán)C0(小環(huán))。將小環(huán)C0切分為兩條有向曲線段：AB和BA。兩條有向曲線段首尾相接。

按上述原理，曲線段AB與大環(huán)C生成一條Mobius帶(左帶)；曲線段BA與大環(huán)C生成另一條Mobius帶(右?guī)?。由A、B兩點對應生成的三維環(huán)線作為兩條Mobius帶的“粘合”邊沿。于是，由AB和BA分別與C閉環(huán)生成的兩條Mobius帶“粘合”成一個Klein瓶。

從方向上看：由A到B生成左帶；由B到A生成右?guī)АＲ訟、B點“粘合”，這相當于動點P在小環(huán)C0上從A點出發(fā)變動一圈后回到A。

圖6中Klein瓶是取圓環(huán)生成的，其中：

圖6 Klein瓶及其Mobius左帶和Mobius右?guī)?/p>

C:x=2sin(t),y=2cos(t)(0≤t≤2π)；

C0:x=sin(τ),y=cos(τ)(0≤τ≤2π)。

(6)

左帶對應單位圓C0的下半部分(曲線)，右?guī)獑挝粓AC0的上半部分(曲線)。

4 討論

本文給出了Klein瓶的一種簡單生成方法，其基本原理來源于平面上一個閉環(huán)與位于該閉環(huán)內(nèi)的一條曲線段可以生成一條Mobius帶。在作三維閉環(huán)時，XY平面上的(x,y)坐標是取曲線上的點P到閉環(huán)C上的點Q的中點，z-坐標是取P與Q之間的距離。其實，(x,y)坐標可以取P、Q連線上任一個固定比例點λP+(1-λ)Q(0<λ<1)，z-值可以取為P與Q之間的距離d的一個單調(diào)非負函數(shù)都可以。

其次，兩個閉環(huán)C與C0之間的關系是取小環(huán)C0在大環(huán)C內(nèi)部。其實，C與C0之間的關系還可以取成“相交”“相離”等關系。

相交(圖7)：

圖7 閉環(huán)相交產(chǎn)生的曲面

C0:x2+y2=1，C:(x-1)2+y2=1。

相離(圖8)：

圖8 閉環(huán)相離產(chǎn)生的曲面

C0:x2+y2=1，C:(x-3)2+y2=1。

當然，也可以在三維空間中考慮C與C0，以及不同位置關系，也許對理解某些物理現(xiàn)象有幫助。正如：太陽、地球和月亮的運行軌道、位置關系、引力函數(shù)、引力場等。太陽、地球和月亮沿各自軌道運動所產(chǎn)生的引力場所模擬圖可參見相關文獻。

Mobius帶和Klein瓶在拓撲學中是一類簡單而有趣的幾何類型，作為單側曲面尚有一些有意思的問題值得研究。如：基于Mobius帶和Klein瓶定義函數(shù)的曲面積分等。涉及積分，首先得將曲面的表達式弄清楚。本文給出的Mobius帶和Klein瓶的生成有助于深入研究這方面的問題。