一個(gè)經(jīng)典Hilbert型積分不等式的推廣

有名輝

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,浙江 杭州 310053)

0 引 言

20世紀(jì)初，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家Hilbert提出著名的Hilbert不等式[1]。時(shí)間已逾百年，世界各地的數(shù)學(xué)工作者對(duì)Hilbert不等式進(jìn)行了深入且廣泛的研究，取得了大量的離散型[2-5]以及積分型[6-9]的新成果。這些新成果往往形式美觀，技巧多變，構(gòu)造精巧，應(yīng)用廣泛，在分析學(xué)相關(guān)領(lǐng)域起著非常重要的作用。

對(duì)Hilbert型不等式的研究，一般可分為齊次和非齊次兩種形態(tài)；還可研究核函數(shù)的參數(shù)化、離散化、半離散化以及不等式的高維推廣、系數(shù)加強(qiáng)。在大量的已有文獻(xiàn)中，研究者們往往側(cè)重于核函數(shù)的系數(shù)和指數(shù)推廣，而很少去改變核函數(shù)的結(jié)構(gòu)。本文從一個(gè)新的角度構(gòu)造一個(gè)多參數(shù)的積分核函數(shù)，并借助實(shí)分析的相關(guān)技巧，特別是余切函數(shù)的部分分式展開，建立一個(gè)新的Hilbert型不等式，推廣相關(guān)經(jīng)典的結(jié)果。

1 定義及引理

定義1設(shè)s>0，第二型歐拉積分定義如下：

也稱Γ函數(shù)[10]。特別地，當(dāng)s∈N+時(shí)，Γ(s)=(s-1)!。

引理1設(shè)λ,γ>0，(2n+1)γ>β>0，n∈N，定義

(1)

且有

(2)

則

(3)

證明

(4)

其中

(5)

(6)

同理可得

(7)

把式(6)和式(7)代入式(5)，得

(8)

令t=u-1，類似可得

(9)

結(jié)合式(4)、式(8)以及式(9)，并利用式(2)，即得式(3)成立。引理1得證。

引理2設(shè)a,b>0,m∈N+,則

(10)

證明根據(jù)cotx的部分分式展開(參見文獻(xiàn)[10]第397頁(yè))：

(11)

式(11)兩邊關(guān)于x求2m-1階導(dǎo)數(shù)，可得

(12)

由此便得式(10)成立，引理2得證。

2 主要結(jié)果

若f,g≥0，f,g∈L2(+)，通常有經(jīng)典的Hilbert型不等式[1]：

(13)

以及

(14)

式中，π2是滿足式(13)和式(14)的最佳常數(shù)因子。式(13)及式(14)的類比及推廣可參見文獻(xiàn)[11-13]，在此構(gòu)造新的積分核函數(shù)，將它們推廣如下：

(15)

式中，C(γ,λ,β,n)是滿足式(15)的最佳常數(shù)因子。

證明根據(jù)H?lder不等式，可得

(16)

根據(jù)引理1可知，β1+β2=2(n+1)γ，不難算得

(17)

類似可得

(18)

容易驗(yàn)證，在β1+β2=2(n+1)γ這一條件下，C(γ,λ,β1,n)=C(γ,λ,β2,n)。因此把式(17)和式(18)代入式(16)，便有

(19)

假使式(19)中等號(hào)成立，那么一定有不全為零的實(shí)數(shù)A與B，滿足

Axp(1-β1)fp(x)=C幾乎處處在+成立，

及

Byq(1-β2)gq(y)=C幾乎處處在+成立。

下面證明式(15)的常數(shù)因子為最佳值。若此常數(shù)因子不為最佳值，則定有實(shí)數(shù)0

(20)

(21)

令ε→0+，并結(jié)合式(3)，可得

(22)

(23)

式中，C(γ,λ,β,n)是滿足式(23)的最佳常數(shù)因子。

在定理1中，令λ=2m-1，m∈N+，n=0，利用引理2，注意到

則有

(24)

在定理1中，令λ=2m-1，m∈N+,n=1，利用引理2，則有

(25)

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新的積分核函數(shù)，探究相應(yīng)的Hilbert型二重積分不等式，推廣了一些經(jīng)典的結(jié)果。在最佳常數(shù)因子的處理方式上，借助余切函數(shù)的部分分式展開這一實(shí)分析的方法，解決了最佳系數(shù)用級(jí)數(shù)表達(dá)過(guò)于復(fù)雜的問(wèn)題，具有一定的創(chuàng)新價(jià)值，對(duì)其他一些類似的Hilbert型積分不等式的研究具有一定的借鑒意義。