協(xié)正張量互補(bǔ)問題的例外族和解的存在性

金 珂，凌 晨

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

協(xié)正矩陣是半定矩陣的推廣，協(xié)正張量互補(bǔ)問題是協(xié)正矩陣互補(bǔ)問題的推廣。文獻(xiàn)[1]闡述了協(xié)正矩陣互補(bǔ)問題的一些研究成果。文獻(xiàn)[2]研究了協(xié)正張量互補(bǔ)問題與許多張量優(yōu)化問題的關(guān)系。例如，一類帶協(xié)正張量約束的張量優(yōu)化問題的一階最優(yōu)性條件可直接表示成張量方程[3]或協(xié)正張量互補(bǔ)形式，而后者在數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)和大數(shù)據(jù)分析中均有廣泛應(yīng)用[4]。本文針對協(xié)正張量互補(bǔ)問題，研究其解的存在性性質(zhì)，利用拓?fù)涠萚5]理論和例外族[6-7]概念，證明了協(xié)正張量互補(bǔ)問題的3個(gè)存在性結(jié)論。

1 問題描述

(1)

2 預(yù)備知識

設(shè)Ω?Rn是有界開集，用?Ω表示Ω的邊界，clΩ表示Ω的閉包。設(shè)F∶clΩ→Rn是連續(xù)函數(shù)，b∈Rn。若b?F(?Ω)∪F(WF)，則定義F在b處關(guān)于Ω的拓?fù)涠葹?/p>

其中，WF={x∈clΩ|JF(x)=0}，F(xiàn)-1(b)={x∈Rn|F(x)=b}，JF(x)為F在x處的Jacobian行列式，sign(t)是符號函數(shù)，即

由于WF為零測度集，利用拓?fù)涠仍卩徑黚處的保值性質(zhì)，可以進(jìn)一步對滿足b?F(?Ω)的b∈Rn定義deg(F,Ω,b)。

定理1(Poincaré-Bohl定理)[5]設(shè)Ω是Rn中的有界開集，F(xiàn),G∶clΩ→Rn是連續(xù)函數(shù)，b∈Rn。若b?{H(x,t)|x∈?Ω,t∈[0,1]}，則

deg(F,Ω,b)=deg(G,Ω,b)

其中H(x,t)=tF(x)+(1-t)G(x)和t∈[0,1]。

定理2(Kronecker定理)[5]設(shè)Ω是Rn中的有界開集，F(xiàn)∶clΩ→Rn是連續(xù)函數(shù)，b∈Rn。若b?F(?Ω)且deg(F,Ω,b)≠0，則F(x)=b在Ω中必有一解。

(2)

則稱{Zr}為COTCP(1)的例外族。

引理1設(shè)A,B∈Sm,n。下面2個(gè)結(jié)論等價(jià)。

(2)A=[A-B]+。

證明首先證明由結(jié)論1可推出結(jié)論2。

任取Q∈Cm,n，均有

然后證明由結(jié)論2也可推出結(jié)論1。

(3)

由引理1，得出如下引理。

引理2設(shè)F∶Sm,n→Sm,n是連續(xù)函數(shù)。則Z是COTCP(1)的解，當(dāng)且僅當(dāng)Z=[Z-F(Z)]+。

引理3設(shè)F∶Sm,n→Sm,n是連續(xù)函數(shù)。則COTCP(1)有解，當(dāng)且僅當(dāng)存在Z∈Sm,n，使得[Z]-=F([Z]+)。

定義3[9]設(shè)函數(shù)G∶Cm,n→Sm,n。若存在有界閉集D?Cm,n，對任意的Z∈Cm,nD，均可找到Y(jié)∈D，使得〈G(Z),Z-Y〉≥0，則稱G在Cm,n上滿足Karamardian-type條件。

則稱G在Cm,n上是p階強(qiáng)制的。當(dāng)p=1時(shí)，稱G在Cm,n上是強(qiáng)制的。

3 例外族和解的存在性

首先給出COTCP(1)解的存在性質(zhì)。

定理3設(shè)F∶Sm,n→Sm,n是連續(xù)函數(shù)，則COTCP(1)要么有解要么有例外族。

下面分2種情況討論。

tr[Zr]++(1-tr)F([Zr]+)=[Zr]-

(4)

定理4設(shè)F∶Sm,n→Sm,n是連續(xù)函數(shù)。若F滿足Isac-Carbone-type條件，則COTCP(1)是有解的。

這是一個(gè)矛盾。證畢。

定理5設(shè)F∶Sm,n→Sm,n。若F在Cm,n上滿足Karamardian-type條件，則F在Cm,n上滿足Isac-Carbone-type條件。

由定理4和定理5知，對于F∶Sm,n→Sm,n，只要F在Cm,n上滿足Karamardian-type條件，則COTCP(1)是有解的。

定理6設(shè)F∶Sm,n→Sm,n是連續(xù)函數(shù)。若存在p∈(-∞,+∞)，使得F是p階強(qiáng)制的，則COTCP(1)必有解。

由此知，對于任意充分大的r>0，均有

(5)

通過一個(gè)實(shí)例來說明，在張量情形下，函數(shù)的p階強(qiáng)制性條件是合理的。此時(shí)，相應(yīng)的COTCP(1)是有解的。

進(jìn)一步，由矩陣P的正交性，易知

所以，有

由此知，F(xiàn)(Z)在C2,n上是p階強(qiáng)制的，其中p∈(-∞，2)。從而由定理6得，COTCP(1)是有解的。

4 結(jié)束語

本文研究一類新的協(xié)正張量互補(bǔ)問題解的存在性質(zhì)。首先，借助拓?fù)涠壤碚摵屠庾甯拍畹玫絽f(xié)正張量互補(bǔ)問題或有解或有例外族，兩者必居其一；然后，進(jìn)一步證明了在Isac-Carbone’s條件、Karamardian’s條件及F的p階強(qiáng)制性條件下，協(xié)正張量互補(bǔ)問題必有解。下一步將針對求解協(xié)正張量互補(bǔ)問題的數(shù)值算法展開研究。