數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)解題中的應(yīng)用分析

山東省青島市西海岸新區(qū)膠南一中 丁曉峰

數(shù)學(xué)是高中階段的主要課程之一，很多學(xué)者進(jìn)行研究后證明，單單依靠刷題的方式，并不能夠明顯提升學(xué)生的解題能力，讓學(xué)生通過(guò)完成大量數(shù)學(xué)習(xí)題的方式來(lái)掌握解題方法，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和定理的理解，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)思維無(wú)法拓展，這種僵化的數(shù)學(xué)思維不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)題的內(nèi)涵。而數(shù)學(xué)分析思想作為新時(shí)期提出的科學(xué)的數(shù)學(xué)解題思維，在這樣的背景下被關(guān)注起來(lái)，學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的建立會(huì)拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)分析和解題的能力。因此，高中數(shù)學(xué)教師要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的培養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。

一、數(shù)學(xué)分析思想概述

數(shù)學(xué)分析是教學(xué)中的基礎(chǔ)技能之一，數(shù)學(xué)分析思想是指對(duì)數(shù)學(xué)理論、運(yùn)算及運(yùn)用手段的分析。通過(guò)數(shù)學(xué)分析思想，學(xué)生可以把數(shù)學(xué)題目分成若干類型，然后展開針對(duì)性的分析，給出最優(yōu)的解題方式。在有效的數(shù)學(xué)分析中，學(xué)生可以在心中形成大體的答題模式，確保答題步驟的科學(xué)性和清晰化。高中生在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生一方面要理解課本中的各種定義定理，另一方面也要掌握成熟而多元化的解題方式，這是一項(xiàng)大工程，需要大量的時(shí)間和精力。在這樣的情況下，通過(guò)數(shù)學(xué)分析思想，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，靈活掌握不同類型的題目，通過(guò)歸類總結(jié)，舉一反三，理解題目?jī)?nèi)涵，掌握題目的規(guī)律，提高解題的正確率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

二、高中數(shù)學(xué)解題采用數(shù)學(xué)分析思想的作用

（一）能夠開發(fā)學(xué)生的思想潛能

通過(guò)數(shù)學(xué)分析思想解題可以發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維，對(duì)所學(xué)的知識(shí)不停留在表面，而是由表及里，由此及彼，在更深入的理解題目后，由線性思維升級(jí)到系統(tǒng)思維，從而掌握更多元化的解題方式，這有利于學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力的提升。所以，高中數(shù)學(xué)課堂中，教師要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的培養(yǎng)。

（二）能夠鍛煉學(xué)生的觀察水平

數(shù)學(xué)作為高中階段的一大主科，學(xué)生必須要在有限的時(shí)間里完成大量知識(shí)的學(xué)習(xí)，這不僅要求學(xué)生掌握理論知識(shí)，還要理解數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)，而通過(guò)數(shù)學(xué)分析思維來(lái)學(xué)習(xí)和解題，學(xué)生必須學(xué)會(huì)對(duì)題目進(jìn)行深入地觀察、歸納和總結(jié)，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的觀察能力得到有效鍛煉，歸納和總結(jié)使學(xué)生全面理解了數(shù)學(xué)知識(shí)和內(nèi)涵，進(jìn)而學(xué)生的學(xué)習(xí)效率得到了快速地提升。

（三）能夠把不熟悉的題型轉(zhuǎn)變成熟悉的題型

課本中的數(shù)學(xué)概念和原理是有限的，但是這些原理和概念能夠以多元化的方式體現(xiàn)在數(shù)學(xué)題中，因此部分學(xué)生在接觸新題的時(shí)候，可能錯(cuò)誤地將新題套用到之前某類相似題型中，出現(xiàn)解答錯(cuò)誤的狀況。而學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析思想解題，要先仔細(xì)分析題型，將不熟悉的題型轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ念愋停龠M(jìn)行解題，之后再進(jìn)行驗(yàn)證，這樣以科學(xué)的解題方式去解答，就提高了解題的正確率和效率。

三、數(shù)學(xué)分析思想在高中解題中的應(yīng)用

（一）通過(guò)數(shù)學(xué)分析思想來(lái)轉(zhuǎn)變解題思路

高中課本中的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理雖不多，但數(shù)學(xué)題題型和形式都呈多元的特點(diǎn)，如果學(xué)生沒(méi)有掌握各種題型的解答方式，很容易在解題的時(shí)候出錯(cuò)。基于此，認(rèn)真分析數(shù)學(xué)題，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)題的理解能力是非常必要的。高中數(shù)學(xué)教師要指導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)分析思維，能夠根據(jù)題目中的已知條件和這些條件與未知的關(guān)系，形成科學(xué)的解題思路。例如：在“△ABC，A=90°，AB=AC，D 是 斜 邊AB 中 的其中一個(gè)點(diǎn)，證明BD+DC=2AD”這樣的數(shù)學(xué)題中，教師要先讓學(xué)生明白一點(diǎn)，即AD、BD 和CD 這三條線段 之間的關(guān)系并不明確，無(wú)法整合出一個(gè)圖形，所以學(xué)生要結(jié)合數(shù)學(xué)分析思維，找出已知條件之間的關(guān)系，來(lái)逐步獲得答案。學(xué)生基于數(shù)學(xué)題中給出的信息，繪畫出三角形，將△ABC 以 A 為基準(zhǔn)，從逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)90°，然后B、D 便存在于C、E 之間，接著將AE、CE、DE 相連，因此能夠在DC+CE=DE 的情況下，證明BD+DC= 2AD。

（二）采用類比和歸納的方式來(lái)解題

類比即將兩種事物相似或者相同的要素進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步從其它層面找出相似的一種方法，歸納是基于局部信息推理出整體信息的方法，即對(duì)大部分事物的普遍概念進(jìn)行分析，然后下結(jié)論的方法。不管是類比還是歸納，這兩種方法在數(shù)學(xué)解題的應(yīng)用中，都存在一定難度，這需要學(xué)生在平時(shí)加強(qiáng)練習(xí)。如這道題：cos(x/2)cos(x/22)cos(x/23)…cos(x/2n)=sinx/[2nsin(x/2)]，認(rèn)真分析后能夠找到等式左邊是存在規(guī)律性的，和2sin(x/2)cos(x/2)=sinx 其 有 相 同 之 處， 在經(jīng)變形以后就可以得到2sin(x/2n)cos(x/2n)=sin(x/2n-1，)。通過(guò)逐步更換了解到余下的等式則是原等式需證明的右邊，也就是sin(x/2n)sin(x/2n)，因此在學(xué)牛們還沒(méi)有做題的時(shí)候，要先找到合理的思路，不能只根據(jù)所其有的條件，而不經(jīng)過(guò)研究來(lái)對(duì)題進(jìn)行解答，否則就無(wú)法得到正確的答案。

（三）利用逆向思維的方式

逆向思維是根據(jù)現(xiàn)有結(jié)論反向分析的一種方法，屬于和傳統(tǒng)思維方式截然不同的方法。高中生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，形成逆向思維，通過(guò)逆向思維方式解題是很必要的。解答數(shù)學(xué)題目的時(shí)候，逆向思維是經(jīng)常被采用的方法，尤其是對(duì)于難度較高的題型而言，應(yīng)用逆向思維可以讓學(xué)生在更短的時(shí)間里更準(zhǔn)確地解題，形成清晰的解題思路。

比如在“a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2- 2b+c=0，請(qǐng)核算c 的值”這樣的題型中，很多學(xué)生習(xí)慣通過(guò)配方消元法，在解答后，可以發(fā)現(xiàn)這樣的方式會(huì)出現(xiàn)各種不確切的元素，解題難度增加。對(duì)于這樣的題型，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生更新數(shù)學(xué)分析方法，通過(guò)逆向思維的方式分析題型進(jìn)行解答，該題型中，只給出了a、b、c 間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)合一元二次方程定義，展開逆向分析可以 了 解 到，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0的解為a、b，此時(shí)學(xué)生可以參考韋達(dá)定理，即a+b=1 以及ab=-c/2 來(lái)解答題目，獲得答案。

（四）特殊和一般思想適用于選擇和判斷習(xí)題

對(duì)于普通題目，比如選擇題和填空題，學(xué)生如果在不能想出更科學(xué)的解題思路的時(shí)候，可以選擇特殊和一般思想的方式進(jìn)行解題，即對(duì)題目進(jìn)行特殊性分析，找出解題思路后，給出題目的答案。

（五）數(shù)形結(jié)合的思想的兩種情況

在證明數(shù)與數(shù)的關(guān)系，或者基于數(shù)的精準(zhǔn)度來(lái)證明形的屬性這兩類題型中，可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想解題。該方法也是高中數(shù)學(xué)解題中常用的思維方法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思維，可以將抽象的數(shù)學(xué)題進(jìn)行具象化處理，更容易獲得準(zhǔn)確的答案。大部分學(xué)生對(duì)勾股定理熟記于心，學(xué)生可以將該定理與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合起來(lái)應(yīng)用。大部分情況下，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想解題，有利于學(xué)生形成清晰而科學(xué)的解題思路，提高解題的效率和準(zhǔn)確率。另外在線性規(guī)劃、拋物線規(guī)劃等數(shù)學(xué)題中，數(shù)形結(jié)合思維也是最常用的思維方法。除此之外，學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合思維，可以縮短解題的時(shí)間，根據(jù)題目中告知的條件繪制圖形，通過(guò)觀察圖形，找出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，給出正確的答案。

（六）創(chuàng)建學(xué)生的函數(shù)和方程思想

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，函數(shù)是不可缺少的一部分，大部分高中生對(duì)于函數(shù)的相關(guān)概念與理論比較熟悉，但是在解題的時(shí)候，常常發(fā)現(xiàn)解題思路不夠明確，容易手足無(wú)措，原因在于這部分學(xué)生并沒(méi)有形成系統(tǒng)的函數(shù)與方程思想。雖然很多學(xué)生能夠結(jié)合函數(shù)與方程的思想來(lái)解題，如二次函數(shù)、一次函數(shù)等，但由于沒(méi)有系統(tǒng)化，解題思路并不穩(wěn)固，一旦遇到有變形的習(xí)題或者隱藏著函數(shù)與方程結(jié)合的習(xí)題就束手無(wú)策了。因此，教師要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行函數(shù)與方程思想的整體融合、創(chuàng)建和強(qiáng)化，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)與方程思想融合在一起進(jìn)行解題，這樣可以在遇到函數(shù)相關(guān)題型的時(shí)候，能夠盡快形成清晰的解題思路，提高答案的準(zhǔn)確率。

（七）根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)來(lái)確定解題思路

新時(shí)期，高中數(shù)學(xué)教師要更新教學(xué)方法，做到因材施教，在解題方法的教導(dǎo)方面，教師可以根據(jù)學(xué)生的特征，進(jìn)行差異化的教學(xué)。比如對(duì)于學(xué)困生，教師可以布置相對(duì)簡(jiǎn)單的任務(wù)讓學(xué)生完成，先理解和掌握最基本的數(shù)學(xué)定理，形成最基本的數(shù)學(xué)分析思想，從易到難，由淺入深，再循序漸進(jìn)地讓學(xué)生掌握多元化的解題方式。通過(guò)差異化的教學(xué)方法，讓學(xué)困生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，相信自己可以學(xué)好數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。針對(duì)成績(jī)比較優(yōu)異的學(xué)生，教師則可以適當(dāng)提升數(shù)學(xué)題目的難度，為這些學(xué)生布置比較有挑戰(zhàn)性的作業(yè)，進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中，感受到其中的趣味性，并且促使其解題能力得到強(qiáng)化。

綜上所述，在新課改背景下，高中數(shù)學(xué)教師要盡快通過(guò)先進(jìn)的教學(xué)思想與科學(xué)的教學(xué)方法提高課堂教學(xué)質(zhì)量，指導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)分析思想，主動(dòng)應(yīng)用這種思想去解題，這對(duì)于教學(xué)而言，可以達(dá)到事半功倍的效果，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，也能夠提高數(shù)學(xué)能力和解題效率。因此，教師要加深對(duì)數(shù)學(xué)分析思想的認(rèn)識(shí)，并采用合理的教學(xué)方式來(lái)提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)還要依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，采用分層教學(xué)法，這樣一來(lái)就可以鍛煉不同學(xué)生的思維能力以及創(chuàng)新能力，從而便能夠提升他們的數(shù)學(xué)解題能力，讓他們成為一名綜合性的人才。