不同插值方法對近地面風速插值的精度對比分析

黃鵬飛 常怡婷 趙甲林

（1.63850部隊 白城 137001）（2.國家海洋技術(shù)中心 天津 300112）

1 引言

近地面層是大氣邊界層中穩(wěn)定存在的，最接近下墊面的部分，高度通常在100m以下，它的湍流活動劇烈且以機械湍流為主。近地面風靠近地面，在運動過程中由于連續(xù)不斷地受地表組成物質(zhì)和地表障礙物的作用，從而形成了與高空大氣運動不同的特性，具有明顯的紊流性質(zhì)、具有較大的風速鉛直速度。而近地面層又是人類生活的主要區(qū)域，長時間連續(xù)觀測和研究近地面風速具有重要價值。

氣象數(shù)據(jù)的連續(xù)性是數(shù)據(jù)應用的基礎(chǔ)，近地面風速數(shù)據(jù)往往會因為觀測設(shè)備的各種原因造成或多或少的缺失，如何對缺失數(shù)據(jù)進行更加準確的插補是一項重要工作。常用的插值方法包括：線性插值、最近鄰點插值、自然鄰點插值、三次多項式插值、反距離權(quán)重插值、克里金插值等，不同的插值方法在近地面風速數(shù)據(jù)插值的應用效果有比較大的差異，如何選擇擬合效果更好的插值方法是研究的重點[1～10]。謝建華等通過建立不同高度風速相關(guān)性方程來對缺失層數(shù)據(jù)進行估算，認為非線性分析得出的修正數(shù)據(jù)更加接近實際情況[11]。韓二紅等把氣象再分析資料應用近地面風速數(shù)據(jù)的插補中，并對不同插值方法進行了對比分析[12]。

本文分別采用線性插值、三次樣條插值、反距離權(quán)重法對近地面風速數(shù)據(jù)進行插值分析，通過設(shè)定檢測點的方式，對不同方法所得插值數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)進行比較，并分析了不同插值方法的插值精度。

2 插值方法原理

2.1 線性插值

線性插值是指插值函數(shù)為一次多項式的插值方式，其在插值節(jié)點上的誤差為零，具有簡單方便的特點，原理如下。

假設(shè)函數(shù)y=f(x)在兩點x0，x1上的值分別為y0，y1，求多項式：

以上插值多項式為一次多項式，這種插值稱為線性插值。

2.2 三次樣條插值法

樣條插值是用平滑曲線來對各主干點進行擬合的方法，通過構(gòu)造多項式來形成一條把所有主干點連接起來的平滑曲線，三次樣條插值函數(shù)一般比較常用，原理如下。

給定區(qū)間[a，b]的一個劃分：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b和區(qū)間[a，b]上的一個函數(shù)f(x)，若函數(shù)S(x)滿足下列條件：

1）一致通過n+1個插值點(xi，yi) ；

2）二階連續(xù)，即S(x)∈C2[a，b]；

3）三次分段，即在每一個小區(qū)間[xi-1，xi](i=1，2…n)上均為三次多項式。

則稱S(x)是函數(shù)f(x)的三次插值樣條函數(shù)，比較常用的樣條函數(shù)為Spline和Cubic。

2.3 反距離權(quán)重法

反距離權(quán)重法，即IDW（Inverse Distance Weight），是一種以插值點與觀測已知點之間距離為權(quán)重的插值方法，可以以確切的或者圓滑的方式插值。冪指數(shù)控制著權(quán)系數(shù)如何隨著離開一個格網(wǎng)結(jié)點距離的增加而下降。

數(shù)學表達式為

其中，ve為插值點的估算值，vi是第i個已知點的變量值，di是第i個已知點與插值點之間的距離；m為參與計算的已知點個數(shù)；n為冪指數(shù)，它控制著權(quán)重系數(shù)隨插值點與樣本點之間距離的增加而下降的程度。

反距離權(quán)重法主要用于三維空間插值，本文將其簡化后用于二維線性插值。

3 數(shù)據(jù)處理與驗證

為了對上述幾種插值方法的插值效果進行比較，在建模前預留檢測點，通過計算實測數(shù)據(jù)與插值數(shù)據(jù)的誤差來評估各種方法的優(yōu)劣。為了兼顧定量和定性評估，采用平均絕對誤差法（MAE）和平均相對誤差法（MRE）。MAE反映估計值的實測誤差范圍，定量給出誤差值；MRE反映不同數(shù)據(jù)量或不同要素誤差相對值，定性給出誤差范圍。MAE和MRE的表達式如下：

其中，vi為實測值，vei為估算值。

本文隨機選取了100組近地面實時風速測量數(shù)據(jù)和100組近地面日平均風速測量數(shù)據(jù)，每組分別包含3.5m、10m、20m、34m、55m、75m、101m等7層風速數(shù)據(jù)，分別采用線性插值、三次樣條插值（分別使用Spline和Cubic樣條函數(shù)）、簡化后的反距離權(quán)重法進行插值分析，分別將10m、20m、34m、55m、75m層作為檢測點，計算預設(shè)的不同檢測點的平均絕對誤差和平均相對誤差。

表1 10m層瞬時風速插值分析

表2 10m層平均風速插值分析

表3 20m層瞬時風速插值分析

表4 20m層平均風速插值分析

表5 34m層瞬時風速插值分析

表6 34m層平均風速插值分析

表7 55m層瞬時風速插值分析

表8 55m層平均風速插值分析

表9 75m層瞬時風速插值分析

表10 75m層平均風速插值分析

表1～10分別計算了10m、20m、34m、55m、75m層檢測點實測數(shù)據(jù)和不同插值方法所得估計值之間的平均絕對誤差（MAE）和平均相對誤差（MRE）。

對比每層檢測點的插值分析數(shù)據(jù)可以看出，對于同一種插值方法而言，日平均風速的插值效果要明顯優(yōu)于瞬時風速的插值效果。此種現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于瞬時風速受小尺度湍流影響較大，風速隨著高度變化的隨機性較強，使得瞬時風速的插值效果相比于平均風速的插值而言要差一些。風速的日平均數(shù)據(jù)由于消除了瞬時小尺度湍流的影響，其平滑性和規(guī)律性更好，相應的插值效果也更好。

圖1 瞬時風速插值精度對比

圖2 平均風速插值精度對比

圖1和圖2分別表示不同插值方法對瞬時風速和平均風速進行插值后的平均相對誤差。

從圖1可以看出，對于瞬時風速而言，采用線性插值方法和使用Cubic插值函數(shù)的三次樣條插值方法所得插值數(shù)據(jù)的精度要明顯優(yōu)于采用Spline插值函數(shù)的三次樣條插值法和反距離權(quán)重法。從圖2可以看出，對于日平均風速而言，采用Cubic插值函數(shù)的三次樣條插值方法所得結(jié)果是最好的，線性插值和使用Spline插值函數(shù)的三次樣條法雖然稍遜于采用Cubic插值函數(shù)的三次樣條插值方法，但是其精度依然很高，平均相對誤差在3%左右，仍然能滿足數(shù)據(jù)使用要求。反距離權(quán)重法所得插值結(jié)果則較差，與其余三種方法所得數(shù)據(jù)精度差距較大。綜上所述，無論是瞬時風速還是日平均風速，采用Cubic插值函數(shù)的三次樣條插值法對近地面風速進行插值，效果最好。

4 結(jié)語

本文以近地面瞬時風速和日平均風速數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，研究不同插值方法在近地面風速插值的精度分析，結(jié)論如下：

1）受到小尺度湍流的影響，瞬時風速數(shù)據(jù)的插值精度要明顯劣于對日平均風速的插值精度；

2）對于近地面瞬時風速而言，采用線性插值方法和使用Cubic插值函數(shù)的三次樣條插值方法所得插值數(shù)據(jù)的精度更好；

3）對于近地面日平均風速而言，采用Cubic插值函數(shù)的三次樣條插值方法所得結(jié)果最好，反距離權(quán)重法則最差。