基于全局線性穩(wěn)定性分析的翼尖雙渦不穩(wěn)定特征演化機(jī)理

程澤鵬，邱思逸，向陽(yáng),*，邵純，張淼，劉洪

1. 上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240 2. 中國(guó)商用飛機(jī)有限責(zé)任公司 上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院，上海 201210

翼尖渦是由機(jī)翼上下表面壓力差所產(chǎn)生，從機(jī)翼表面脫落后在飛機(jī)尾跡中形成的主要大尺度渦結(jié)構(gòu)。翼尖渦的產(chǎn)生不可避免地帶來尾跡遭遇[1]、誘導(dǎo)阻力[2]和氣動(dòng)噪聲[3]等問題，對(duì)飛機(jī)的安全性、經(jīng)濟(jì)性和舒適性帶來不利影響。為此，國(guó)際民航組織(ICAO)對(duì)兩架飛機(jī)的起飛時(shí)間間隔和距離間隔做出嚴(yán)格的限定。以起飛重量超過136 000 kg的重型飛機(jī)為例，當(dāng)后續(xù)飛機(jī)的起飛重量小于7 000 kg時(shí)，兩者的間隔時(shí)間不得少于159 s，間隔距離不得低于6海里[2]。除此之外，飛機(jī)在巡航過程中，由翼尖渦導(dǎo)致的誘導(dǎo)阻力占比達(dá)到30%～40%[4]。為減輕翼尖渦的不利影響，2002年，Gerz等從翼尖渦本身物理特征出發(fā)總結(jié)出兩大策略：① 降低翼尖渦的強(qiáng)度；② 加快翼尖渦的衰減[2]。在此基礎(chǔ)上，James和Frank于2018年從翼尖渦不穩(wěn)定特性的角度進(jìn)一步將其總結(jié)為：① 通過改變展向載荷或通過自然激發(fā)的不穩(wěn)定性實(shí)現(xiàn)渦/渦系的修正和衰減; ② 通過使用某種形式的主動(dòng)控制來施加外部擾動(dòng)加速翼尖渦的失穩(wěn)衰減[5]。翼梢小翼作為一種有效的減阻手段，已經(jīng)成為大型客機(jī)不可缺少的一部分。翼梢小翼不僅降低翼尖渦強(qiáng)度，同時(shí)改變翼尖渦結(jié)構(gòu)，進(jìn)而影響翼尖渦的不穩(wěn)定性特征；但是針對(duì)小翼結(jié)構(gòu)下的翼尖多渦系統(tǒng)的不穩(wěn)定性特征及其演化機(jī)理認(rèn)識(shí)十分有限，限制了對(duì)于小翼的進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化。如何使得小翼不僅能減阻，而且能控制翼尖渦穩(wěn)定性使其快速衰減失穩(wěn)值得深入研究。

翼尖渦的不穩(wěn)定特性主要表現(xiàn)為長(zhǎng)波不穩(wěn)定性、橢圓不穩(wěn)定性和翼尖渦的搖擺現(xiàn)象，對(duì)于其各自的演化機(jī)理一直以來都是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。翼尖渦的長(zhǎng)波不穩(wěn)定首先由Crow在分析等強(qiáng)度對(duì)轉(zhuǎn)Rankin渦對(duì)的流動(dòng)現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)并闡述[6]，主要由以下3種效應(yīng)共同疊加導(dǎo)致：① 與渦核流體旋轉(zhuǎn)方向相反的自誘導(dǎo)旋轉(zhuǎn)；② 由另一個(gè)渦引起的拉伸作用；③ 兩個(gè)渦的互誘導(dǎo)運(yùn)動(dòng)[7]。Leweke和Charles[8]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和Grégoire等[9]的數(shù)值結(jié)果進(jìn)一步表明，長(zhǎng)波不穩(wěn)定性表現(xiàn)為渦對(duì)關(guān)于其中心平面對(duì)稱的一種正弦變形，并與對(duì)稱面呈45°傾斜，變形幅度會(huì)沿流向逐漸增大直到兩個(gè)渦核最終接觸并重疊；隨后翼尖渦發(fā)生重新連接，在經(jīng)歷若干個(gè)周期后，最初的渦對(duì)轉(zhuǎn)變成一系列三維渦環(huán)。短波不穩(wěn)定性則源自于渦對(duì)中一個(gè)翼尖渦的兩個(gè)擾動(dòng)波(開爾文模態(tài))與另一個(gè)渦對(duì)產(chǎn)生的應(yīng)變場(chǎng)之間的共振機(jī)制，這種共振可以導(dǎo)致擾動(dòng)波按照指數(shù)規(guī)律放大，從而引起渦旋的不穩(wěn)定性。在較低的雷諾數(shù)(103～105)條件下，發(fā)生開爾文模態(tài)的共振條件為兩個(gè)開爾文模態(tài)周向波數(shù)之差為2，Leweke和Charles[10]對(duì)無軸向流動(dòng)的渦對(duì)運(yùn)動(dòng)分析結(jié)果表明，共振條件是擾動(dòng)模態(tài)的周向波數(shù)為-1和1的組合；Roy等[11]驗(yàn)證了有軸向流動(dòng)的渦對(duì)運(yùn)動(dòng)中，共振條件是擾動(dòng)模態(tài)的周向波數(shù)為2和0的組合。而在更高雷諾數(shù)條件下，共振條件則要求兩個(gè)開爾文模態(tài)周向波數(shù)之差為3[7]，并且在渦最終破碎耗散之前還會(huì)引起二次不穩(wěn)定[12]和渦的重連[13]等更為復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象。翼尖渦的搖擺現(xiàn)象首先由Baker等在水槽實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)[14]。隨后，Devenport等[15]的熱線實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證實(shí)翼尖渦搖擺現(xiàn)象的存在，分析結(jié)果表明翼尖渦搖擺幅值隨流向位置而逐漸放大。Edstrand等[16]對(duì)體視粒子圖像測(cè)速(SPIV)結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)由線性穩(wěn)定性分析(LSA)獲得的最不穩(wěn)定模態(tài)結(jié)構(gòu)與由本征正交分解(POD)獲得的主模態(tài)結(jié)構(gòu)一致，從而科學(xué)地說明翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)來源于不穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上，本文作者團(tuán)隊(duì)[17-18]研究表明在低湍流度情況下，搖擺幅值隨不同工況(雷諾數(shù)、攻角)和流向位置的發(fā)展規(guī)律與由局部線性穩(wěn)定性分析獲得的不穩(wěn)定放大因子(頻率、波數(shù))隨不同工況和流向位置的變化規(guī)律具有一致性，從而更進(jìn)一步地揭示翼尖渦搖擺現(xiàn)象的來源。

對(duì)翼尖渦的不穩(wěn)定模態(tài)及其演化機(jī)理的研究有助于理解翼尖渦不穩(wěn)定現(xiàn)象背后的物理本質(zhì)，對(duì)于翼尖渦的科學(xué)控制原理有指導(dǎo)意義。相對(duì)于局部 LSA只能對(duì)近似軸對(duì)稱的孤立翼尖渦進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析, 全局線性穩(wěn)定性分析(Bi-global LSA)能對(duì)雙渦及雙渦以上、渦與尾跡的相互作用等復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象予以分析。Moored等[19]對(duì)槳葉施加與用Bi-global LSA得到卡門渦街的最大空間生長(zhǎng)率相對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)頻率時(shí)，獲得最優(yōu)的推進(jìn)效率。當(dāng)卡門渦街的不穩(wěn)定模態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)捩時(shí)，對(duì)應(yīng)的尾跡結(jié)構(gòu)會(huì)從一種結(jié)構(gòu)變成另一種結(jié)構(gòu)形式[20]。這些結(jié)果對(duì)基于翼尖渦不穩(wěn)定模態(tài)的控制思路具有很好的啟發(fā)意義。此外，理論分析表明，孤立Lamb-Oseen渦[21]/渦對(duì)[22]、Batchelor渦[23]均對(duì)周圍環(huán)境存在一個(gè)最不穩(wěn)定的擾動(dòng)。在最不穩(wěn)定擾動(dòng)的作用下，孤立渦獲得的擾動(dòng)增益可達(dá)到102～103；渦對(duì)獲得的擾動(dòng)增益可達(dá)到104。在準(zhǔn)定常演化階段，以觀察者的視角和渦的視角，擾動(dòng)能量均會(huì)逐漸增強(qiáng)；此外，雷諾數(shù)越大，翼尖渦不穩(wěn)定模態(tài)的擾動(dòng)能量也會(huì)增加[21,24]。然而，這些研究都是理論渦模型，較難真實(shí)反映實(shí)際翼尖渦的流動(dòng)不穩(wěn)定性。最近，Edstrand等[25]在Re=1 000下，針對(duì)NACA0012等直機(jī)翼產(chǎn)生的翼尖渦及其尾跡進(jìn)行時(shí)間和空間的全局穩(wěn)定性分析，結(jié)果表明帶尾跡的孤立渦特征值在時(shí)間和空間上存在尾跡分支、渦主分支和連續(xù)分支；在空間上還包含渦次級(jí)分支。尾跡分支則主導(dǎo)流動(dòng)中最主要的不穩(wěn)定特性。進(jìn)一步地，按照尾跡分支中的不穩(wěn)定頻率施加外部擾動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)按照第五階模態(tài)施加的體積力會(huì)使翼尖渦獲得最優(yōu)的衰減[26]，從而提供低雷諾數(shù)下孤立翼尖渦的不穩(wěn)定控制解決方案。然而，較高雷諾數(shù)下翼尖雙渦系統(tǒng)的不穩(wěn)定模態(tài)和演化機(jī)理的研究，仍然是一個(gè)新的課題。

為此，本文采用SPIV方法對(duì)加裝雙叉彎刀小翼的M6機(jī)翼在不同攻角、不同雷諾數(shù)，16倍尾跡區(qū)范圍內(nèi)的翼尖渦流場(chǎng)展開測(cè)量。采用Bi-global LSA來分析求解翼尖雙渦結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定放大率和模態(tài)，在此基礎(chǔ)上得到雙翼尖渦結(jié)構(gòu)在不同擾動(dòng)波數(shù)和不同工況下的不穩(wěn)定模態(tài)的演化機(jī)理，從而為加快翼尖渦的失穩(wěn)衰減科學(xué)原理探討和提出工程解決方案并提供參考。

1 試驗(yàn)搭建與數(shù)據(jù)處理

1.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

試驗(yàn)中使用的模型為加裝雙叉彎刀小翼的M6機(jī)翼。如圖1所示，后掠機(jī)翼翼根弦長(zhǎng)為0.143 m，根梢比為0.56，展弦比為3.8，其他參數(shù)參照M6機(jī)翼。上、下小翼參照Whitcomb小翼構(gòu)型設(shè)計(jì)，兩者傾斜角均為60°，前緣后掠角分別為38°、52°。后掠翼和小翼連接處均保持光滑連接，以避免拐角處產(chǎn)生不必要的渦結(jié)構(gòu)。

圖1 機(jī)翼模型外形幾何參數(shù)Fig.1 Geometric parameters of examined model

1.2 SPIV測(cè)量

本試驗(yàn)在上海交通大學(xué)低速回流式風(fēng)洞中進(jìn)行,該風(fēng)洞的試驗(yàn)段截面為1.2 m×0.9 m的矩形，經(jīng)過熱線標(biāo)定測(cè)得來流湍流度在0.3%以下。試驗(yàn)時(shí)，機(jī)翼安裝攻角α為6°、8°和10°；來流速度u∞為15 m/s、30 m/s和45 m/s，對(duì)應(yīng)的基于翼尖弦長(zhǎng)(c=0.08 m)的雷諾數(shù)為Rec=0.82×105，1.64×105,2.46×105。相對(duì)于后掠翼的尾緣，在16倍尾跡區(qū)范圍內(nèi)等距離測(cè)量x/c=2，4，…，16共8個(gè)截面。試驗(yàn)過程中機(jī)翼的安裝示意圖如圖2 所示，其中來流方向?yàn)閤軸正方向，機(jī)翼上表面方向?yàn)閥軸正方向，垂直于風(fēng)洞壁面向上的方向?yàn)閦軸正方向。由機(jī)翼和小翼造成的風(fēng)洞阻塞度小于1%。

圖2 SPIV試驗(yàn)示意圖Fig.2 Schematic diagram of SPIV test

試驗(yàn)過程中，示蹤粒子采用1～5 μm直徑的霧化乙二醇油滴，保證良好的粒子跟隨性。采用Nd:YAG雙脈沖激光發(fā)射器發(fā)射波長(zhǎng)為532 nm、脈沖能量為380 mJ的激光照亮測(cè)量區(qū)域。雙脈沖發(fā)射頻率為1 Hz，激光厚度為1 mm并垂直于來流方向。根據(jù)SPIV的測(cè)量精度對(duì)粒子在兩幀圖像時(shí)間內(nèi)的位移要求，在15 m/s、30 m/s和45 m/s的來流條件下，兩束激光的時(shí)間間隔分別設(shè)為Δt=15，7.5，5μs。試驗(yàn)拍攝的相機(jī)為Imager-Pco的高分辨率CCD相機(jī)，相機(jī)與激光器同步，發(fā)射與采樣周期設(shè)置為1 s。為保證相機(jī)在x/c=16截面處的拍攝窗口足夠，兩個(gè)相機(jī)的安裝角度保持在45°。相機(jī)采集的圖像畫幅為2 048像素×2 048 像素，拍攝畫幅大小為292 mm×269 mm，對(duì)應(yīng)的空間分辨率為0.131 mm/像素。每個(gè)工況下，左右相機(jī)均保存200幅瞬時(shí)圖像，以求解時(shí)均流場(chǎng)信息并研究翼尖渦的搖擺特征。

采用TSI INSIGHT 4G軟件對(duì)圖像進(jìn)行互相關(guān)計(jì)算。通過兩次查詢窗口確定粒子位移以提高速度矢量分辨率，初始查詢窗口為72像素×72像素，有效重疊率為25%；第2次查詢窗口為36像素×36像素，有效重疊率為50%，并通過9像素×9像素的填充算法由周圍矢量插值出未能解算的速度矢量，后處理得到的達(dá)標(biāo)矢量占總矢量的85%以上。由此產(chǎn)生的整個(gè)測(cè)量平面區(qū)域速度的測(cè)量誤差小于1%[17]，滿足試驗(yàn)結(jié)果的分析要求。

1.3 翼尖渦相關(guān)物理量的計(jì)算

在試驗(yàn)后處理中，瞬時(shí)流場(chǎng)和時(shí)均流場(chǎng)中翼尖渦的渦核位置均采用渦量質(zhì)心公式的方法確定。以瞬時(shí)流場(chǎng)的計(jì)算為例，渦心位置(yc(t),zc(t))的計(jì)算式為

(1)

式中：ωx(y,z,t)為瞬時(shí)渦量；為去除試驗(yàn)中噪點(diǎn)對(duì)結(jié)果的影響，考慮置信范圍，積分區(qū)域S1為集中最大渦量絕對(duì)值95%以上的渦量區(qū)域，即

|ωx(y,z,t)|≥0.05|ωx(y,z,t)|max

(2)

時(shí)均流場(chǎng)中的渦核半徑采用與渦心位置類似的方式確定：

(3)

式中：yc、zc為時(shí)均流場(chǎng)中的渦心坐標(biāo)；ωx(y,z)為時(shí)均流場(chǎng)中的流向渦量；積分區(qū)域S2的定義與S1類似。

2 全局線性穩(wěn)定性分析方法

2.1 擾動(dòng)方程

本試驗(yàn)中產(chǎn)生翼尖雙渦結(jié)構(gòu)，流場(chǎng)已不滿足軸對(duì)稱條件，但是在流向方向上可認(rèn)為近似滿足準(zhǔn)平行流假設(shè)。此時(shí)，需采用Bi-global LSA對(duì)翼尖雙渦結(jié)構(gòu)展開穩(wěn)定性分析。采用圖2笛卡爾坐標(biāo)系(x,y,z)下的不可壓縮Navier-Stokes方程，流場(chǎng)中速度和壓力等流動(dòng)變量可表示為

(4)

忽略流向變化，基于傅里葉分解思想以線性小擾動(dòng)表示的脈動(dòng)矢量可寫為

(5)

將流場(chǎng)變量代入不可壓Navier-Stokes方程中，消去定常流動(dòng)方程并略去高階小量，得到Bi-global LSA的小擾動(dòng)控制方程為

(6)

式中：A、B為穩(wěn)定性矩陣，分別為

(7)

考慮到數(shù)值精度和收斂速度的要求，方程(6)的離散采用切比雪夫譜配置法[17，26]，對(duì)應(yīng)的邊界條件信息可參見文獻(xiàn)[17]。通過求解方程(6)可得到特征值譜(ωr,ωi)和對(duì)應(yīng)的特征向量。特征值中，ωi為翼尖渦流動(dòng)在時(shí)間上最不穩(wěn)定擾動(dòng)模態(tài)對(duì)應(yīng)的放大率。按照式(5)的結(jié)果可知，當(dāng)ωi>0時(shí)，擾動(dòng)在時(shí)間上會(huì)以指數(shù)形式衰減，即流動(dòng)是不穩(wěn)定的,而特征向量即為所期望得到的擾動(dòng)模態(tài)信息。

2.2 程序驗(yàn)證

在對(duì)本文的翼尖雙渦流場(chǎng)展開Bi-global LSA之前，先采用槽道流、孤立翼尖渦、等強(qiáng)度對(duì)轉(zhuǎn)渦對(duì)、等強(qiáng)度同轉(zhuǎn)渦對(duì)4個(gè)典型算例對(duì)程序予以嚴(yán)格的驗(yàn)證。在驗(yàn)證過程中，與文獻(xiàn)結(jié)果保持一致，切比雪夫譜配置點(diǎn)的數(shù)目均為64×64。

在槽道流動(dòng)驗(yàn)證計(jì)算中，設(shè)置條件與Theofilis等[27]的算例一致，寬高比分別為A=1，4。圖3 為兩者特征值譜的比較結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于兩種寬高比，特征值譜均符合完好。

圖4(a)和圖4(b)分別為孤立Batchelor渦和對(duì)轉(zhuǎn)渦對(duì)[28]的全局時(shí)間穩(wěn)定性驗(yàn)證結(jié)果，其中Batchelor渦的旋擰度q=0.475,Re=100，方位波數(shù)m=-1，流向波數(shù)α′=0.418。可以看出，無論是孤立渦，還是對(duì)轉(zhuǎn)渦對(duì)，兩種方法所得到的特征值譜基本吻合。特別地，對(duì)于ωi>0半平面上的不穩(wěn)定特征值可以實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)捕捉。

圖3 槽道流結(jié)果驗(yàn)證Fig.3 Validation of cavity flow results

圖4 孤立Batchelor渦和對(duì)轉(zhuǎn)渦對(duì)的結(jié)果驗(yàn)證Fig.4 Validation of isolated Batchelor vortex and counter rotating vortex pairs results

在類似的參數(shù)條件下，Mayer和Powell[29]也曾做過孤立Batchelor的計(jì)算，表1列出本研究中得到的最不穩(wěn)定特征值與Mayer和Powell的結(jié)果?？梢钥闯觯狙芯坑?jì)算得到的最不穩(wěn)定特征值與文獻(xiàn)[29]保持一致。

表1 孤立Batchelor渦流的結(jié)果驗(yàn)證Table 1 Validation of isolated Batchelor vortex flow results

為驗(yàn)證程序獲取的擾動(dòng)模態(tài)的準(zhǔn)確性，程序還選取同轉(zhuǎn)渦對(duì)作為驗(yàn)證算例。計(jì)算時(shí)初始流場(chǎng)為兩個(gè)線性疊加的高斯渦，其初始渦核半徑均為a=0.010 408 m, 渦心間距b=0.074 336 m，兩渦的環(huán)量Γ1=Γ2=0.204 5 m2/s。

由于線性疊加的渦對(duì)并不是Navier-Stokes方程的解，以此為初始條件做無黏計(jì)算，在經(jīng)過一個(gè)快速的松弛過程后，選取此時(shí)的流場(chǎng)作為全局時(shí)間穩(wěn)定性分析的基準(zhǔn)流動(dòng)。此時(shí)a=0.011 2 m,Γ1=Γ2=0.204 3 m2/s，b=0.074 06 m，由此得到基于環(huán)量的雷諾數(shù)Re=13 989,a/b=0.15，流向速度為0 m/s。計(jì)算時(shí)流向波數(shù)與Roy等[11]的設(shè)置保持一致，取α′=2.0。在得到的特征譜中選取不穩(wěn)定點(diǎn)，可以求解得到擾動(dòng)模態(tài)，其結(jié)果與Roy等的結(jié)果對(duì)比如圖5所示,可以發(fā)現(xiàn)，本程序?qū)νD(zhuǎn)渦對(duì)中的擾動(dòng)模態(tài)可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的捕獲。

以上計(jì)算結(jié)果表明本文采用的方法對(duì)不穩(wěn)定特征值譜和擾動(dòng)模態(tài)均可以進(jìn)行精確的捕捉，能夠滿足試驗(yàn)中得到的翼尖雙渦結(jié)構(gòu)流場(chǎng)的全局穩(wěn)定性分析要求。

圖5 同轉(zhuǎn)渦對(duì)的擾動(dòng)模態(tài)結(jié)果驗(yàn)證Fig.5 Validation of co-rotating vortex pairs flow results

2.3 翼尖雙渦結(jié)構(gòu)的Bi-global LSA 方法

進(jìn)行全局線性穩(wěn)定性分析時(shí)，關(guān)鍵之一是基本解的獲取。在基于SPIV得到時(shí)均流場(chǎng)后，獲取基本解之前還需進(jìn)行以下步驟：① 對(duì)分析截面上的每個(gè)翼尖渦周向平均，獲取旋向速度；② 對(duì)翼尖渦采用Lamb-Oseen渦模型擬合，并線性疊加；③ 在數(shù)值計(jì)算平臺(tái)上對(duì)線性疊加渦對(duì)松弛計(jì)算[11,30-31]，使其滿足Navier-Stokes方程的解；④ 以 流向渦量重構(gòu)出軸向速度[11, 32]，從而獲得最終的基本解。

本研究中，為盡可能消除尾跡對(duì)渦不穩(wěn)定性潛在的影響，選取x/c=16截面處的時(shí)均流場(chǎng)作為分析截面。此外，根據(jù)已有結(jié)果，該風(fēng)洞品質(zhì)下，渦搖擺對(duì)速度場(chǎng)的影響十分有限[17]，因此分析流場(chǎng)沒有考慮渦核對(duì)齊后的平均流場(chǎng)。松弛處理過程在商業(yè)軟件Fluent中進(jìn)行，具體表述為：采用Fluent中的用戶自定義函數(shù)將線性疊加渦對(duì)作為初始條件，在1.28 m×1.28 m的正方形區(qū)域內(nèi)對(duì)計(jì)算域初始化，網(wǎng)格規(guī)模為1 600×1 600。區(qū)域邊界設(shè)置為速度入口條件，由于本次計(jì)算只是純粹的松弛耦合過程，不考慮外部速度輸入，所以速度項(xiàng)設(shè)置為0，而壓力和溫度條件則與風(fēng)洞試驗(yàn)所記錄的數(shù)據(jù)保持一致。流場(chǎng)求解采用無黏、非定常、基于壓力的SIMPLE算法。計(jì)算總時(shí)間步數(shù)為300步，時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為0.000 1 s, 每個(gè)時(shí)間步的內(nèi)迭代次數(shù)為20次，空間離散采用二階迎風(fēng)格式，時(shí)間推進(jìn)采用二階隱式格式。初始化完成后，計(jì)算域和初始流場(chǎng)如圖6 所示,v、w是瞬態(tài)速度。

松弛計(jì)算后的流場(chǎng)缺少軸向速度信息，為此，采用Roy等[11, 32]對(duì)等強(qiáng)度同轉(zhuǎn)及對(duì)轉(zhuǎn)渦對(duì)的方法，獲得流向速度為

圖6 計(jì)算域和初始化后的流場(chǎng)Fig.6 Computation domain and flow field after initialization

(8)

式中：δ表示基于Lamb-Oseen渦的翼尖渦渦核半徑；δG為試驗(yàn)測(cè)量流向速度的高斯分布特征半徑；U(0,0)及ωx(0,0)為渦心處的速度和渦量。

圖7為SPIV試驗(yàn)得到的軸向速度減少量和流向渦量與CFD計(jì)算結(jié)果，下標(biāo)d和u分別代表下主渦和上主渦?？梢钥闯觯嚓P(guān)特征物理量符合完好。

圖7 SPIV試驗(yàn)與CFD結(jié)果比較Fig.7 Comparison of SPIV test and CFD results

基準(zhǔn)流動(dòng)是用切比雪夫譜配置點(diǎn)的方法將其映射到計(jì)算域內(nèi)。為此，涉及到配置點(diǎn)數(shù)目對(duì)特征值譜的影響問題。為確定配置點(diǎn)數(shù)目，以α=6°、Rec=1.64×105產(chǎn)生的翼尖渦流場(chǎng)為例，分別用48×48、64×64、80×80這3套網(wǎng)格在擾動(dòng)波數(shù)α′=1.25下進(jìn)行全局穩(wěn)定性分析計(jì)算，其結(jié)果如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，不同配置點(diǎn)數(shù)下所得到的特征值譜在穩(wěn)定半平面內(nèi)的樹狀連續(xù)分支位置基本不變，只是不穩(wěn)定平面內(nèi)離散點(diǎn)位置有所差別。對(duì)不穩(wěn)定半平面中隨譜配置點(diǎn)數(shù)變化的動(dòng)點(diǎn)分析表明，其所對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)模態(tài)為數(shù)值離散產(chǎn)生的計(jì)算誤差，點(diǎn)本身為數(shù)值偽點(diǎn)；而不動(dòng)點(diǎn)及其特征向量則表征具有物理意義的擾動(dòng)模態(tài)。由此確定特征值譜中的兩個(gè)主要模態(tài)：模態(tài)P和模態(tài)S，它們?cè)?套網(wǎng)格下的特征值如表2所示。結(jié)果表明，以64×64作為計(jì)算網(wǎng)格能夠滿足分析要求。在接下來的計(jì)算中，為更明確區(qū)分開動(dòng)點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)，所有計(jì)算和分析結(jié)果均基于56×56、64×64兩套網(wǎng)格的結(jié)果進(jìn)行。

圖8 配置點(diǎn)數(shù)無關(guān)性驗(yàn)證(α′=1.25)Fig.8 Validation of mesh independence (α′=1.25)

表2 不同配置點(diǎn)數(shù)下模態(tài)P和模態(tài)S對(duì)應(yīng)的特征值對(duì)比

3 翼尖雙渦結(jié)構(gòu)及其不穩(wěn)定性特征

3.1 翼尖雙渦的結(jié)構(gòu)形態(tài)

以α=8°、Rec=1.64×105為例，試驗(yàn)得到的時(shí)均流場(chǎng)如圖9所示。結(jié)果表明，雙叉彎刀小翼的翼尖渦為由上小翼產(chǎn)生的上主渦和下小翼產(chǎn)生的下主渦所構(gòu)成的同轉(zhuǎn)渦對(duì)形式。注意圖中視角上方的翼尖渦為下主渦，下方的翼尖渦為上主渦。由于本試驗(yàn)的精心設(shè)計(jì)，該渦對(duì)近似為等強(qiáng)度，其中下主渦的環(huán)量為-0.299 7 m2/s，上主渦的環(huán)量為-0.321 4 m2/s；渦心坐標(biāo)位置分別為(-0.003 222 m, 0.107 2 m)、(0.045 46 m, 0.049 26 m)。

圖9 試驗(yàn)得到的翼尖雙渦時(shí)均流場(chǎng)云圖Fig.9 Time averaged flow field contour of vortex pair from experiment

3.2 翼尖渦的不穩(wěn)定特征：翼尖渦的搖擺

圖10為試驗(yàn)中產(chǎn)生的同轉(zhuǎn)渦對(duì)的搖擺現(xiàn)象，其中藍(lán)色實(shí)線區(qū)域和黑色虛線區(qū)域分別表征翼尖渦搖擺幅值和渦核半徑的圓形區(qū)域，可以看出，翼尖渦的搖擺區(qū)域始終在渦核半徑范圍之內(nèi)。

x/c=4，10，16下，下主渦的時(shí)均渦核位置分別為(-0.018 72 m, 0.094 15 m)、(-0.006 937 m, 0.102 m)、(-0.003 222 m, 0.107 2 m)；上主渦的時(shí)均渦核位置分別為(0.081 67 m, 0.082 74 m)、(0.067 91 m, 0.057 41 m)、(0.045 46 m, 0.049 26 m)?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著翼尖渦向遠(yuǎn)場(chǎng)演化，下主渦逐漸向y+、z+方向移動(dòng)；上主渦逐漸向y-、z-方向移動(dòng)，在這過程中，兩渦逐漸靠近的同時(shí)而相互纏繞[7]。從x/c=4到x/c=16，兩渦的距離從開始的0.101 m逐漸減小到0.075 68 m，而相對(duì)于y軸正方向的夾角θ則從6.48°增加到49.96°，由此可以得到該同轉(zhuǎn)渦對(duì)在整個(gè)過程中的平均旋轉(zhuǎn)角速度為20 rad/s。

對(duì)不同攻角、不同雷諾數(shù)下的翼尖渦搖擺幅值以對(duì)應(yīng)的渦核半徑無量綱化(σ/γc)，可以得到如圖11所示的不同工況下的無量綱搖擺幅值隨流向位置的變化規(guī)律。從圖中可以看出，無量綱搖擺幅值隨流向位置在逐漸增加；而上主渦的搖擺幅值總體來說均要大于下主渦的搖擺幅值，表明上主渦可能是一種更不穩(wěn)定的狀態(tài)。進(jìn)一步地，可以發(fā)現(xiàn)不同工況上主渦的搖擺幅值對(duì)雷諾數(shù)和攻角變化更敏感。與NACA0015等直翼的孤立翼尖渦的搖擺幅值變化規(guī)律類似[17-18]，隨著雷諾數(shù)增加，搖擺幅值也逐漸放大。然而隨著攻角的變化，搖擺幅值的變化不是單調(diào)的，在α=8°下?lián)u擺幅值最大，這可能與翼尖渦的不穩(wěn)定放大率有關(guān)(詳見3.3節(jié)中的討論)。

圖10 翼尖雙渦結(jié)構(gòu)的渦核搖擺Fig.10 Vortex wandering of wingtip vortices

圖11 不同工況下翼尖渦搖擺幅值隨流向位置的變化Fig.11 Wandering amplitudes as functions of streamwise locations of wingtip vortex under different flow conditions

3.3 翼尖渦的不穩(wěn)定特征：穩(wěn)定性曲線

對(duì)于每一個(gè)工況而言，通過掃描不同擾動(dòng)波數(shù)的特征值譜，可以得到對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定放大率，由此得到如圖12所示的穩(wěn)定性曲線。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，在各工況下，試驗(yàn)產(chǎn)生的翼尖渦的時(shí)間不穩(wěn)定性放大率均大于0，這意味著翼尖渦是時(shí)間不穩(wěn)定的，即擾動(dòng)將隨時(shí)間不斷放大，超過一定閾值后擾動(dòng)將使翼尖渦進(jìn)入非線性發(fā)展階段。此外，左右兩列的對(duì)比結(jié)果表明，上主渦最不穩(wěn)定模態(tài)(模態(tài)P)的不穩(wěn)定性放大率均大于下主渦最不穩(wěn)定模態(tài)(模態(tài)S)，這證明模態(tài)P在該流動(dòng)中占主導(dǎo)地位，即上主渦的不穩(wěn)定性顯著強(qiáng)于下主渦，其擾動(dòng)將隨時(shí)間更快地發(fā)展而導(dǎo)致翼尖渦的衰減失穩(wěn)。進(jìn)一步分析流動(dòng)條件對(duì)該雙渦結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的影響，可以發(fā)現(xiàn)模態(tài)P受雷諾數(shù)與攻角變化影響很大，而模態(tài)S則基本維持不變。在與圖11中的結(jié)果相互印證時(shí)，也表明上主渦相對(duì)于下主渦更易于受到外界擾動(dòng)的影響，是一種潛在的可調(diào)控模態(tài)。

此外，由穩(wěn)定性曲線可以得到上主渦與下主渦最不穩(wěn)定擾動(dòng)的流向波數(shù)α′。在Rec=0.82×105～2.46×105、α=6°～10°范圍內(nèi)，翼尖渦最不穩(wěn)定模態(tài)的擾動(dòng)流向波數(shù)均分布在α′=[2.75,5]的區(qū)間內(nèi)。在SPIV試驗(yàn)基礎(chǔ)上經(jīng)過N-S方程松弛結(jié)果得到的基于環(huán)量的特征速度Uc≈5 m/s，渦核半徑δ≈0.01 m，由此可得有量綱的翼尖渦最不穩(wěn)定擾動(dòng)流向波數(shù)約為α*=1 800 rad/m，即沿流向每米包含約30個(gè)周期的擾動(dòng)，擾動(dòng)流向波長(zhǎng)λ≈0.03 m，與翼尖渦渦核半徑rc≈0.01 m可比。因此，本研究中雙叉彎刀小翼產(chǎn)生的同轉(zhuǎn)渦對(duì)所呈現(xiàn)的是一種短波不穩(wěn)定性。

圖12 各工況下翼尖渦的穩(wěn)定性曲線Fig.12 Stability curves of wingtip vortex under different flow conditions

4 翼尖渦的不穩(wěn)定模態(tài)演化機(jī)理

4.1 不同擾動(dòng)波數(shù)下翼尖渦最不穩(wěn)定模態(tài)

以α=8°、Rec=0.82×105工況為例，研究分析不同擾動(dòng)波數(shù)α′下的下主渦最不穩(wěn)定模態(tài)(模態(tài)P，圖13)和上主渦最不穩(wěn)定模態(tài)(模態(tài)S，圖14)的演化行為。為顯示更清晰，模態(tài)P前兩個(gè)子圖的無量綱顯示范圍分別為[-0.05,0.05]、[-0.15,0.15]，其他子圖的顯示范圍為[-0.2,0.2]；而模態(tài)S的子圖保證相同的顯示范圍，均保持在[-0.05,0.05]區(qū)間。

圖13 不同擾動(dòng)波數(shù)下模態(tài)P的演化Fig.13 Evolution of perturbation Mode P under different wavenumbers

圖14 不同擾動(dòng)波數(shù)下模態(tài)S的演化Fig.14 Evolution of perturbation Mode S under different wavenumbers

可以發(fā)現(xiàn)，盡管兩渦近似為等強(qiáng)度同轉(zhuǎn)渦對(duì)，但模態(tài)P和模態(tài)S在結(jié)構(gòu)特征上隨著擾動(dòng)波數(shù)的增加明顯不同。如圖13(a)和圖14(a)所示，當(dāng)擾動(dòng)波數(shù)α′=0.1時(shí)，此時(shí)幾乎沒有外部擾動(dòng)，模態(tài)P和模態(tài)S的形態(tài)結(jié)構(gòu)一致，均為軸對(duì)稱的模態(tài)，兩者只有徑向波數(shù)n=1，而切向波數(shù)m=0。但隨著擾動(dòng)波數(shù)α′的增加，模態(tài)P的切向波數(shù)也隨之增大，在圖13(g)中，α′=4.25時(shí)切向波數(shù)增至m=5；而α′=9.5時(shí)，m=11；但在此過程中，徑向波數(shù)卻變?yōu)?。對(duì)于模態(tài)S而言，擾動(dòng)波數(shù)的增加改變的是徑向波數(shù)n，而非切向波數(shù)。以圖14 (c)中α′=1.25為例，此時(shí)徑向波數(shù)n=2；當(dāng)α′=5.0時(shí)，圖14(d)顯示的模態(tài)S徑向波數(shù)至少達(dá)到n≥3。當(dāng)擾動(dòng)波數(shù)α′進(jìn)一步增大時(shí)，模態(tài)S的徑向波數(shù)已經(jīng)超過64×64的切比雪夫譜配置點(diǎn)網(wǎng)格所能解析的范圍，但可以預(yù)計(jì)徑向波數(shù)會(huì)進(jìn)一步增加。

需要指出的是，在獲取上/下主渦最不穩(wěn)定的模態(tài)時(shí)，要特別注意兩個(gè)模態(tài)并存的耦合模態(tài)給模態(tài)識(shí)別上帶來的干擾。事實(shí)上，對(duì)于耦合模態(tài)來說，類似圖13和圖14子圖中的兩種模態(tài)會(huì)分別位于各自渦核的附近區(qū)域，同時(shí)，其模態(tài)能量比下主渦的最不穩(wěn)定模態(tài)的能量要強(qiáng)，比上主渦最不穩(wěn)定模態(tài)的能量要弱。然而耦合模態(tài)在翼尖渦的演化中的作用及其調(diào)控機(jī)理尚不清楚，可在后續(xù)的工作中進(jìn)一步研究。

4.2 不同工況下翼尖渦最不穩(wěn)定模態(tài)

圖15顯示雙叉彎刀式小翼翼尖渦的模態(tài)P和模態(tài)S在與基準(zhǔn)流動(dòng)相同的坐標(biāo)系下的比較。圖中左邊為模態(tài)S，右邊為模態(tài)P，可以發(fā)現(xiàn)模態(tài)S均準(zhǔn)確位于下主渦渦核處，而模態(tài)P則均落在上主渦的渦核處。在各工況下，上主渦模態(tài)的擾動(dòng)強(qiáng)度均大于下主渦，進(jìn)一步表明在雙叉彎刀式小翼的同轉(zhuǎn)渦對(duì)中，模態(tài)P對(duì)翼尖渦不穩(wěn)定性起主導(dǎo)作用，且其最不穩(wěn)定模態(tài)均為大切向波數(shù)的擾動(dòng)，各工況的切向擾動(dòng)波數(shù)均達(dá)到m=5～6。對(duì)于α=10°、Rec=1.64×105條件下的最不穩(wěn)定擾動(dòng)模態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)模態(tài)P與模態(tài)S強(qiáng)度較為相近，其模態(tài)之間的相對(duì)強(qiáng)度也與圖12中穩(wěn)定性曲線結(jié)果相符。

圖15 不同工況下翼尖渦對(duì)的最不穩(wěn)定模態(tài)Fig.15 The most perturbation modes of wingtip vortex pair under different flow conditions

圖15中還標(biāo)注不同工況下渦核半徑的相對(duì)大小，可以發(fā)現(xiàn)，主渦模態(tài)的螺旋狀、大切向波數(shù)擾動(dòng)均緊貼渦核邊界，在各工況下均有部分?jǐn)_動(dòng)穿透渦核邊界進(jìn)入渦核內(nèi)部。特別地，對(duì)于α=8°、Rec=2.46×105工況，模態(tài)P擾動(dòng)的絕大部分均已進(jìn)入上主渦的渦核。在這種擾動(dòng)模態(tài)的強(qiáng)作用下，該工況下的上主渦是所分析的所有工況中最不穩(wěn)定的，這也與圖12中穩(wěn)定性曲線結(jié)果相符。

5 結(jié) 論

通過SPIV試驗(yàn)獲得不同攻角、不同雷諾數(shù)、x/c=16范圍內(nèi)的雙叉彎刀小翼翼尖渦流場(chǎng)，在CFD中經(jīng)歷簡(jiǎn)單的松弛階段獲得基準(zhǔn)流動(dòng)，并在此基礎(chǔ)對(duì)其展開全局時(shí)間線性穩(wěn)定性分析，得到以下結(jié)論：

1) 試驗(yàn)中對(duì)稱布置的雙叉彎刀小翼產(chǎn)生的翼尖渦包含上/下小翼產(chǎn)生的主渦(上/下主渦)結(jié)構(gòu)，兩者構(gòu)成近似等強(qiáng)度的同轉(zhuǎn)渦對(duì)，兩者相互靠近的同時(shí)，以約20 rad/s的角速度相互纏繞。

2) 試驗(yàn)產(chǎn)生的同轉(zhuǎn)渦對(duì)搖擺幅值隨流向位置逐漸增大，隨雷諾數(shù)的增加而增大，隨攻角的增加先增大后減小。不同工況下，上/下主渦最不穩(wěn)定模態(tài)(模態(tài)P/模態(tài)S)的穩(wěn)定性曲線的變化規(guī)律與搖擺幅值的變化規(guī)律相一致，表明翼尖渦的搖擺源自于翼尖渦內(nèi)在的不穩(wěn)定性特征。

3) 在不同的擾動(dòng)波數(shù)作用下，模態(tài)P與模態(tài)S的演化機(jī)理不同。增加流向擾動(dòng)波數(shù)，模態(tài)P切向波數(shù)逐漸增加；而模態(tài)S則是徑向波數(shù)逐漸增加。不同工況下，模態(tài)P的切向波數(shù)m=5～6，擾動(dòng)流向波數(shù)分布在[2.75， 5]的區(qū)間內(nèi)，對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)流向波長(zhǎng)為λ≈0.03 m，與翼尖渦0.01 m的渦核半徑可比，表明試驗(yàn)中產(chǎn)生的同轉(zhuǎn)渦對(duì)所呈現(xiàn)的是一種短波不穩(wěn)定性。

4) 在不同工況條件下，模態(tài)P所對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定放大率均要大于模態(tài)S，而且對(duì)攻角、雷諾數(shù)等來流條件的改變更為敏感。不穩(wěn)定放大率最大模態(tài)的擾動(dòng)范圍作用于上主渦的整個(gè)渦核區(qū)域，表明這種螺旋狀、大切向波數(shù)的擾動(dòng)模態(tài)在翼尖渦流控中的潛在價(jià)值，也表明小翼通過增加渦系的個(gè)數(shù)，可以增強(qiáng)不穩(wěn)定的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)翼尖渦快速衰減的目標(biāo)。