雙材料層合梁彎曲正應力的彈性解與試驗分析

李苗苗，吳 曉

(1.常德職業(yè)技術學院土建系，湖南 常德 415000；2.湖南文理學院機械工程學院，湖南 常德 415000)

1 引 言

在土木、機械等實際工程中，許多鋼結構、混凝土承載構件都是螺栓連接的層合梁或高強粘合劑粘合的層合梁。為了使學生掌握理解層合梁及粘貼片材對混凝土梁加固的應用，文獻[1]把銷釘連接構件作為應力試驗進行應力分析，文獻[2，3]對螺栓或銷釘連接構件的彎曲進行了理論研究。文獻[4]采用材料力學方法對組合梁的彎曲應力進行了分析，文獻[5]用彈性力學方法研究了雙材料疊合懸臂梁的彎曲。文獻[6，7]]研究了采用粘貼片材對混凝土梁的加固，文獻[8]以專著闡述了復合材料層間應力。文獻[9-10]研究了復合曲梁的力學性能，并把復合曲梁的應力測量引入材料力學試驗教學中。文獻[11]把膠結疊合梁的彎曲試驗引入了試驗教學。文獻[15]研究了基于微分求積法的鋼筋混凝土梁靜力分析，文獻[16]研究了超靜定連續(xù)梁彈塑性過程分析的單位荷載法。文獻[17]研究了任意光滑梯度變化的功能梯度材料純彎曲梁的彈塑性分析。

由以上文獻可知，層合梁在工程實際中得到了廣泛應用，而關于高強粘合劑粘合的層合梁彎曲時的彈性解還未見有關文獻給出。所以，研究層合梁的彎曲應力計算理論及開展層合梁的彎曲應力試驗是有實際意義的。本文采用彈性力學方法推導出了雙材料層合梁彎曲正應力的計算公式，為層合梁及粘貼片材對混凝土梁加固的彎曲計算提供理論依據。通過層合梁的彎曲應力試驗，驗證了彈性力學方法推導的雙材料層合梁彎曲正應力計算公式的正確性。

2 梁彎曲彈性解

2.1 中性軸位置的確定

以兩端簡支雙材料梁為例，采用材料力學方法確定雙材料梁的中性軸。由材料力學可知，梁彎曲時的正應力公式為：

(1)

式中，i=1時E1為材料1的彈性模量，i=2時E2為材料2的彈性模量，ρ為曲率半徑。

利用式(1)可得雙材料層合梁彎曲時橫截面軸向靜力平衡方程為：

(2)

式中，y0為中性軸到梁下層底面的距離。

由式(2)積分可得：

(3)

由式(3)可求得：

(4)

2.2 彎曲應力公式

雙材料層合梁由于組成梁的材料彈性模量不同，雙材料層合梁彎曲時，其中性軸不再位于梁高度的1/2處，這樣層合梁彎曲時拉伸區(qū)和壓縮區(qū)的應力表達式各不相同。

參閱文獻[12，13]，可設雙材料層合梁的彎曲應力表達式為：

σyj=Ajy3+Bjy2+Cjy+Dj

τxyj=-x(3Ajy2+2Bjy+Cj)

(5)

式中，j=1,2，j=1時，代表拉伸區(qū)，j=2時，代表壓縮區(qū)。

圖1所示簡支雙材料層合梁上、下表面的邊界條件為：

y=y0，σy1=0，τxy1=0；

y=y0-h，σy2=-q，τxy2=0

(6)

梁右端x=l處靜力平衡方程為：

(7)

梁彎曲時中性層處連續(xù)條件為：

y=0，σx1=σx2=0，σy1=σy2，τxy1=τxy2

(8)

把式(5)代入式(8)中第二、第三分式中可得：

C1=C2，D1=D2

(9)

把式(5)代入式(8)中第一分式中可得：

x2B1+2K1=0，x2B2+2K2=0

(10)

由于式(10)對x取任意值都成立，可得：

B1=B2=0，K1=K2=0

(11)

把式(5)代入式(6)中可得：

-A2(h-y0)3-C2(h-y0)+D0=-q

3A0(h-y0)2+C0=0

(12)

由式(9)、式(12)可以求得：

(13)

把式(5)代入式(7)中可得：

(14)

把式(13)代入式(14)中可求得：

(15)

把以上有關各式代入式(5)中，并考慮層合梁的寬度，可得雙材料層合梁彎曲時拉伸區(qū)、壓縮區(qū)應力表達式：

(16)

當E1=E2、b=1時，式(16)即退化為文獻[12]給出的單材料梁彎曲應力的經典彈性解。

3 試驗及理論分析

圖1 雙材料層合梁

層合梁的計算參數分別為：l=150mm，b=20mm，h1=h2=20mm，q=10kN/m。紫銅材料彈性模量為112GPa，鋁合金材料彈性模量為72GPa。下面把試驗結果、材料力學方法計算結果與本文方法理論計算結果均列在表1、表2中，以便討論分析。在表1、表2中，層合梁上層材料為紫銅、下層材料為鋁合金，誤差分別為材料力學方法計算結果與試驗結果誤差、本文方法計算結果與試驗結果的誤差(注：表1、表2中的誤差值均為以理論計算結果為標準值與試驗結果的誤差)。

由文獻[14]，可以求得圖1所示簡支雙材料層合梁任意截面拉伸區(qū)及壓縮區(qū)的彎曲正應力計算公式分別為：

(17)

表1 層合梁的彎曲正應力(MPa)(x=0，y0=22.17mm)

表2 層合梁的彎曲正應力

對表1、表2進行分析可以知道：

彈性力學方法計算結果、材料力學方法計算結果與試驗結果基本吻合。表1、表2共16個測試點，彈性力學方法對測試點的計算結果大部分優(yōu)于材料力學方法對測試點的計算結果。但對拉伸區(qū)最大正應力、壓縮區(qū)最小正應力測試點的計算結果，材料力學方法的計算結果優(yōu)于彈性力學方法的計算結果。因為彈性力學方法給出的層合梁彎曲正應力公式考慮了剪切變形對層合梁彎曲正應力的影響，所以彈性力學方法對測試點的計算結果大部分優(yōu)于材料力學方法對測試點的計算結果。

當E1=E2時，式(16)即退化為文獻[12]給出的單材料梁彎曲應力的經典彈性解：

(18)

當E1=E2時，式(17)即退化為文獻[14]給出的單材料梁彎曲應力的材料力學解：

(19)

把式(16)與式(17)對比、式(18)與式(19)對比，可以看出，式(16)比式(17)多兩項修正項、式(18)比式(19)多兩項修正項，而且多余兩項修正項均與梁截面彎矩無關，這說明經典彈性解給出的梁彎曲應力計算公式考慮了剪力的影響。因此，經典彈性解給出的梁彎曲應力公式計算精度要高于材料力學方法給出的梁彎曲應力公式計算精度。

(20)

以單材料梁彎曲應力的經典彈性解為標準，若采用材料力學方法計算，單材料梁彎曲應力的經典彈性解與單材料梁彎曲應力的材料力學解的誤差應不超過5%，即滿足下式：

(21)

把式(20)代入式(21)中可得：

(22)

本文彈性力學方法對測試點的計算結果與試驗結果存在一定的誤差。筆者認為，造成誤差的原因有幾個方面：一是雙材料層合梁在熱成型、加工過程中有可能存在制作缺陷；二是試驗裝置本身就存在試驗誤差；三是試驗機對雙材料層合梁中點加載時，試驗機壓頭有可能沒有完全壓在梁中點，使梁中點存在扭矩作用；四是對雙材料層合梁測試點粘貼應變片時沒有準確粘貼到位；五是對層合梁實現簡支承不理想，由于實驗室試驗臺用橡膠墊剛度相對層合梁的剛度較小、沒有找到硬剛度橡膠墊，導致模擬出加載在圖1所示簡支雙材料層合梁上的近似均布載荷不理想。以上原因都會導致本文方法計算結果與試驗結果產生一定的誤差。

4 結 論

(1)采用彈性理論方法得到了雙材料層合梁拉伸區(qū)及壓縮區(qū)彎曲正應力的表達式，當E1=E2、b=1時，式(16)即退

化為彈性力學給出的單材料梁彎曲應力的經典彈性解。通過層合梁的彎曲應力試驗，驗證了彈性力學方法給出的雙材料層合梁彎曲正應力計算公式的正確性。

(2)彈性力學方法計算結果、材料力學方法計算結果與試驗結果基本吻合。但是彈性力學方法給出的層合梁彎曲正應力公式考慮了剪切變形對層合梁彎曲正應力的影響，所以彈性力學方法對測試點的計算結果大部分優(yōu)于材料力學方法對測試點的計算結果。