關(guān)于測(cè)定楊氏模量的梁彎曲法試驗(yàn)的討論

吳 曉

(湖南文理學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德 415000)

1 引 言

文獻(xiàn)[1]是一本優(yōu)秀的普通物理實(shí)驗(yàn)教材，該教材詳細(xì)介紹了梁彎曲法測(cè)定楊氏模量的試驗(yàn)原理。文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上研究了光杠桿彎曲法測(cè)量楊氏模量的原理，文獻(xiàn)[3]研究了梁彎曲法測(cè)量圓柱形試樣楊氏模量。文獻(xiàn)[4]對(duì)文獻(xiàn)[1]測(cè)量楊氏模量的梁彎曲法提出了質(zhì)疑，認(rèn)為文獻(xiàn)[1]測(cè)量楊氏模量的梁彎曲法存在錯(cuò)誤?；谝陨弦蛩?，本文采用材料力學(xué)理論，對(duì)文獻(xiàn)[1]測(cè)量楊氏模量的梁彎曲法進(jìn)行了合理解釋。

圖1 梁彎曲示意圖

2 梁的彎曲撓曲線

對(duì)于圖1所示的梁在外載荷作用下的彎曲，文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)出了彎曲微分方程為：

(1)

由式(1)可得梁截面轉(zhuǎn)角為：

(2)

式中，B1為待定常數(shù)。

由文獻(xiàn)[5]可知，圖1所示梁彎曲微分方程為：

(3)

對(duì)式(3)積分，可得梁截面轉(zhuǎn)角為：

(4)

對(duì)式(4)積分，可得梁撓曲線為：

(5)

式中，A1、A2為待定常數(shù)。

為了計(jì)算圖2所示梁中點(diǎn)撓度，文獻(xiàn)[1]把圖2所示簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)化為圖3所示集中載荷作用下的懸臂梁，由文獻(xiàn)[5]可知是完全合理的。

圖2 集中載荷作用下簡(jiǎn)支梁

圖3 集中載荷作用下懸臂梁

由圖3可知，梁CB段的梁截面彎矩表達(dá)式為：

(6)

把式(6)代入式(4)、式(5)中，可得轉(zhuǎn)角及撓度分別為：

(7)

(8)

由圖3可知，梁的邊界條件為：

x=0，φ(0)=0，w(0)=0

(9)

由式(7)～式(9)可求得：

(10)

式(7)～式(10)是文獻(xiàn)[5]給出的結(jié)果。

文獻(xiàn)[1]的方法式(2)僅能給出式(7)而不能求出式(8)。文獻(xiàn)[1]為了求得CB段的撓度表達(dá)式，認(rèn)為梁微段dx上D點(diǎn)處的水平線與E點(diǎn)處切線的夾角近似為dφ，這樣可得梁微段dx上E點(diǎn)與D點(diǎn)之間的撓度差為：

(11)

再對(duì)式(11)分部積分可得：

(12)

把式(2)代入式(12)中可得：

(13)

利用邊界條件式(9)及式(13)可得：

(14)

下面把式(8)的計(jì)算結(jié)果與式(13)的計(jì)算結(jié)果列在表1中。

表1 懸臂梁的撓度

3 討論分析

由表1可知，文獻(xiàn)[1]方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]方法的計(jì)算結(jié)果相差很大，僅在梁末端計(jì)算結(jié)果一致。因此，文獻(xiàn)[4]認(rèn)為，文獻(xiàn)[1]的楊氏模量的測(cè)定(梁彎曲法)“在實(shí)驗(yàn)原理中存在一個(gè)錯(cuò)誤”，文獻(xiàn)[4]且認(rèn)為文獻(xiàn)[1]方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]方法的計(jì)算結(jié)果僅在梁末端才一致是“想當(dāng)然的產(chǎn)物”。文獻(xiàn)[4]還認(rèn)為，文獻(xiàn)[1]方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]方法的計(jì)算結(jié)果僅在梁末端才一致是“偶然的正確，掩蓋了這一錯(cuò)誤，致使這一錯(cuò)誤長(zhǎng)期以來(lái)未被發(fā)現(xiàn)和糾正”。因此，筆者認(rèn)為，文獻(xiàn)[4]關(guān)于文獻(xiàn)[1]的楊氏模量的測(cè)定(梁彎曲法)“在實(shí)驗(yàn)原理中存在一個(gè)錯(cuò)誤”等觀點(diǎn)太絕對(duì)、武斷。

工程實(shí)際中的應(yīng)用已證明，在小撓度情況下，文獻(xiàn)[5]材料力學(xué)方法建立的梁理論是正確的，完全可以滿足和保證梁在實(shí)際工程中的安全和使用。因?yàn)樵趯?shí)際工程中，對(duì)于等截面梁來(lái)說(shuō)，只要保證控制梁截面沉降處的最大撓度值不超過(guò)設(shè)計(jì)規(guī)范所允許的許用撓度值，僅就撓度這一單方面梁可以說(shuō)是安全了。

文獻(xiàn)[1]的式(1)與文獻(xiàn)(5)的式(4)是一致的，關(guān)鍵是文獻(xiàn)[5]的式(8)與文獻(xiàn)[1]的式(13)的計(jì)算結(jié)果差別很大，但是這不能說(shuō)文獻(xiàn)[1]建立的公式是完全錯(cuò)誤的，因?yàn)榱W(xué)理論建立的所有關(guān)于實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)的各種計(jì)算理論都是近似的，只是計(jì)算精度不同而已。文獻(xiàn)[1]的梁彎曲法關(guān)于楊氏模量的測(cè)定只需要測(cè)定出梁的最大撓度值，由于文獻(xiàn)[1]方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]方法的計(jì)算結(jié)果在梁末端是一致的，所以文獻(xiàn)[1]的梁彎曲法關(guān)于楊氏模量的測(cè)定值是可靠的。那么，是什么原因?qū)е挛墨I(xiàn)[1]方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]方法的計(jì)算結(jié)果在梁末端是一致的呢？對(duì)比式(8)與式(13)可以看出，在梁末端式(8)與式(13)是一致的，因?yàn)樵诹耗┒藭r(shí)，文獻(xiàn)[1]方法計(jì)算出梁末端角度與文獻(xiàn)[5]方法計(jì)算出梁末端角度是一致的，對(duì)比式(2)與式(4)就可看出，所以文獻(xiàn)[1]方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]方法的計(jì)算結(jié)果在梁末端是一致的。

由以上計(jì)算分析可知，文獻(xiàn)[1]關(guān)于測(cè)定楊氏模量的梁彎曲法的試驗(yàn)原理不是錯(cuò)誤的，僅是由于假設(shè)導(dǎo)致關(guān)于梁撓度的計(jì)算在除梁末端以外梁段計(jì)算精度誤差較大而已。