基于凸輪曲線理論的機械手對ROV本體位姿影響效果分析

王 妍，楊明巖，張麗巍，高 勝

(東北石油大學機械科學與工程學院，黑龍江 大慶 163318)

UVMS(underwater vehicle-manipulator system)即ROV(remote operated vehicle)機械手系統(tǒng)可代替人工進行水下作業(yè)，完成海底樣品采集、打撈、設備定位等任務[1]。UVMS本身是一個動力耦合系統(tǒng)，在進行作業(yè)時因與作業(yè)目標之間的動力學耦合作用會造成作業(yè)目標的運動誤差。目前對于此類誤差的補償大多是通過控制ROV的運動來實現(xiàn)，然而對于細微誤差應用此方法則很難滿足精度要求。這是因為，雖然通過控制機械手的運動可以彌補運動中產(chǎn)生的微小誤差，但機械手運動對ROV位姿的影響反過來又會影響到機械手末端位置，繼而影響補償效果，因此合理的機械手運動方式對誤差的補償效果至關重要。

基于此，本文采用機構(gòu)學凸輪曲線理論[2]，推導出等加速度型、5次多項式型、變形梯形、擺線型、合成正弦和變形正弦運動曲線方程，假定作業(yè)目標質(zhì)量忽略不計，研究分析機械手以這6種運動曲線執(zhí)行相同動作對ROV本體位姿產(chǎn)生的影響，間接評價機械手補償誤差的效果，研究成果對利用機械手運動補償作業(yè)誤差具有一定的參考價值。

1 UVMS動力學模型建立

在描述UVMS運動之前，首先參考文獻[3]的方法建立UVMS的坐標系，并將其分為固定坐標系與運動坐標系。這里以ROV和四自由度機械手構(gòu)成的UVMS為研究對象，建立的UVMS坐標系如圖1所示。

圖1 UVMS坐標系

固定坐標系E-ξηζ：選定海中任一點為坐標系原點E，Eξ軸在水平面內(nèi)，并以ROV的艏部為其正方向，Eζ軸與Eξ垂直且正方向指向地心，Eη軸與ξζ平面垂直，并以ROV右舷為其正方向[4]。

運動坐標系O-xyz：ROV在水中存在靜平衡問題，先對ROV本體進行配重，使ROV重心和浮心重疊在ROV幾何中心上，至少使ROV重心和浮心重疊保持在其橫、縱中剖面的交線上。將ROV的浮心規(guī)定為運動坐標系的原點O，規(guī)定Ox軸正方向指向ROV的艏部，ROV的右舷方向為Oy軸的正方向，Oz軸垂直于Ox軸和Oy構(gòu)成的平面，其正方向指向地心。

文中部分變量的含義見表1和表2。表中將固定坐標系簡稱為定系，將運動坐標系簡稱為動系。

表1 固定坐標系變量

表2 動坐標系變量

基于準拉格朗日公式(Quasi-Lagrange)及其他相關研究[5-6]，UVMS的一般動力學方程為：

(1)

ROV和機械手構(gòu)成動力學耦合系統(tǒng)，機械手運動時產(chǎn)生的交互作用力會引起ROV的位姿變化，而ROV位姿的變化又會對機械手的作業(yè)精度產(chǎn)生影響，要想保證機械手誤差補償?shù)男Ч?，就要研究機械手運動對ROV位姿產(chǎn)生的影響。目前研究此類問題時機械手多采用等加速型的運動方式，但無法判斷機械手采取的這種運動方式是否合理。本文借助機構(gòu)學中的凸輪曲線理論，推導出多種運動曲線方程，并將其應用在UVMS的動力學分析上，找出最適合應用于機械手控制的加速度曲線。

2 凸輪曲線描述與推導

慣性負載由靜止移動到另一點剛好處于靜止狀態(tài)，在此過程中運動隨時間變化規(guī)律通常用機構(gòu)學中的凸輪曲線理論來研究。理想的運動軌跡是平滑的，即從始點到終點整個運動過程中有連續(xù)的位移、速度、加速度，起始點和終點的連續(xù)條件為：

式中:t為運動時間；tf為運動到終點所需時間；x為位移；xf為運動到終點的位移。

在慣性負載運動過程中，其加速度應盡量小一些，且在運動過程中應合理地分配加速度，這樣會產(chǎn)生較小的慣性載荷，使系統(tǒng)運動更加平穩(wěn)。

設定時間和位移的變化為

t/tf=T,x/xf=X

(2)

將x(t)統(tǒng)一為X(T)，再設定dx/dT=V，d2x/dT2=A，則有

(3)

以下按無量綱形式對幾種典型凸輪曲線進行描述和推導。

1)等加速度型。

等加速度型運動加速度Am為常數(shù)，其表達式為

(4)

對式(4)積分，代入邊界條件V(0)=V(1)=0，得慣性負載的速度表達式為：

(5)

對式(5)積分，代入邊界條件X(0)=0和X(1)=1，得慣性負載位移表達式為：

(6)

其中Am=4。

2)擺線型。

擺線型角加速度的曲線為正弦曲線，Am為加速度最大值，加速度表達式為：

A=Amsin(2πT) 0≤T≤1

(7)

對式(7)進行積分，由其邊界條件V(0)=0或V(1)=0，可得慣性負載速度表達式為：

(8)

對式(8)進行積分，代入邊界條件X(0)=0和X(1)=1，得慣性負載位移表達式為

(9)

其中Am=2π。

3)5次多項式型。

5次多項式型角加速度曲線為3次多項式，其表達式為：

A=aT3-bT2+cT0≤T≤1

(10)

對式(10)進行連續(xù)兩次積分有：

(11)

式中：a,b,c,d,e為多項式系數(shù)。

其邊界條件為A(1)=0,V(0)=V(1)=0,X(0)=0且X(1)=1,可得到d=e=0，同時有：

計算可得a=120，b=-180，c=60。則5次多項式運動規(guī)律可定義為

(12)

4)合成正弦。

合成正弦方式的加速度曲線為兩個不同運動周期的正弦曲線疊加，其加速度表達式為：

A=A1+A2=asin(2πT)+bsin(6πT)

0≤T≤1

(13)

對式(13)連續(xù)兩次積分有

(14)

利用邊界條件X(0)=0和X(1)=1，可直接得到c=1和d=0。速度邊界條件為V(0)=0或V(1)=0,則有：

(15)

如圖2所示，從削波角度分析，兩條獨立正弦曲線A1和A2需滿足：

(16)

圖2 合成正弦參數(shù)的選擇

由圖可知，當a/b減小時，削波趨勢加強，但在t=0～0.2這段時間加速度曲線變陡。取a=5b，可得合成正弦運動表達式為

(17)

5)變形正弦。

變形正弦由兩條不同角頻率的正弦曲線合成，其加速度表達式為：

(18)

對式(18)進行積分，通過其相應邊界條件限定，得到速度和位移表達式分別為：

(19)

(20)

6)變形梯形。

變形梯形由正弦曲線與直線合成，加速度表達式為：

(21)

對式(21)進行積分，通過其相應邊界條件限定，得到速度和位移表達式分別為：

(22)

(23)

3 多種類型凸輪曲線對比分析

圖3給出了上述6種運動規(guī)律的加速度、速度、位移曲線。從圖中可以看出，6種運動方式凸輪曲線在T=1以內(nèi)滿足位移X=1且起始速度V(0)和終點速度V(1)均為0的運動控制要求。同時可以看出位移曲線變化趨勢較相似，速度與加速度曲線變化存在較大差異。6種運動方式只有等加速型的加速度曲線不連續(xù)，擺線類型具有最大加速度6.283 2，而等加速型的加速度最小為4。速度曲線中，變形正弦運動方式下具有最小速度峰值1.759 6，5次多項式為1.875 0，其他曲線的速度峰值均為2[7]。表3給出了6種凸輪曲線的加速度峰值和速度峰值的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

圖3 不同類型凸輪曲線

表3 不同類型凸輪曲線加速度峰值和速度峰值

4 機械手以不同加速度進行運動對ROV位姿的影響

在6種加速度曲線方程和式(1)UVMS動力學方程的基礎上，應用ADAMS軟件對UVMS進行運動學、動力學分析，分析機械手按不同運動曲線執(zhí)行相同動作對ROV位姿產(chǎn)生的影響。

ROV本體質(zhì)量為900 kg,外形尺寸為2 100 mm× 1 200 mm×2 060 mm。四自由度機械手收縮時長度為760 mm，完全伸出時長度為980 mm。機械手材料為GCr15，材料密度為7 801 kg/m3，機械手在空氣中質(zhì)量為40 kg。令機械手在時間tf=1 s內(nèi)由收縮狀態(tài)到完全展開，其中關節(jié)1轉(zhuǎn)動角度為π/12，關節(jié)2轉(zhuǎn)動角度為5π/12，關節(jié)3伸長量為220 mm，腕部轉(zhuǎn)動關節(jié)4轉(zhuǎn)動角度為π/2。由t/tf=T和x/xf=X及6種凸輪曲線的位移方程，可以得到各運動關節(jié)的量綱位移方程。

以等加速型運動為例，此時機械手各關節(jié)位移與時間關系的表達式為：

(24)

(25)

(26)

(27)

對于其他形式的加速度曲線，可利用相同方式得到機械手各關節(jié)位移與時間關系的表達式。

按不同加速度類型曲線控制機械手運動，可以得到ROV在x,y,z方向的位置偏差和繞x,y,z軸角度偏差的曲線如圖4和圖5所示，ROV絕對位姿偏差統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表4和表5。

圖4 不同加速度運動規(guī)律對ROV位置偏差的影響

圖5 不同加速度運動對ROV角度偏差的影響

從圖4和圖5中可以看出，等加速度型方式下機械手運動對ROV位姿偏差的影響與其他幾種方式有明顯區(qū)別。等加速度型方式下機械手運動過程中ROV位置偏差曲線和角度偏差曲線波動劇烈，說明在此運動方式下機械手和ROV之間存在強烈的耦合作用，機械手運動的交互作用力很容易對ROV位姿產(chǎn)生影響。從表4、表5可以看出，等加速型方式下ROV絕對位姿偏差最大值比較大，說明機械手停止運動時ROV位置偏差較大。

表4 不同加速度運動規(guī)律對ROV絕對位置偏差統(tǒng)計數(shù)據(jù)

表5 不同加速度運動規(guī)律對ROV絕對角度偏差統(tǒng)計數(shù)據(jù)

機械手在擺線型、5次多項式型和合成正弦方式下運動ROV位姿偏差曲線非常相近，并且曲線較為光滑。從表4、表5可以看出,擺線型運動方式下絕對位姿偏差平均值、絕對位姿偏差最大值都要小于5次多項式型和合成正弦方式，說明在擺線方式下ROV姿態(tài)受機械手運動影響較小，ROV位置偏差和角度偏差波動較平緩。5次多項式型方式下絕對位姿偏差平均值、絕對位姿偏差最大值大于擺線型和合成正弦方式，說明該方式下ROV位置偏差曲線和角度偏差曲線波動較為劇烈，在此運動方式下ROV位姿受機械手運動影響大。合成正弦方式下ROV絕對位姿偏差最大值和絕對位姿偏差平均值介于擺線型和5次多項式型中間，與擺線方式相比，機械手在此運動方式下ROV位置偏差和角度偏差曲線波動稍顯劇烈。

從變形梯形方式下ROV位姿偏差曲線可以看出，在0.4 s后偏差值迅速變大，ROV位姿變化劇烈。在機械手動作結(jié)束前的一小段時間內(nèi)ROV位置偏差和角度偏差增長緩慢，在此時間段內(nèi)ROV受機械手運動影響較小。從表4、表5可以看出，變形梯形方式下ROV的絕對位置偏差最大值在x,y,z方向分別為14.315 4 mm、5.104 9 mm和3.643 1 mm，繞x,y,z軸轉(zhuǎn)動的絕對角度偏差最大值分別為0.603 2°、0.220 6°和0.885 3°，明顯大于其他幾種運動方式，說明在此運動方式下ROV位置偏差和角度偏差變化幅度最大。

從圖4、圖5可以看出，變形正弦方式下ROV位置偏差和角度偏差曲線與擺線型、5次多項式和合成正弦方式下的曲線較相近，波動程度比其他3種方式下的曲線稍顯劇烈，但在0.8～1.0 s時間段內(nèi)ROV位置偏差和角度偏差變化緩慢。從表4、表5可以看出,變形正弦下絕對位置偏差最大值在x,y,z方向分別為13.775 2 mm、5.060 9 mm和3.596 1 mm，繞x,y,z軸轉(zhuǎn)動的絕對角度偏差最大值分別為0.597 3°、0.202 7°和0.882 8°，都要小于其他幾種運動方式，說明在此運動方式下ROV位置偏差和角度偏差變化幅度最小。

通過上述分析可知，從ROV位置偏差極值和角度偏差極值方面考慮，變形正弦方式效果最好，其次為擺線型、合成正弦和5次多項式型，再者是等加速度型，最后為變形梯形。在此基礎上，還有必要分析機械手以不同運動方式對ROV位姿穩(wěn)定性影響的差異。對ROV位置偏差和角度偏差函數(shù)求導，利用位置偏差導數(shù)和角度偏差導數(shù)分析機械手以不同加速度方式運動時ROV位姿變化穩(wěn)定性的差異。不同加速度運動規(guī)律下ROV位置偏差導數(shù)和角度偏差導數(shù)曲線如圖6和圖7所示。

圖6 不同加速度運動規(guī)律下ROV位置偏差導數(shù)

圖7 不同加速度運動規(guī)律下ROV角度偏差導數(shù)

ROV位置偏差導數(shù)和角度偏差導數(shù)也可以理解為ROV受機械手運動影響產(chǎn)生的線速度和角速度。從圖中可以看出，與其他幾種運動方式相比，等加速度型方式下ROV位姿偏差導數(shù)曲線的波動程度較劇烈，t=1.0 s時位姿偏差導數(shù)與其他幾種運動方式相比差異較大，ROV絕對位姿偏差導數(shù)最終值要遠大于其他幾種運動方式(見表6、表7)，說明當機械手停止運動時ROV仍保持較大運動速度，ROV位姿變化的穩(wěn)定性受機械手運動影響較大。

變形梯形方式下ROV位姿偏差導數(shù)曲線不光滑，但曲線的波動程度較小。從表6、表7可以看出，絕對位置偏差導數(shù)最大值在x,y,z方向分別為0.028 9 mm/s、0.014 4 mm/s和0.008 5 mm/s，繞x,y,z軸轉(zhuǎn)動的絕對角度偏差導數(shù)最大值分別為1.736 1(°)/s、0.522 9(°)/s和2.692 7(°)/s，要小于其他幾種運動方式，絕對位置偏差導數(shù)最終值、絕對角度偏差導數(shù)最終值也比較小，說明在變形梯形方式下ROV位姿最平穩(wěn)。

表6 不同加速度運動規(guī)律ROV絕對位置偏差導數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)

表7 不同加速度運動規(guī)律ROV絕對角度偏差統(tǒng)計數(shù)據(jù)

擺線型、5次多項式型和合成正弦方式下ROV位姿偏差導數(shù)曲線十分相近且光滑，從表6、表7可以看出,3種運動方式的絕對位姿偏差導數(shù)最終值比較接近，其中合成正弦方式下ROV絕對位置偏差導數(shù)最大值在x,y,z方向分別為0.029 9 mm/s、0.017 0 mm/s和0.009 3 mm/s，繞x,y,z軸轉(zhuǎn)動的絕對角度偏差導數(shù)最大值分別為2.069 7 (°)/s、0.705 9(°)/s和3.248 1(°)/s，是3種運動方式下最小的，說明合成正弦方式下ROV位置偏差和角度偏差變化比較小。擺線型方式下ROV絕對位置偏差導數(shù)最大值和絕對角度偏差導數(shù)最大值略小于5次多項式方式，此運動方式下ROV位姿的平穩(wěn)性好于5次多項式。

從表6、表7可以看出，變形正弦方式下絕對位置偏差導數(shù)最大值和絕對角度偏差導數(shù)最大值略大于擺線型、5次多項式型和合成正弦方式，但絕對位置偏差導數(shù)最終值和絕對位置偏差導數(shù)最終值要略小于這3種運動方式，說明機械手以合成正弦方式運動的過程中ROV位置偏差和角度偏差變化較劇烈，但對ROV最終位姿的影響卻很小。

綜合以上分析，從ROV位置偏差和角度偏差變化的平穩(wěn)性考慮，變形梯形是比較好的選擇，其次為合成正弦、擺線型和5次多項式型，再者是變形正弦，而等加速度型最差。

5 結(jié)束語

UVMS中機械手運動時會對ROV本體的位姿產(chǎn)生影響，機械手以不同的加速度運動方式完成同一動作時對ROV位姿的影響也不同。本文通過建立UVSM動力學模型，基于凸輪曲線理論進行仿真實驗，研究分析了機械手以不同加速度運動方式運動時對ROV位置偏差和角度偏差的影響，研究成果對機械手運動誤差補償具有一定的參考價值。