基于桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的復(fù)雜零件構(gòu)型設(shè)計(jì)方法

馬雅麗，牛金月，梁 晨

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024)

復(fù)雜零件是機(jī)器的重要組成部分，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性直接影響機(jī)器的整體性能和被加工件的品質(zhì)，該類零件質(zhì)量大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，如箱體、立柱等，高性能、輕量化、低成本的零件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法一直是研究的熱點(diǎn)[1]。

多年來，眾多學(xué)者在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面做了大量工作。周奇才等[2]將連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化和離散體拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了桁架結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳季趾统叽鐑?yōu)化，以克服傳統(tǒng)基結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法對(duì)最優(yōu)解的束縛。高閣[3]、史航[4]構(gòu)建了任意形狀區(qū)域的桁架基結(jié)構(gòu)并對(duì)其優(yōu)化，以桁架結(jié)構(gòu)替代連續(xù)體結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)緯儀的關(guān)鍵部件進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。張興朝[5]、徐燕申等[6]基于元結(jié)構(gòu)的概念對(duì)機(jī)床大件進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。Ma等[7]提出了一種復(fù)雜零件力-性能-結(jié)構(gòu)映射的結(jié)構(gòu)拓?fù)浜统叽鐓f(xié)同優(yōu)化的輕量化設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜零件性能最優(yōu)的結(jié)構(gòu)構(gòu)型及尺度設(shè)計(jì)。這些研究成果為復(fù)雜零件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法的研究打開了新的視野。

桁架結(jié)構(gòu)是由多根小截面桿件組成的“空腹式大梁”，廣泛應(yīng)用于建筑、工程機(jī)械、航空航天等領(lǐng)域。為高效、便捷地獲得具有最佳性能的復(fù)雜零件結(jié)構(gòu)構(gòu)型，本文提出了一種基于桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的復(fù)雜零件構(gòu)型設(shè)計(jì)方法，可在滿足零件性能需求的前提下實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)。

1 基于基結(jié)構(gòu)法的桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化以桿件橫截面積作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，通過刪除橫截面積小于閾值的桿件，將拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為帶有邊界約束的尺寸優(yōu)化問題，以達(dá)到桁架拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和尺寸同步設(shè)計(jì)的目的。優(yōu)化求解時(shí)，使用混合粒子群算法對(duì)結(jié)構(gòu)全局尋優(yōu)，獲得性能最佳結(jié)構(gòu)構(gòu)型。

1.1 基結(jié)構(gòu)

基結(jié)構(gòu)是桁架優(yōu)化的初始結(jié)構(gòu)，基結(jié)構(gòu)法[8]是目前廣泛使用的一種桁架優(yōu)化方法。根據(jù)設(shè)計(jì)域的形狀和邊界條件，按照某些準(zhǔn)則布置一系列的離散節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)以桿件連接得到的桁架集合稱作基結(jié)構(gòu)，通過建立基結(jié)構(gòu)進(jìn)行桁架優(yōu)化的方法稱作基結(jié)構(gòu)法。

1)單元基結(jié)構(gòu)。

單元結(jié)構(gòu)是一些外形變化不大、內(nèi)部結(jié)構(gòu)相對(duì)獨(dú)立的結(jié)構(gòu)，其是構(gòu)成桁架結(jié)構(gòu)的基本單位。基結(jié)構(gòu)是包含設(shè)計(jì)域內(nèi)可能存在的所有桿件的結(jié)構(gòu)，換言之，最優(yōu)解是基結(jié)構(gòu)的子集。

基結(jié)構(gòu)的建立以有限元網(wǎng)格法為基礎(chǔ)，將有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)作為基結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)，連接節(jié)點(diǎn)即可獲得基結(jié)構(gòu)。本文的基結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域?yàn)檎叫?，采用?shù)量為2×2(即兩行兩列)的正方形網(wǎng)格對(duì)單元?jiǎng)澐郑泄?jié)點(diǎn)以桿件連接得到基結(jié)構(gòu)。單元基結(jié)構(gòu)的建立過程如圖1所示。

2)桁架基結(jié)構(gòu)。

整體經(jīng)過分解后可得到單元。面積大、形狀不規(guī)則的整體可分解為若干單元，在各單元內(nèi)建立的基結(jié)構(gòu)稱作單元基結(jié)構(gòu)，單元基結(jié)構(gòu)組成的整體稱作桁架基結(jié)構(gòu)，桁架基結(jié)構(gòu)按照一定的算法進(jìn)行優(yōu)化得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)稱作桁架結(jié)構(gòu)。整體的分解應(yīng)考慮其外形特點(diǎn)、尺寸大小和使用功能等，根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，需遵循以下原則：

①分析設(shè)計(jì)域幾何形狀邊界特征，保證劃分后的形狀邊界為矩形。初始設(shè)計(jì)的區(qū)域劃分時(shí)，長(zhǎng)寬比盡量接近1。圖2所示為一不規(guī)則形狀劃分區(qū)域生成桁架基結(jié)構(gòu)示例。

②考慮零件的性能及工藝性，一般選取鑄件單元尺寸為300～500 mm，用戶可根據(jù)實(shí)際條件適當(dāng)調(diào)整。但為了保證制造工藝性及結(jié)構(gòu)性能，以下界不小于200 mm、上限不大于600 mm為宜。

1.2 單元結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

1)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

考慮N個(gè)桿件的基結(jié)構(gòu)在多工況下的優(yōu)化情況，以單元結(jié)構(gòu)總質(zhì)量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，桿件截面積為優(yōu)化變量，單元基結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)最大位移的最小值小于約束值為約束，構(gòu)建單元基結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型為：

(1)

結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，給定桿件尺寸上下界，刪除截面尺寸小于閾值的桿件。由于桿件尺寸是動(dòng)態(tài)變化的，優(yōu)化結(jié)構(gòu)確定時(shí)，桿件尺寸優(yōu)化也同步完成，從而實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)與尺寸的同步設(shè)計(jì)。

2)優(yōu)化有限元模型。

采用有限元法在MATLAB環(huán)境中建立單元基結(jié)構(gòu)模型，指定桿件類型為歐拉梁，有限元模型為：

(2)

(3)

式中：Ke為桿件的剛度矩陣；B為桿件的幾何矩陣；E為材料的彈性模量；Ω為桿件體積；ue為節(jié)點(diǎn)位移矢量；Fe為節(jié)點(diǎn)力矢量。

單元基結(jié)構(gòu)由桿件組裝而成，其有限元模型為：

(4)

(5)

3)優(yōu)化模型求解算法。

本文采用的混合PSO算法將基本PSO算法和不同選擇機(jī)制相結(jié)合，在提高收斂速度的同時(shí)保證了全局搜索能力。后代粒子的位置和速度如下：

(6)

4)單元結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

優(yōu)化時(shí)取基結(jié)構(gòu)邊界桿件為非設(shè)計(jì)域，僅對(duì)單元結(jié)構(gòu)內(nèi)部的桿件進(jìn)行刪減。傳統(tǒng)的基結(jié)構(gòu)法在優(yōu)化過程中僅刪除節(jié)點(diǎn)之間的桿件，但事實(shí)上建立基結(jié)構(gòu)時(shí)桿件與桿件搭接產(chǎn)生了“交點(diǎn)”，且過“交點(diǎn)”的桿件并無約束關(guān)系。為擴(kuò)大最優(yōu)解的搜索空間，本文的最優(yōu)解由基結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)和桿件“交點(diǎn)”共同決定。簡(jiǎn)言之，桿件“交點(diǎn)”雖不作為基結(jié)構(gòu)生成的節(jié)點(diǎn)，但作為優(yōu)化節(jié)點(diǎn)。

1.3 桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

桁架結(jié)構(gòu)可分解為若干單元結(jié)構(gòu)，采取單元重組的方式對(duì)桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化，即對(duì)組成桁架結(jié)構(gòu)的各單元結(jié)構(gòu)分別優(yōu)化，再將單元結(jié)構(gòu)組合，以獲得桁架結(jié)構(gòu)的最終結(jié)果。

桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的關(guān)鍵是對(duì)邊界條件的確定，桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)與力從載荷到約束的傳遞路徑一致。組成桁架結(jié)構(gòu)的兩相鄰單元結(jié)構(gòu)共用同一個(gè)桿件，通過桿件上的節(jié)點(diǎn)將載荷傳遞到下一個(gè)單元。單元結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)力可通過載荷等效和力的平移定理確定。圖3為桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖。

圖3 桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖

為簡(jiǎn)單而不失一般性，以兩個(gè)單元結(jié)構(gòu)組成的桁架結(jié)構(gòu)(圖4所示)為例詳述設(shè)計(jì)過程，具體步驟如下：

1)外載荷計(jì)算。利用力的平移定理將載荷等效為桁架結(jié)構(gòu)可用的節(jié)點(diǎn)力，并作用到各單元。

2)1號(hào)單元結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。1號(hào)單元與2號(hào)單元共用同一桿件，為固定連接，1號(hào)單元優(yōu)化時(shí)暫將該固定連接處等效為全約束。

3)2號(hào)單元結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。1號(hào)單元構(gòu)型已知，通過剛度方程計(jì)算1號(hào)單元與2號(hào)單元固定連接處內(nèi)力，此內(nèi)力以外載荷形式作用到2號(hào)單元上，2號(hào)單元設(shè)計(jì)時(shí)將其與下一個(gè)單元或底座的連接處等效為全約束。

4)重復(fù)步驟2)、3)，對(duì)余下單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，若單元結(jié)構(gòu)到此結(jié)束，則完成計(jì)算。

5)將各單元優(yōu)化結(jié)果組合，完成桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

圖4 桁架結(jié)構(gòu)示意圖

2 基于桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的零件構(gòu)型設(shè)計(jì)

復(fù)雜零件的受力狀態(tài)與桁架結(jié)構(gòu)有所不同，因此利用桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行零件構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)，要對(duì)載荷等效處理。另外，零件一般為空間結(jié)構(gòu)，構(gòu)型設(shè)計(jì)前需確定零件構(gòu)型的設(shè)計(jì)域。

2.1 載荷等效

零件實(shí)際工作情況下，所受載荷一般為均布載荷或集中載荷，而桁架結(jié)構(gòu)僅在桁架平面內(nèi)承受節(jié)點(diǎn)力，因此需對(duì)載荷進(jìn)行等效處理。載荷等效的含義是等效節(jié)點(diǎn)載荷引起的節(jié)點(diǎn)位移與非節(jié)點(diǎn)載荷引起的節(jié)點(diǎn)位移相同。桿件受力簡(jiǎn)圖如圖5所示。

圖5 桿件受力示意圖

基于有限元理論，根據(jù)外力功的計(jì)算公式計(jì)算節(jié)點(diǎn)載荷等效值：

(7)

式中：We為外力功；p(x)為桿所受壓強(qiáng)；l為桿單元長(zhǎng)度；N(x)為單元的形狀函數(shù)；FPA，F(xiàn)PB為節(jié)點(diǎn)力；MA，MB為彎矩；qe為節(jié)點(diǎn)位移陣列。

2.2 復(fù)雜零件構(gòu)型設(shè)計(jì)

1)零件構(gòu)成及設(shè)計(jì)域的確定。

復(fù)雜零件根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以分解為由外部形狀確定的主體框架、支承結(jié)構(gòu)以及其他結(jié)構(gòu)構(gòu)成的整體。以機(jī)床立柱為例，該零件是在主體框架的基礎(chǔ)上增加支承結(jié)構(gòu)和其他結(jié)構(gòu)構(gòu)成，如圖6所示。主體框架指的是形成零件的基本幾何形狀。支承結(jié)構(gòu)是起主要支承作用的結(jié)構(gòu)。其他結(jié)構(gòu)包括壁板、加強(qiáng)筋類結(jié)構(gòu)、導(dǎo)軌、螺栓孔、散熱槽和出砂孔等，這些結(jié)構(gòu)的種類和尺寸等根據(jù)零件用途和功能決定。

圖6 復(fù)雜零件構(gòu)成

本文的設(shè)計(jì)方法是對(duì)零件的支承結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，亦稱復(fù)雜零件構(gòu)型設(shè)計(jì)，零件的主體框架是零件構(gòu)型設(shè)計(jì)域的邊界，框架內(nèi)部為零件構(gòu)型的設(shè)計(jì)域。

2)零件構(gòu)型設(shè)計(jì)。

零件的構(gòu)型設(shè)計(jì)均在主體框架平面內(nèi)進(jìn)行。結(jié)構(gòu)構(gòu)型具有承載并傳遞力的作用。

對(duì)于二維平面內(nèi)的支承結(jié)構(gòu)，可基于桁架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)，即載荷等效后直接進(jìn)行構(gòu)型設(shè)計(jì)，如圖7中(a)所示的機(jī)床床身。對(duì)于框架類零件或箱體類的復(fù)雜零件，設(shè)計(jì)域常包含多個(gè)空間平面，此時(shí)要將三維問題降為二維問題，然后在二維平面內(nèi)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，圖7(b)所示是將一個(gè)機(jī)床立柱的構(gòu)型設(shè)計(jì)降解為4個(gè)設(shè)計(jì)域平面。

圖7 復(fù)雜零件構(gòu)型設(shè)計(jì)

零件支承結(jié)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)要依據(jù)桁架結(jié)構(gòu)分解的原則，將設(shè)計(jì)域分解為若干個(gè)單元，分別優(yōu)化再組合，方能完成整個(gè)零件的構(gòu)型設(shè)計(jì)。

3 基于桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的零件構(gòu)型設(shè)計(jì)實(shí)例

利用本文方法，以某立式加工中心立柱為例進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法得到的結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文方法的有效性。

3.1 零件構(gòu)型設(shè)計(jì)

1)桁架基結(jié)構(gòu)建立。

該零件主體框架如圖8所示，主體框架的邊界即設(shè)計(jì)域的邊界，在設(shè)計(jì)域內(nèi)進(jìn)行支承結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)。

圖8 主體框架圖

該支承結(jié)構(gòu)由4個(gè)區(qū)域構(gòu)成，各區(qū)域均為1 500 mm×500 mm的四邊形，單元?jiǎng)澐纸Y(jié)果如圖9所示。在MATLAB環(huán)境下建立基結(jié)構(gòu)，并將零件的載荷條件轉(zhuǎn)化為桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化可用的節(jié)點(diǎn)力，為后續(xù)構(gòu)型設(shè)計(jì)做準(zhǔn)備，在此不贅述。

圖9 立柱支承結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)澐?/p>

2)立柱構(gòu)型設(shè)計(jì)。

分別對(duì)4個(gè)設(shè)計(jì)域內(nèi)的支承結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，最終結(jié)構(gòu)構(gòu)型如圖10所示，桿件截面尺寸為40 mm×40 mm。

圖10 立柱設(shè)計(jì)結(jié)果

3.2 結(jié)構(gòu)方案對(duì)比分析

設(shè)計(jì)完成后，利用有限元軟件ANSYS分析立柱的靜態(tài)變形，并將結(jié)果與拓?fù)鋬?yōu)化方法得到的立柱性能進(jìn)行對(duì)比，比較結(jié)果見表1。本文方法設(shè)計(jì)的立柱質(zhì)量為983 kg，較拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果減輕5.4%，綜合變形為0.052 mm，較拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果減小10.28%。上述結(jié)果表明，本文的設(shè)計(jì)方法能實(shí)現(xiàn)零件的輕量化設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，方法合理、有效。

表1 零件性能對(duì)比表

4 結(jié)束語

本文提出的基于桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的復(fù)雜零件設(shè)計(jì)方法可實(shí)現(xiàn)零件結(jié)構(gòu)構(gòu)型和尺寸的同步設(shè)計(jì)，在簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程的同時(shí)滿足結(jié)構(gòu)性能需求。通過單元?jiǎng)澐值姆椒?gòu)建基結(jié)構(gòu)，有效減少了基結(jié)構(gòu)的生成時(shí)間，在減少計(jì)算量的同時(shí)最大限度地尋求最優(yōu)解。采用本文提出的方法優(yōu)化設(shè)計(jì)的立式加工中心立柱質(zhì)量為983 kg，較拓?fù)鋬?yōu)化方案減輕5.4%，綜合變形為0.052 mm，較拓?fù)鋬?yōu)化方案減小10.28%，在強(qiáng)化性能的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了立柱的輕量化設(shè)計(jì)。