三角與向量練習(xí)題

本刊試題研究組

一、單項選擇題

1.已知向量a=（2，m），b=（3，1），若a∥b，則實數(shù)m的值為（）

A.14 B.13

C.23 D.12

2.若sinα=45，則sin（α+π4）-22cosα等于（）

A.225 B.-225

C.425 D.-425

3.已知向量a=（0，1），b=（2，1），且（b+λa）⊥a，則實數(shù)λ的值為（）

A.2 B.-2

C.1 D.-1

4.函數(shù)f（x）=sin（x+π3）+sinx的最大值為（）

A.3 B.2

C.3 D.4

5.已知非零向量a，b，若a·（a+3b）=0，|a|=2|b|，則向量a和b夾角的余弦值為（）

A.23 B.-23

C.32 D.-32

6.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0<φ<π）在x=π6時取得最大值，則函數(shù)g（x）=cos（2x+φ）的圖象（）

A.關(guān)于點對稱（π6，0） B.關(guān)于點（π3，0）對稱

C.關(guān)于直線x=π6對稱 D.關(guān)于直線x=π3對稱

7.已知平面向量OA，OB滿足|OA|=|OB|=1，OA·OB=0，且OD=12DA，E為△OAB的外心，則ED·OB=（）

A.-12 B.-16

C.16 D.12

8.函數(shù)f（x）=cos（ωx+π3）（ω>0）在[0，π]內(nèi)的值域為[-1，12]，則ω的取值范圍為（）

A.[23，43] B.[0，43]

C.[0，23] D.[0，1]

二、多項選擇題

9.如圖所示，正六邊形ABCDEF中，有下列四個命題：

①AC+AF=2BC;

②AD=2AB+2AF;

③AC·AD=AD·AB;

④（AD·AF）EF=AD（AF·EF）.

其中真命題的序號是（）

A.① B.②

C.③ D.④

10.將函數(shù)f（x）=2sin（x+π6）-1的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的12（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列說法不正確的是（）

A.函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點（-π12，0）對稱

B.函數(shù)g（x）的周期是π2

C.函數(shù)g（x）在（0，π6）上單調(diào)遞增

D.函數(shù)g（x）在（0，π6）上最大值是1

11.已知向量a與b不共線，AB=a+mb，AC=na+b下列條件中，能使AB與AC共線的是（）

A.m=2，n=12 B.m-n=0

C.mn-1=0 D.mn+1=0

12.△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，a=4，b=43，A=30°，則B=（）

A.120° B.60°

C.150° D.30°

三、填空題

13.已知tan（α-π4）=-17，α∈（0，π2），則sin（α+π6）的值是.

14.已知向量a，b滿足（2a-b）·（a+b）=6，且|a|=2，|b|=1，則a與b的夾角為.

15.已知|a|=2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2+|a|x-a·b=0有兩相等實根，則向量a與b的夾角是.

16.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-12（ω∈N*）的圖象關(guān)于點（-π6，-12）對稱，且在（0，π2）上有且只有三個零點，則ω的最大值是.

四、解答題

17.已知點O為直角坐標(biāo)原點，A（0，2），B（4，6），OM=t1OA+t2AB.

（1）求點M在第二或第三象限的充要條件;

（2）求證：當(dāng)t1=1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點共線.

18.已知角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P（-3，3）.

（1）求sin2α-tanα的值;

（2）若函數(shù)f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函數(shù)g（x）=3f（π2-2x）-2f2（x）在區(qū)間[0，2π3]上的值域.

19.已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足sinBsinC=（sin2B+sin2C-sin2A）tanA.

（1）求角A的大小;

（2）若△ABC的外接圓的圓心是O，半徑是1，求OA·（AB+AC）的取值范圍.

20.已知函數(shù)f（x）=cos2ωx+3sin2ωx+t（ω>0），若f（x）的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為π4，圖象過點（0，0）.

（1）求f（x）的表達(dá)式和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移π8個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)F（x）=g（x）+k在區(qū)間[0，π2]上有且只有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍.

21.△ABC的對邊分別為a，b，c，且滿足a=bcosC+csinB.

（1）求角B;

（2）若cosA=35，試求cosC的值.

22.如圖所示，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3百米，CD=2百米.該區(qū)域內(nèi)原有道路AC，現(xiàn)新修一條直道DP（寬度忽略不計），點P在道路AC上（異于A，C兩點），∠BAC=π6，∠DPA=θ.

（1）用θ表示直道DP的長度;

（2）計劃在△ADP區(qū)域內(nèi)種植觀賞植物，在△CDP區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物.已知種植觀賞植物的成本為每平方百米2萬元，種植經(jīng)濟(jì)作物的成本為每平方百米1萬元，新建道路DP的成本為每百米1萬元，求以上三項費用總和的最小值.

參考答案

一、單項選擇題

1.C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.A 8.A

二、多項選擇題

9.ABD 10.ABD 11.AC 12.AB

三、填空題

13.33+410 14.2π3 15.2π3 16.7

四、解答題

17.解析：（1）OM=t1OA+t2AB=t1（0，2）+t2（4，4）=（4t2，2t1+4t2），當(dāng)點M在第二象限或第三象限時，

有4t2<0，2t1+4t2≠0，故t1與t2滿足條件為t2<0，且t1+2t2≠0.

（2）證明：當(dāng)t1=1時，由（1）知OM=（4t2，4t2+2），

∵AB=OB-OA=（4，4），

AM=OM-OA=（4t2，4t2）=t2（4，4）=t2AB，

∴AM∥AB，又AM與AB有公共點A，

∴不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點共線.

18.解析：（1）∵角α的終邊經(jīng)過點P（-3，3），

∴sinα=12，cosα=-32，tanα=-33.

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα

=-32+33=-36.

（2）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R，

∴g（x）=3cos（π2-2x）-2cos2x

=3sin2x-1-cos2x=2sin（2x-π6）-1，

∵0≤x≤2π3，∴-π6≤2x-π6≤7π6.

∴-12≤sin（2x-π6）≤1，

∴-2≤2sin（2x-π6）-1≤1，

故函數(shù)g（x）=3f（π2-2x）-2f2（x）在區(qū)間[0，2π3]上的值域是[-2，1].

19.解析：（1）由正余弦定理有：bc=（b2+c2-a2）tanA

=2bccosA·tanA

=2bcsinA，

∴sinA=12，又A為銳角，∴A=π6.

（2）OA·（AB+AC）=OA·（OB+OC-2OA）

=OA·OB+OA·OC-2OA2

=cos∠AOB+cos∠AOC-2

=cos2C+cos2B-2

=cos（53π-2B）+cos2B-2

=32cos2B-32sin2B-2

=3cos（2B+π6）-2.

∵△ABC為銳角三角形，∴0

∴56π<2B+π6<76π，故OA·（AB+AC）的取值范圍是[-2-3，-72）.

20.解：（1）f（x）=cos2ωx+3sin2ωx+t

=2sin（2ωx+π6）+t，

f（x）的最小正周期為2π2ω=π2，∴ω=2，

∵f（x）的圖象過點（0，0），∴2sinπ6+t=0，

∴t=-1，∴f（x）=2sin（4x+π6）-1.

令2kπ-π2≤4x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，

求得kπ2-π6≤x≤kπ2+π12，k∈Z，

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ2-π6，kπ2+π12]，k∈Z.

（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移π8個單位長度，

可得y=2sin（4x-π2+π6）-1=2sin（4x-π3）-1的圖象，

再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）=2sin（2x-π3）-1的圖象.

∵x∈[0，π2]，∴2x-π3∈[-π3，2π3]，

∴sin（2x-π3）∈[-32，1]，

故g（x）=2sin（2x-π3）-1在區(qū)間[0，π2]上的值域為[-3-1，1].

若函數(shù)F（x）=g（x）+k在區(qū)間[0，π2]上有且只有一個零點，

由題意可知，函數(shù)g（x）=2sin（2x-π3）-1的圖象和直線y=-k有且只有一個交點，

根據(jù)圖象（圖略）可知，k=-1或1-3

故實數(shù)k的取值范圍是{-1}∪（1-3，3+1].

21.解析：（1）已知a=bcosC+csinB，由正弦定理得

sinA=sinBcosC+sinCsinB，

sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB，

sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，

cosBsinC=sinCsinB，

因為在△ABC中sinC>0，所以cosB=sinB，

因為sinB>0，所以cosB>0，

所以tanB=sinBcosB=1，

因為B∈（0，π），所以B=π4.

（2）因為cosA=35，A∈（0，π），

所以sinA=1-cos2A=45，

由（1）可知A+C=3π4，所以C=3π4-A，

cosC=cos（3π4-A）=cos3π4cosA+sin3π4sinA，

cosC=22（sinA-cosA）=22（45-35）=210.

22.解析：（1）過點D作DD′⊥AB，垂足為D′，如圖所示，

在Rt△ABC中，∵AB⊥BC，∠BAC=π6，AB=3，∴BC=3，

在Rt△ADD′中，∵AD′=1，DD′=3，AD=2，

∴sin∠DAD′=32，

∴∠DAD′=π3，∵∠BAC=π6，∴∠DAP=π6，

在△ADP中，由正弦定理可得ADsinθ=DPsinπ6，

∴DP=1sinθ，π6<θ<5π6，

（2）在△ADP中，由正弦定理可得

ADsinθ=APsin∠ADP，

∴AP=2sin（5π6-θ）sinθ，

∴S△APD=12AP·PD·sinθ=sin（5π6-θ）sinθ，

又S△ADC=12AD·DC·sin∠ADC

=12×2×2×32=3.

∴S△DPC=S△ADC-S△APD=3-sin（5π6-θ）sinθ，

設(shè)三項費用之和為f（θ），

則f（θ）=sin（5π6-θ）sinθ×2+（3-sin（5π6-θ）sinθ）×1+1sinθ×1=3+sin（5π6-θ）sinθ+1sinθ=12cosθ+1sinθ+332，π6<θ<5π6.

∴f′（θ）=-12-cosθsin2θ，令f′（θ）=0，解得θ=2π3，

當(dāng)θ∈（π6，2π3）時，f′（θ）<0，函數(shù)f（θ）單調(diào)遞減，

當(dāng)θ∈（2π3，5π6）時，f′（θ）>0，函數(shù)f（θ）單調(diào)遞增，

∴f（θ）min=f（2π3）=23，

答：三項費用總和的最小值為23萬元.